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數(shù)學(xué)解題過程與解題教學(xué),一、數(shù)學(xué)解題過程1、數(shù)學(xué)問題的分類數(shù)學(xué)問題具有客觀和主觀兩個方面。問題的客觀方面是指問題的語言陳述，也就是通常意義下的數(shù)學(xué)題。問題的主觀方面是指解題者對問題的理解，主要包括問題的起始狀態(tài)、目標狀態(tài)和達到目標狀態(tài)的途徑，解題者對數(shù)學(xué)題的理解可以稱為問題空間。雖然問題的語言陳述是相同的，但是不同的解題者對問題的理解會有很大的不同，即不同的解題者形成不同的問題空間類型。因此我們可以將數(shù)學(xué)題和人看成一個系統(tǒng)，依據(jù)解題者形成的問題空間類型來劃分數(shù)學(xué)問題。,（1）標準題,如果解題者明確某個數(shù)學(xué)題的起始狀態(tài)、目標狀態(tài)，達到目標的途徑，那么解題者形成第一類問題空間類型，相對于解題者而言，這個數(shù)學(xué)題稱為標準題。,（2）變式題,如果解題者明確某個數(shù)學(xué)題的起始狀態(tài)、目標狀態(tài)，達到目標的途徑，但是解題者還需要從兩種或兩種以上達到目標狀態(tài)的途徑中進行選擇，那么解題者形成第二類問題空間類型，相對于解題者而言，這個數(shù)學(xué)題稱為變式題。,（3）探究題,如果解題者明確某個數(shù)學(xué)題的起始狀態(tài)和目標狀態(tài)，但不知如何到達目標，那么解題者形成第三類問題空間類型，相對于解題者而言，這個數(shù)學(xué)題稱為探究性題。,（4）開放題,如果解題者只明確數(shù)學(xué)題的起始狀態(tài)，或目標狀態(tài)，或達到目標狀態(tài)的途徑而且只明確一個，那么解題者形成第四類問題空間類型，相對于解題者而言，此數(shù)學(xué)題是開放性題。,實驗1,閱讀題后立即報告該題的解題方法。,實驗2,閱讀題后立即報告該題的解題方法。,實驗3,閱讀題后立即報告該題的解題方法。,實驗4,閱讀題后立即報告該題的解題方法。給出三張圖，每個圖中畫出五個點，問哪張圖中的五個點從整體上看散度最小，為什么？,2、數(shù)學(xué)解題過程分析,（1）波利亞的《怎樣解題》表喬治波利亞(GeorgePolya，1887-1985)美籍匈牙利數(shù)學(xué)家。先后在布達佩斯、維也納、哥廷根、巴黎等地攻讀法律、語言、數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)，獲布達佩斯大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位，是法國巴黎科學(xué)院、美國全國科學(xué)院和匈牙利科學(xué)院的院士。,（1）波利亞的《怎樣解題》表,作為數(shù)學(xué)教授的波利亞為了改變數(shù)學(xué)在公眾心目中的形象，致力于解題的研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，他很早就開始探索數(shù)學(xué)中的發(fā)明創(chuàng)造，利用在大學(xué)任教的機會，通過與學(xué)生的交流和對學(xué)生的細致觀察，認真研究了人們解題的過程，通過和一批數(shù)學(xué)大家的交流，花了整整三十年的時間，直到1944年才發(fā)展為名著《怎樣解題》一書。該書出版后，被譯成多種文字，直到今天，該書仍被各國數(shù)學(xué)教育界奉為經(jīng)典，波利亞的啟發(fā)式教學(xué)和數(shù)學(xué)解題方法成為數(shù)學(xué)教育的一面旗幟，在全世界廣為流傳。,第一你必須弄清問題,弄清問題未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)（指已知數(shù)、已知圖形和已知事項等的統(tǒng)稱）是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？畫張圖。引入適當?shù)姆?。把條件的各個部分分開。你能否把它們寫下來？,第二找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系,如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。你應(yīng)該最終得出一個求解的計劃。,第二找出已知數(shù)與求知數(shù)之間的聯(lián)系,擬定計劃你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數(shù)！試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題，你能應(yīng)用它嗎?,第二找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系,擬定計劃你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去。,第二找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系,擬定計劃如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關(guān)的問題。你能不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知數(shù)能確定到什么程度？它會怎樣變化？,第二找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系,擬定計劃你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其它數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)和數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？