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第一節(jié)向量的內積,一內積的定義和性質,三正交向量組,二向量的長度與夾角,四正交矩陣與正交變換,第六章相似矩陣和二次型,一、內積的定義與性質,1、定義,設ｎ維實向量,稱實數(shù),為向量α與β的內積，記作,注：內積是向量的一種運算，用矩陣形式表示，有,２、性質,（1）對稱性：,（2）線性性：,（3）正定性：,１、長度的概念,當,時,二、向量的長度與夾角,令,為ｎ維向量α,的長度（模或范數(shù)）.,特別,長度為１的向量稱為單位向量.,（1）正定性：,（2）齊次性：,（3）三角不等式：,２、性質,（4）柯西－施瓦茲（Cauchy－Schwarz）不等式:,當且僅當α與β的線性相關時，等號成立.,由非零向量α得到單位向量,稱為把α單位化或標準化.,的過程,３、夾角,設α與β為ｎ維空間的兩個非零向量，α與β的夾,角的余弦為,因此α與β的夾角為,例,解,三、正交向量組,1、正交,2、正交組,若向量組中的向量兩兩正交，且均為非零向量，則,這個向量組稱為正交向量組，簡稱正交組.,3、標準正交組,由單位向量組成的正交組稱為標準正交組.,夾角900,4、正交基,5、標準正交基,由正交向量組構成的空間V的基,由標準正交向量組構成的空間V的基,定理,4、性質,正交向量組必為線性無關組.,證明見P112,例題：證明：r個n維向量構成的向量組，若r>n則該向量組一定不是正交組,思路：r個n維向量組當r>n時，必然線性相關,已知三維向量空間中，,例2,正交，,解,設,則,即,四、正交矩陣和正交變換,1、定義,如果ｎ階方陣滿足：,則稱Ａ為正交矩陣.,則,可表示為,若Ａ按列分塊表示為Ａ＝,亦即,結論：正交陣判定條件是列向量是標準正交組，即兩兩正交的單位向量。,2、正交矩陣判定條件,Ａ為方陣，且列向量組是標準正交組,三大條件：1）方陣2）單位向量3）正交（行列均可）E＝ATA＝AAT,例題：證明下述性質（定義法）1）若A為正交陣，則A－1和AT也是正交陣，且det（aij）＝1或－12）若A，B為正交陣，則AB也為正交陣,3.定義的應用,3、正交變換,若Ｐ為正交矩陣，則ｙ=Ｐｘ線性變換稱為正交變換.,設ｙ=Ｐｘ為正交變換，則有,經(jīng)正交變換后向量的長度保持不變,內積保持不變,,注,從而夾角保持不變.,請證明旋轉變換是正交變換P32問：投影變換是正交變換嗎？,4、施密特（Schmidt）正交化法（P114，自學）,設,是向量空間Ｖ的一個基，要求向量空,間Ｖ的一個標準正交基，就是要找到一組兩兩正交的單,位向量,，使,與,等價，,此問題稱為把,這組基標準正交化.,1）正交化,令,就得到Ｖ的一個標準正交向量組.,Ｖ的一組標準正交基.,如果,上述方法稱為施密特（Schmidt）正交化法.,2）標準化,令,是Ｖ的一組基，則,就是,與,都是等價的.,可以證明：,第二節(jié)方陣的特征值與特征向量,一特征值與特征向量,三應用舉例,二特征值和特征向量的性質,四小結,一、特征值與特征向量的概念,定義,若,則λ稱為Ａ的特征值，,稱為Ａ的特征向量．,（１）,注,②并不一定唯一；,③ｎ階方陣Ａ的特征值，就是使齊次線性方程組,①特征值問題只針對與方陣，且特征向量不能為零,有非零解的λ值，即滿足,的λ都是方陣Ａ的特征值．,,例：求距陣的特征值和特征向量（P118例6，7）,,,定義,這是一個λ為變量的一元ｎ次多項式,為Ａ的特征多項式．,定義,為Ａ的特征方程（幾元幾次方程？）,定理,設ｎ階方陣的特征值為,則,證明①,當是Ａ的特征值時，Ａ的特征多項,式可分解為,令,得,即,必須牢記,（2）略,定義,方陣Ａ的主對角線上的元素之和稱為方陣Ａ的跡.,記為,二、特征值的性質,推論１,ｎ階方陣Ａ可逆?Ａ的ｎ個特征值全不為零.,若數(shù)λ為可逆陣的Ａ的特征值，,性質5,設ｎ階方陣的特征值為,則,根據(jù)這兩條性質，可以驗證所求得的結果是否正確.,三、應用舉例（定義+性質）,１、若λ＝２為可逆陣Ａ的特征值，則,的一個特征值為（）,２、證ｎ階方陣Ａ的滿足，則Ａ的特征值為,０或１．