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第四節(jié)向量空間,一向量空間,二向量空間的基與維數(shù),三基變換與坐標(biāo)變換,1、定義,一、向量空間,設(shè)Ｖ為ｎ維非空向量組，且滿足對線性運(yùn)算封閉,①對加法封閉,②對數(shù)乘封閉,那么就稱集合Ｖ為向量空間.,例如，Ｖ={0}和Ｖ=Rn均為向量空間,2、定義,設(shè)U、Ｖ為兩向量空間，若,，則稱U是Ｖ,的子空間。,例如，設(shè)Ｖ是一向量空間，,是Ｖ的子空間,二、向量空間的基與維數(shù),定義,②均可由線性表示.,若滿足：,設(shè)Ｖ是一個(gè)向量空間，它的某r個(gè)向量,記作：r=dimＶ，,①線性無關(guān)；,則稱為Ｖ的一個(gè)基.r稱為Ｖ的維數(shù).,Ｖ是一個(gè)r維向量空間,規(guī)定零空間的維數(shù)為0,注：①向量空間的基是其作為向量集合的極大線性無關(guān)組,③向量空間的維數(shù)等于其基向量組的秩,②向量空間的基不唯一,的坐標(biāo)向量，簡稱坐標(biāo),定理：,若向量空間V的維數(shù)為r,則V中任r個(gè)線性無關(guān)的,向量都是V的一組基,向量空間的坐標(biāo),設(shè)為向量空間Ｖ的一組基，則任給,設(shè),例1,①證明：為向量空間R3的一組基,②求在基下的坐標(biāo),提示1：令則|A|≠0，故線性無關(guān),提示2：,注：在基本向量組為,一個(gè)向量在一組基下的坐標(biāo)是唯一確定的,一個(gè)向量在不同基下的坐標(biāo)是不同的,問題:,三、基變換與坐標(biāo)變換,1、設(shè)Ｖ為ｎ維非空向量組，對于Ｖ中兩組不同基之間有,什么關(guān)系？,2、Ｖ中的一個(gè)向量在兩組不同基下有什么關(guān)系？,過渡矩陣建立了不同基之間的關(guān)系，具有如下性質(zhì)：,兩組不同的基，若有矩陣Crr，使得,的過渡矩陣（基變換矩陣）,的過渡矩陣,則,X和Y，即,注意：坐標(biāo)變換公式與基變換公式表述形式的區(qū)別,的過度矩陣,解：,①由題可得兩向量組之間有如下關(guān)系,線性無關(guān)，即為Ｖ4的一組基,因過渡矩陣C可逆，故,