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第二章離散型隨機(jī)變量及其分布,一、一維隨機(jī)變量及分布函數(shù),二、多維隨機(jī)變量及其分布,1.1、一維隨機(jī)變量及分布函數(shù),1.2、一維離散型隨機(jī)變量,2.1、多維隨機(jī)變量及分布函數(shù),2.2、多維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布,2.3、邊際分布、條件分布,2.4、數(shù)學(xué)期望、方差,1.1隨機(jī)變量及分布函數(shù),(1)某人接連不斷地對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行射擊,直至射中為止，ω表示射擊次數(shù)。,ω射擊1次射擊2次......射擊n次......,X(ω)12......n......,(2)某車(chē)站每隔10分鐘開(kāi)出一輛公共汽車(chē),旅客在任意時(shí)間到達(dá)車(chē)站,ω表示該旅客的候車(chē)時(shí)間。,ω候車(chē)時(shí)間,X(ω)[0,10),一、隨機(jī)變量的概念,,,定義設(shè)E是一隨機(jī)試驗(yàn)，Ω是它的樣本空間，若,則稱Ω上的單值實(shí)值函數(shù)X(?)為隨機(jī)變量。,注：隨機(jī)變量一般用X,Y,Z,?或小寫(xiě)希臘字母?,?,?表示。隨機(jī)變量中對(duì)應(yīng)的實(shí)值要有區(qū)分度。,隨機(jī)變量的特點(diǎn)：,1、定義域:Ω.,2、隨機(jī)性:隨機(jī)變量X的可能取值不止一個(gè)，試驗(yàn)前只能預(yù)知可能的取值但不能確定取哪個(gè)值.,3、概率特性:X以一定的概率取某個(gè)值或某些值.,4、引入隨機(jī)變量后，用隨機(jī)變量的等式或不等式表達(dá)隨機(jī)事件.,為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。,定義設(shè)X為隨機(jī)變量,稱定義域?yàn)?-∞,+∞)的實(shí)值函數(shù),二、隨機(jī)變量的分布函數(shù),利用分布函數(shù)可以計(jì)算,例1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為:,求:,例2:隨機(jī)變量的分布律為,求的分布函數(shù)，并求,,,分布函數(shù)的性質(zhì),1、F(x)單調(diào)不減，即,2、,且,3、F(x)右連續(xù)，即,,1.2離散型隨機(jī)變量及其分布律,定義若隨機(jī)變量X的可能取值是有限多個(gè)或可列多個(gè)，則稱X為離散型隨機(jī)變量。,描述離散型隨機(jī)變量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即,分布律的性質(zhì),一、離散型隨機(jī)變量的概念,二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)與分布律,離散型隨機(jī)變量的分布律與分布函數(shù)求法:(1)確定隨機(jī)變量的所有可能取值;(2)設(shè)法（如利用古典概率）計(jì)算取每個(gè)值的概率.(3)列出隨機(jī)變量的概率分布表（或?qū)懗龈怕屎瘮?shù)）.(4)根據(jù)分布律寫(xiě)出分布函數(shù)。,注意：,例1,從1～10這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出5個(gè)數(shù)字，令X：取出的5個(gè)數(shù)字中的最大值．試求X的分布律．,具體寫(xiě)出，即可得X的分布律：,解：X的可能取值為,5，6，7，8，9，10．并且,=——,求分布律一定要說(shuō)明k的取值范圍！,?1單點(diǎn)分布（退化分布）singlepointdistribution?2二點(diǎn)分布（0-1分布）BernoullidistributionDef若隨機(jī)變量的分布表為其中，則稱服從參數(shù)為的二點(diǎn)分布。二點(diǎn)分布所能刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象：凡是隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果，都可以二點(diǎn)分布作為其概率模型。例如：擲硬幣觀察正反面，產(chǎn)品是否格，人口性別統(tǒng)計(jì)，系統(tǒng)是否正常，電力消耗是否超負(fù)荷等等。,三、常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布,?3離散型均勻分布,,,,,,,,,,,,,如在“擲骰子”的試驗(yàn)中，用表示事件｛出現(xiàn)點(diǎn)｝，則隨機(jī)變量是均勻分布．,,?4二項(xiàng)分布,背景：n重Bernoulli試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)感興趣的事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)——,若P(A)=p,則,稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記作,0–1分布是n=1的二項(xiàng)分布.,例1:一個(gè)完全不懂英語(yǔ)的人去參加英語(yǔ)考試.假設(shè)此考試有5個(gè)選擇題，每題有n重選擇，其中只有一個(gè)答案正確.試求：他居然能答對(duì)3題以上而及格的概率.,解:由于此人完全是瞎懵，所以每一題，每一個(gè)答案對(duì)于他來(lái)說(shuō)都是一樣的，而且他是否正確回答各題也是相互獨(dú)立的.這樣，他答題的過(guò)程就是一個(gè)Bernoulli試驗(yàn)。,?5Poisson分布,若,其中,是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為,的Poisson分布，記作。,在一定時(shí)間間隔內(nèi)：,一匹布上的疵點(diǎn)個(gè)數(shù)；,應(yīng)用場(chǎng)合,一本書(shū)中印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)；,某一地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù)；,等等。,例2設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且已知。,例3如果隨機(jī)變量X的分布律為,試確定未知常數(shù)c.,?相繼貝努利概型,貝努利試驗(yàn)中，人們有時(shí)關(guān)心的是首次成功出現(xiàn)在第k次試驗(yàn)的概率。首次成功出現(xiàn)在第k次試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的事件,首次成功出現(xiàn)在第k次試驗(yàn)的概率,這一模型給出了等待事件A出現(xiàn)等待了k次試驗(yàn)的概率。這種概率規(guī)律稱為幾何分布。,?6幾何分布,Def若隨機(jī)變量的概率函數(shù)為則稱服從參數(shù)為的幾何分布，記。,Geometricdistribution,幾何分布所能刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象：,幾何分布是一種等待分布，凡是研究某事件出現(xiàn)所經(jīng)歷的試驗(yàn)次數(shù)讀可用這一分布來(lái)描述。,幾何分布的無(wú)記憶性：在已知前m次試驗(yàn)沒(méi)有出現(xiàn)成的條件下，為達(dá)到首次試驗(yàn)成功所需再等待的試驗(yàn)次數(shù)X的概率分布于m無(wú)關(guān)。事實(shí)上,貝努利試驗(yàn)中，人們有時(shí)也關(guān)心的是要多長(zhǎng)時(shí)間才會(huì)出現(xiàn)第r次成功的概率。,這一模型給出了要多長(zhǎng)時(shí)間才會(huì)出現(xiàn)第r次成功的概率。這種概率分布規(guī)律稱為巴斯卡分布。這個(gè)分布與著名的分賭注問(wèn)題有關(guān)。這一模型也可以解決巴拿赫火柴盒問(wèn)題.,?7巴斯卡分布,Def若隨機(jī)變量的概率函數(shù)為則稱服從參數(shù)為的巴斯卡分布，記。,Pascaldistribution,注：時(shí)，為幾何分布。,?8超幾何分布,設(shè)有產(chǎn)品S件,其中正品N件,次品M件，從中隨機(jī)不放回地抽取件,記X為抽到的正品件數(shù)，求X的分布律。,稱X服從超幾何分布.記,,可以證明超幾何分布的極限分布就是二項(xiàng)分布，因此在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)都很大時(shí)，超幾何分布可用下面式子近似,