,３、三階方陣Ａ的三個特征值為１、２、０，則,（）,（冪等陣Am＝A）,2解：設x是A的一個特征向量，則A2x－Ax＝03解：思路令B＝2E＋3A2,求出B的全部特征值即可。書上例題9自己看看。P122,四、特征向量的性質,定理,互異特征值對應的特征向量線性無關。,證明：見書P120另證：,特征向量的性質的證明,證,設存在使,是方陣的特征值，,依次是與之對應的特征向量，即有,因為,所以,即,即,(1),(2),(3),類推下去,有,(m),把以上個等式合寫成矩陣等式，得,上式左端的第二個矩陣的行列式是范德蒙德行列式，,當互不相等時，該行列式不等于0，從而該矩陣可逆.于是有,特征向量的性質的證明,即,又,因此必有,所以向量組線性無關.,證畢,特征向量的性質的證明,一、定義,定義,設Ａ、Ｂ都是ｎ階矩陣，若有可逆矩陣Ｐ，,使得,則稱Ｂ是Ａ的相似矩陣，或者說矩陣,Ａ與Ｂ相似．,稱為對Ａ進行相似變換，,對Ａ進行運算,可逆矩陣Ｐ稱為把Ａ變成Ｂ的相似變換矩陣．,記作：,Ａ∽Ｂ．,第三節(jié)矩陣相似對角化,請回憶距陣等價的概念，符號描述P59思考等價和相似的區(qū)別,練習：1。證明，若A相似B，則det（A）＝det（B）2。若A相似B，則A3＋5A2＋A相似于B3＋5B2＋B3。結論：若A相似B，則A的多項式相似于B的同一多項式,4。若ｎ階矩陣Ａ與Ｂ相似，則Ａ與Ｂ有相同的特征多項式，從而Ａ與Ｂ有相同的特征值．,推論,若ｎ階矩陣Ａ與對角矩陣,相似，,定理,若ｎ階矩陣Ａ與Ｂ相似，則Ａ與Ｂ有相同的特征多項式，從而Ａ與Ｂ有相同的特征值．,若能尋得相似變換矩陣Ｐ使,對ｎ階方陣Ａ，,稱之為把方陣Ａ對角化．,三、方陣對角化,定理的推論說明，如果ｎ階矩陣Ａ與對角矩陣Λ相,似，,則Λ的主對角線上的元素就是Ａ的全部特征值．,設存在Ｐ可逆，,使得,有,于是有,因為Ｐ可逆，R（P）＝n,關的特征向量。,實現(xiàn),即Ａ與對角矩陣Λ相似．,對角化的目標：尋找n個線性無關的特征向量，構成P,定理,如果ｎ階矩陣Ａ有ｎ個互異特征值，則其對應的特征向量線性無關，此時的A必可對角化,注意：這是充分條件而非必要條件，要想判斷A能否對角化只能先求特征值，再求特征向量，然后看特征向量是否線性相關,結論,并非所有矩陣都可以對角化（相似對角化）即：對稱矩陣一定可以對角化（有定理）可以對角化的充要條件是：存在n個線性無關的特征向量p1，……，pn，且P＝（p1,p2，….，pn）可以對角化的一個必要條件是：n階矩陣A有n個互異特征值練習：請問P120的例5，6，7中矩陣哪些可以對角化？例題：P125，例11,定理對稱矩陣的特征值為實數(shù).,說明：矩陣可以對角化的理論比較復雜，本節(jié)要求掌握對稱陣對角化步驟即可．,一、對稱矩陣的性質,定理對稱矩陣的互異特征值對應的特征向量正交.,定理若ｎ階對稱陣Ａ的任重特征值對應的線性,無關的特征向量恰有個．,定理若Ａ為ｎ階對稱陣，則必有正交矩陣Ｐ，使得,第四節(jié)對稱矩陣的對角化,需要記住：對稱矩陣必可相似對角化，且P為正交陣,根據(jù)上述結論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為：,將非重根對應的特征向量單位化；,3.,將重特征值對應的特征向量單位正交化;,4.,2.,1.,二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法（掌握）,,將所有單位化后的特征向量組成P，注意與特征值的對應關系。,5.,,三、實例分析,解,例12,,,,例：設對稱矩陣A，已知A有二重特征值，λ1＝λ2＝2,求：1）x和另一個特征值λ3；（回憶特征值的兩條性質）2）A的所有特征向量；3）求正交矩陣P，使得A正交化,,,解：1）,2）,,3）正交化矩陣P,,,建議驗證,作業(yè)：P138，14，16（1），17,第六節(jié)二次型,一ｎ元二次型的概念,二二次型的表示方法,三二次型的矩陣及秩,四化二次型為標準形,五小結,矩陣對角化的簡單應用,作業(yè)9：P1342（1），6（1），20,一、ｎ元二次型,1、定義,的二次齊次多項式,含有ｎ個變量,①,稱為二次型．