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12.2周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù),一、周期函數(shù),f(t)=f(t+kT),T為周期函數(shù)f(t)的周期，k=0，1，2，……如果給定的周期函數(shù)滿足狄里赫利條件，它就能展開成一個收斂的傅里葉級數(shù)。電路中的非正弦周期量都能滿足這個條件。,二、傅里葉級數(shù)的兩種形式,1、第一種形式,式中：K=1，2，3…,系數(shù)的計算公式,2、第二種形式,A0稱為周期函數(shù)的恒定分量（或直流分量）；A1mcos(ω1t+ψ1)稱為1次諧波（或基波分量），其周期或頻率與原周期函數(shù)相同；其他各項統(tǒng)稱為高次諧波，即2次、3次、4次、……,3、兩種形式系數(shù)之間的關系,第一種形式,第二種形式,A0=a0,ak=Akmcosψk,bk=-Akmsinψk,4、傅里葉分解式的數(shù)學、電氣意義,,傅氏分解,A0,U1,U2,…,u(t),u(t),分解后的電源相當于無限個電壓源串聯(lián)對于電路分析應用的方法是疊加定理,三、f(t)的頻譜,傅里葉級數(shù)雖然詳盡而又準確地表達了周期函數(shù)分解的結(jié)果，但不很直觀。為了表示一個周期函數(shù)分解為傅氏級數(shù)后包含哪些頻率分量以及各分量所占“比重”，用長度與各次諧波振幅大小相對應的線段，按頻率的高低順序把它們依次排列起來，得到的圖形稱為f(t)的頻譜。,1、幅度頻譜,各次諧波的振幅用相應線段依次排列。,2、相位頻譜把各次諧波的初相用相應線段依次排列。,,,,,,,,,4ω1,3ω1,2ω1,ω1,例：求周期性矩形信號的傅里葉級數(shù)展開式及其頻譜,,f(t),t,ω1t,Em,-Em,π,2π,T,解：f(t)在第一個周期內(nèi)的表達式為,f(t)=,,Em,-Em,根據(jù)公式計算系數(shù),0,=0,當k為偶數(shù)時：cos(kπ)=1bk=0,當k為奇數(shù)時：cos(kπ)=-1,代入求得,當k為偶數(shù)時：cos(kπ)=1bk=0,當k為奇數(shù)時：cos(kπ)=-1,,圖形曲線分析:,取到11次諧波時合成的曲線,比較兩個圖可見，諧波項數(shù)取得越多，合成曲線就越接近于原來的波形。,,f(t),t,ω1t,Em,-Em,π,2π,T,假設Em=1，ω1t=π/2，得,取到11次諧波時，結(jié)果為0.95;取到13次諧波時，結(jié)果為1.05;取到35次諧波時，結(jié)果為0.98,誤差為2%,矩形信號f(t)的頻譜,,,,7ω1,5ω1,3ω1,ω1,,3、頻譜與非正弦信號特征的關系,波形越接近正弦波，諧波成分越少；,f(t)=10cos(314t+30),,ω1,1、偶函數(shù)f(t)=f(-t)縱軸對稱的性質(zhì),四、非正弦函數(shù)波形特征與展開式的系數(shù)之間的關系,可以證明：bk=0,1、偶函數(shù)縱軸對稱的性質(zhì)f(t)=f(-t),展開式中只含有余弦項分量和直流分量,f(t)=-f(-t)原點對稱的性質(zhì),2、奇函數(shù),可以證明：a0=0,ak=0,原點對稱的性質(zhì)f(t)=-f(-t),2、奇函數(shù),展開式中只含有正弦項分量,滿足f(t)=-f(t+T/2),稱為奇諧波函數(shù),f(t),t,T,3、奇諧波函數(shù):,f(t)=-f(t+T/2),叫做鏡對稱的性質(zhì),判斷:利用鏡對稱的性質(zhì)f(t)=-f(t+T/2),3、奇諧波函數(shù),可以證明：a2k=b2k=0,f(t)=,展開式中只含有奇次諧波分量,判斷下面波形的展開式特點,f(t)是奇函數(shù)展開式中只含有正弦分量f(t)又是奇諧波函數(shù)展開式中只含有奇次諧波,f(t)=,系數(shù)Akm與計時起點無關（但ψk是有關的），這是因為構成非正弦周期函數(shù)的各次諧波的振幅以及各次諧波對該函數(shù)波形的相對位置總是一定的，并不會因計時起點的變動而變動；因此，計時起點的變動只能使各次諧波的初相作相應地改變。由于系數(shù)ak和bk與初相ψk有關，所以它們也隨計時起點的改變而改變。,4、系數(shù)和計時起點的關系,由于系數(shù)ak和bk與計時起點的選擇有關，所以函數(shù)是否為奇函數(shù)或偶函數(shù)可能與計時起點的選擇有關。但是，函數(shù)是否為奇諧波函數(shù)卻與計時起點無關。因此適當選擇計時起點有時會使函數(shù)的分解簡化。,4、系數(shù)和計時起點的關系,例：已知某信號半周期的波形，在下列不同條件下畫出整個周期的波形,1、只含有余弦分量2、只含有正弦分量3、只含有奇次諧波分量,1、只含有余弦分量,f(t)應是偶函數(shù)關于縱軸對稱,2、只含有正弦分量,f(t)應是奇函數(shù)關于原點對稱,3、只含有奇次諧波分量,f(t)應是奇諧波函數(shù)鏡象對稱,,