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1.4角平分線(1),你能利用折紙的方法得到角平分線及角平分線上的點(diǎn)的性質(zhì)嗎?,你還記得角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎?,角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊距離相等.,你能證明這一結(jié)論嗎?結(jié)合我們前面學(xué)習(xí)的定理的證明方法，你能寫出這個性質(zhì)的證明過程嗎？,已知:如圖,OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E.求證:PD=PE.,分析:要證明PD=PE,只要證明它們所在△OPD≌△OPE,而△OPD≌△OPE的條件由已知易知它滿足公理(AAS).,故結(jié)論可證.,老師期望:你能寫出規(guī)范的證明過程.,證明：∵OC是∠AOB的平分線∴∠1=∠2∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO∵OP=OP∴△OPD≌△OPE(AAS).∴PD=PE,,幾何語言表示：定理角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊距離相等.,老師提示:這個結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.,如圖,∵OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E(已知)∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊距離相等).,′,你能寫出“定理角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊距離相等”的逆命題嗎?,逆命題在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個角的平分線上.,它是真命題嗎?,如果是.請你證明它.,已知:如圖所示,PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E.求證:點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.,分析:要證明點(diǎn)P在∠AOB的平分線上,可以先作出過點(diǎn)P的射線OC,然后證明∠POD=∠POE.,,,,B,A,,,,C,,,,,,D,E,O,P,證明：∵PD⊥OAPE⊥OB∴△POD和△BPOE都是Rt△∵PD=PE,OP=OP∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)∴∠POD=∠POE∴OC是∠AOB的平分線,,逆定理在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個角的平分線上.,如圖,∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E(已知),∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.(在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個角的平分線上).,老師提示:這個結(jié)論又是經(jīng)常用來證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過某一點(diǎn))的根據(jù)之一.,例題講析,例1如圖，在△ABC中，∠BAC=60，點(diǎn)D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，求DE的長.,解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，∴AD平分∠BAC（在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上）.又∵∠BAC=60，∴∠BAD=30.在Rt△ADE中，∠AED=90，AD=10，∴DE=AD=10=5（在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）.,1.如圖,AD,AE分別是△ABC中∠A的內(nèi)角平分線和外角平分線,它們有什么關(guān)系?,老師期望:你能說出結(jié)論并能證明它.,,2.如圖,一目標(biāo)在A區(qū),到公路,鐵路距離相等,離公路與鐵路的交叉處500m.在圖上標(biāo)出它的位置(比例尺1:20000).,3.如圖,求作一點(diǎn)P,使PC=PD,并且點(diǎn)P到∠AOB的兩邊的距離相等.,4.已知:如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.求證:EB=FC.,證明:∵AD是△ABC的角平分線且DE⊥AB,DF⊥AC∴DE=DF∵BD=CD∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)∴EB=EC,5.如圖,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平線,DE⊥AB,垂足為E.,老師期望:你能正確地解答并規(guī)范地寫出過程.,(1)如果CD=4cm,求AC的長;,(2)求證:AB=AC+CD.,解（1）∵AD是△ABC的角平線,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=CD=4cm∵AC=BC∴∠B=∠BAC(等邊對等角)∵∠C=90∴∠B=45∴∠BDE=90-45=45∴BE=DE在等腰直角三角形BDE中,（2）證明：由（1）的求解過程可知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AC=AE.∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD,已知，如圖⊿ABC中，∠ACB的平分線交AB于E，∠ACB的補(bǔ)角∠ACD的平分線為CG，EG∥BC交AC于F，EF會與FG相等嗎？為什么？,,,,,,,A,B,C,D,E,F,G,,證明：∵EG為∠ACB的平分線∴∠BCE=∠ACE∵CG為∠ACD的平分線∴∠DCG=∠FCG∵EG∥BC∴∠FEC=∠BCE,∠FGC=∠GCD從而∠ACE=∠FEC，∠FGC=∠FCG∴EF=FC,FC=FG從而EF=FG,定理角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊距離相等.∵OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E(已知)∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊距離相等).,回顧與小結(jié),逆定理在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個角的平分線上.∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E(已知),∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.(在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個角的平分線上).,回顧與小結(jié),習(xí)題1.91,3題.祝你成功！,結(jié)束寄語,嚴(yán)格性之于數(shù)學(xué)家,猶如道德之于人.證明的規(guī)范性在于：條理清晰，因果相應(yīng),言必有據(jù).這是初學(xué)證明者謹(jǐn)記和遵循的原則.,