,或記為,注,①當常數(shù)項為實數(shù)時，稱為實二次型；,②當常數(shù)項為復數(shù)時，稱為復二次型．,二、二次型的矩陣表示,定義,只含有平方項的二次型,稱為二次型的標準形．,定義,特別地，若系數(shù)只在1，－1，0取值，即,為二次型的規(guī)范形．,則二次型．,特別注意：Ａ為對稱矩陣.,令,任一二次型ｆ,三、二次型和矩陣A的關系,對稱矩陣Ａ,任一對稱矩陣Ａ,二次型ｆ,一一對應,ｆ稱為對稱矩陣Ａ的二次型；,Ａ稱為二次型ｆ的矩陣；,對稱矩陣Ａ的秩稱為二次型ｆ的秩．,練習寫出下列二次型的對稱矩陣．,3）復數(shù)域Ｃ上的４元二次型,例１1）實數(shù)域Ｒ上的２元二次型,2）實數(shù)域上Ｒ的３元二次型,設,四、化二次型為標準形,對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標準形．,記,記作,將其代入,有,若|C|≠0，則④稱為非退化線性變換．,④,？f如何才能變成標準二次型，對CTAC有何要求？,目的：尋找C使得CTAC變成對角陣,定義,設Ａ,Ｂ為ｎ階方陣，若存在ｎ階可逆陣C，使得,則稱Ａ合同于Ｂ,與相似、等價比較一下,用正交變換化二次型為標準形的具體步驟,例1已知二次型,用正交變換把二次型化為標準形，并寫出相應的正交矩陣.,解析：此題是一道典型例題.目的是熟悉用正交變換化二次型為標準形的“標準程序”.,⑴寫出二次型對應的矩陣,二次型對應的矩陣為,⑵求的特征值,由，求得的特征值為,例1解答,⑶求的兩兩正交的單位特征向量,例1解答,對應，解方程，由,,得基礎解系為,將其單位化，得,例1解答,對應，解方程，由,,得基礎解系為,將其單位化，得,例1解答,對應，解方程，由,,得基礎解系為,將其單位化，得,例1解答,⑷寫出正交矩陣和二次型的標準形,令矩陣,則為正交陣，于是，經(jīng)正交變換,原二次型化為標準形,例2已知二次型,的秩為2.,⑴求參數(shù)以及此二次型對應矩陣的特征值；,⑵指出表示何種曲面.,解,⑴二次型的矩陣,,因為的秩為2，,所以的秩也為2，因而,例2解答,當時，的特征多項式為,于是，的特征值為,⑵特征值互異，必存在正交變換,其中為正交矩陣(不必具體求出)，使二次型,于是，曲面,這表示準線是平面上橢圓、母線平行于軸的橢圓柱面.,在新變量下稱為標準形,,,,附錄：前面的部分證明,特征值的性質的證明,⑴證,因為是的個特征向量，則有,即,令，即得,另一方面，根據(jù)行列式的定義知，上述行列式的展開式中，只有對角元之積含有,這些項中不含,比較兩端的的系數(shù)，可得,即,證畢,特征值的性質的證明,特征值的性質的證明,因為是的特征值，,⑵證,所以存在非零向量使,又由知，,可逆，且，所以,這表明是矩陣的特征向量.,證畢,特征值的性質的證明,⑶證,因為是的特征值，,所以存在非零向量使,用左乘上式兩端得,這表明是矩陣的特征向量.,類似地，可以證是矩陣的特征向量.,證畢,特征值的性質的證明,⑷證,因為是的特征值，,所以存在非零向量使,又因為，所以,這表明是矩陣的特征向量.,證畢,特征值的性質的證明,⑸證,因為,所以而,有非零解,因此存在非零向量，使,這表明0是的特征值.,證畢,特征值的性質的證明,⑹證,根據(jù)特征值滿足的條件：是特征方程的根，所以要證與的特征值相同，,只需證它們的特征方程相同，也即只需證它們的特征多項式相同.,因為,所以與的特征多項式相同，從而與的特征值相同.,證畢,特征向量的性質的證明,證,設存在使,是方陣的特征值，,依次是與之對應的特征向量，即有,因為,所以,即,即,(1),(2),(3),類推下去,有,(m),把以上個等式合寫成矩陣等式，得,上式左端的第二個矩陣的行列式是范德蒙德行列式，,當互不相等時，該行列式不等于0，從而該矩陣可逆.于是有,特征向量的性質的證明,即,又,因此必有,所以向量組線性無關.,證畢,特征向量的性質的證明,