,第二找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系,擬定計劃你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？,第三實行你的計劃,實現(xiàn)計劃實現(xiàn)你的求解計劃，檢驗每一步驟。你能否清楚地看出這一步是正確的？你能否證明這一步是正確的？,第四驗算所得到的解,回顧反思你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果？你能否一下子看出它來？你能不能把這結(jié)果或方法用于其它的問題？,解題過程的四個階段,問題的理解、制定解題方案、執(zhí)行解題方案、評價和調(diào)整。不一定完全按上述順序進行，經(jīng)常是從后一階段返回到前一階段。如果執(zhí)行解題操作有困難，可能返回第一階段，即對問題的條件狀態(tài)、目標狀態(tài)進行重新的理解，也可能返回第二階段重新制定解題的方案。,（2）解標準題的過程,解標準題的過程是模式再認的過程模式：問題條件的外在特征或本質(zhì)特征、典型范例或典型范例中的關(guān)鍵詞。通過模式識別，激活相應(yīng)操作的條件，從而執(zhí)行有關(guān)的操作，直至達到問題的目標狀態(tài)。,（3）解變式題的過程,由于變式題是對熟悉了的模式作形式上的變化，即對標準題增設(shè)了干擾因素，這就要求解題者逐步擺脫已有解題操作（或解題程序）的束縛以適應(yīng)問題情境的變化。,（3）解變式題的過程,由于通用的解題操作（或解題程序）總是暗中支配和制約解題者的行為，所以要適應(yīng)問題的變化，解題者必須學(xué)會評價解題中的中間成果和調(diào)整自己的思維，即學(xué)會評價一種解題操作是否可行。如果某種解題操作行不通或會造成復(fù)雜的運算等，則需要解題者能夠及時轉(zhuǎn)換思維，如重新認識問題的條件或問題的目標，以找到新的解題途徑。因此與解標準題不同的是，解變式題的過程增加了評價和調(diào)整兩個中間環(huán)節(jié)。,（3）解變式題的過程,解變式題可以實現(xiàn)從數(shù)學(xué)基本知識和基本技能的學(xué)習(xí)向探究活動的過渡，是解題學(xué)習(xí)的一個重要階段，有別于標準題的解題過程。,（3）解變式題的過程,解變式題時，解題者為了適應(yīng)新問題，開始注意問題的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，對執(zhí)行解題操作的條件更加敏感，應(yīng)用策略技能的發(fā)展使解題者從對數(shù)學(xué)題所含信息的加工開始轉(zhuǎn)向?qū)ψ陨碚J知活動本身的認識，所以在問題的認知方式上發(fā)生了重要變化。,（4）解探究題的過程,解探究題的過程是新途徑的發(fā)現(xiàn)過程。發(fā)現(xiàn)過程是指解題者通過積極的思維，在向著目標狀態(tài)逐步逼近的的進程中能有意識地揭示問題的潛在聯(lián)系的過程。,（4）解探究題的過程,有研究認為，解變式題更多地受原型的指引和影響，而解探究題主要依賴解題者對復(fù)雜多變的情況進行抉擇，通過分析、引申和適當?shù)霓D(zhuǎn)換變通尋求可解的途徑。要求能針對問題自身的特征，靈活地選擇和支配知識，顯示出創(chuàng)造性思維的特征。,二、數(shù)學(xué)解題教學(xué),數(shù)學(xué)解題教學(xué)包括數(shù)學(xué)例題教學(xué)和數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)。例題教學(xué)是以教師為主導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生將已學(xué)習(xí)的概念、命題應(yīng)用于解決數(shù)學(xué)問題所提供的一種示范性活動；習(xí)題教學(xué)則是以學(xué)生為主體，依照或模仿例題，自己將已學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于解決數(shù)學(xué)問題的實踐性活動。數(shù)學(xué)解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一項重要內(nèi)容。,1．解題教學(xué)的意義和功能,（1）通過解題活動，學(xué)生不僅可以加深對所學(xué)知識的理解，而且還能達到訓(xùn)練邏輯思維的目的，根據(jù)不同的教學(xué)目標編擬不同類型的題目，能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，提高智能和發(fā)展能力。,1．解題教學(xué)的意義和功能,(2)數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理等是為了解決問題才產(chǎn)生和發(fā)展的，而用它們?nèi)ソ鉀Q問題卻需要一定的技能，這種技能只有通過解題活動才能掌握，因此，解題教學(xué)能夠幫助學(xué)生形成解決問題的技能。,1．解題教學(xué)的意義和功能,(3)初學(xué)數(shù)學(xué)概念、定理、公式及法則時很容易造成對知識理解不深入，甚至產(chǎn)生錯誤的理解，而這些錯誤能充分地在解題活動中暴露出來，通過解題教學(xué)，教師能及時糾正和澄清學(xué)生的錯誤觀念，使他們能正確和完整地掌握知識。,1．解題教學(xué)的意義和功能,(4)通過解題教學(xué)以及對學(xué)生的解題作業(yè)分析，可以測試學(xué)生的數(shù)學(xué)認知水平，了解和評估學(xué)生的數(shù)學(xué)能力狀況，為教材分析和教法調(diào)整提供有用的參考數(shù)據(jù)。,2．解題教學(xué)的基本要求,(1)要使學(xué)生明確解題的目標和要求。(2)要使學(xué)生熟悉解題步驟。(3)要使學(xué)生掌握解題思想和方法。(4)要使學(xué)生養(yǎng)成解題后反思的習(xí)慣。,本階段微格教學(xué)任務(wù),準備一個以數(shù)學(xué)解題為主要內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計方案。確定講解時間為15分鐘的內(nèi)容。,