《《相似三角形判定定理的證明》知識講解(基礎(chǔ)）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《相似三角形判定定理的證明》知識講解(基礎(chǔ)）（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

讓更多的孩子得到更好的教育 相似三角形判定定理的證明(基礎(chǔ)) 責(zé)編：康紅梅 【學(xué)習(xí)目標】 1.熟記三個判定定理的內(nèi)容. 2.三個判定定理的證明過程. 3.學(xué)選會用適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明結(jié)論的成立性. 【要點梳理】 要點一、兩角分別相等的兩個三角形相似 已知：如圖,在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求證：△ABC∽△A′B′C′. 證明：在△ABC的邊AB（或它的延長線）上截取AD=A′B′,過點D作BC的平行線，交AC于點E,則 ∠ADE=∠B，∠AED=∠C, 過點D作AC的平行線，交BC與點F,則 ∴ ∵DE∥BC,DF∥AC, ∴四邊形DFCE是平行四邊形. ∴DE=CF. ∴AE:AC=DE:CB ∴. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE∽△ABC. ∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE∽△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 要點詮釋：證明這個定理的正確性，是把它轉(zhuǎn)化為平行線分線段成比例來證明的，注意轉(zhuǎn)化時 輔助線的做法. 要點二、兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似 已知，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′, ,求證：△ABC∽△A′B′C′. 證明：在△ABC的邊AB（或它的延長線）上截取AD=A′B′,過點D作BC的平行線，交AC于點E,則 ∠B=∠ADE,∠C=∠AED, ∴△ABC∽△ADE(兩角分別相等的兩個三角形相似). ∴. ∵ ,AD=A′B′, ∴ ∴ ∴AE=A′C′ 而∠A=∠A′ ∴△ADE≌△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 要點詮釋：利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過添設(shè)輔助線，將未知的判定方法轉(zhuǎn)化為已知兩組角對應(yīng)相等推得相似或已知平行推得相似的. 要點三、三邊成比例的兩個三角形相似 已知：在△ABC和△A′B′C′中， . 求證：△ABC∽△A′B′C′. 證明：在△ABC的邊AB，AC（或它們的延長線）上截取AD=A′B′,AE=A′C′,連接DE. ∵，AD=A′B′,AE=A′C′, ∴ 而∠BAC=∠DAE, ∴△ABC∽△ADE(兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似). ∴ 又，AD= A′B′, ∴ ∴ ∴DE=B′C′, ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′. 【典型例題】 類型一、兩角分別相等的兩個三角形相似 1、在△ABC中，∠A=60，BD⊥AC，垂足為D，CE⊥AB，垂足為E，求證：△ADE∽△ABC． 【思路點撥】由BD⊥AC，CE⊥AB得到∠AEC=∠ADB=90，利用∠EAC=∠DAB可判斷△AEC∽△ADB，則=，利用比例性質(zhì)得=，加上∠EAD=∠CAB，根據(jù)三角形相似的判定方法即可得到結(jié)論． 【答案與解析】 證明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠AEC=∠ADB=90， 而∠EAC=∠DAB， ∴△AEC∽△ADB， ∴=， ∴=， ∵∠EAD=∠CAB， ∴△ADE∽△ABC． 【總結(jié)升華】考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對應(yīng)相等的兩三角形相似；有兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角相等的兩個三角形相似；相似三角形的對應(yīng)邊的比相等． 舉一反三 【變式】如圖，△ABC是等邊三角形，點D，E分別在BC、AC上，且∠ADE=60，求證：BD?CD=AC?CE. 【答案】 證明：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠B=∠C=60，AB=AC， ∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60， ∴∠BAD=∠CDE， ∴△ABD∽△DCE， ∴， ∴BD?CD=AB?CE， 即BD?CD=AC?CE； 2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90，點H在AC上，且線段HD⊥AB于D，BC的延長線與DH的延長線交于點E，求證：△AHD∽△EBD． 【思路點撥】首先利用三角形的內(nèi)角和定理證明：∠A=∠E，再有垂直得到90的角，∠ADH=∠ACB=90，從而證明：△AHD∽△EBD． 【答案與解析】 證明：∵HD⊥AB于D， ∴∠ADH=90， ∴∠A+∠AHD=90， ∵∠ACB=90， ∴∠E+∠AHD=90， ∴∠A=∠E， ∵∠ADH=∠ACB=90， ∴△AHD∽△EBD． 【總結(jié)升華】考查了垂直定義、三角形內(nèi)角和定理以及相似三角形的判定方法：兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似． 類型二、兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似 3、（2016?福州）如圖，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC邊上截取AD=BC，連接BD． （1）通過計算，判斷AD2與AC?CD的大小關(guān)系； （2）求∠ABD的度數(shù)． 【思路點撥】 （1）先求得AD、CD的長，然后再計算出AD2與AC?CD的值，從而可得到AD2與AC?CD的關(guān)系； （2）由（1）可得到BD2=AC?CD，然后依據(jù)對應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩三角形相似證明△BCD∽△ABC，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可求得∠ABD的度數(shù)． 【答案與解析】 解：（1）∵AD=BC=1，BC=， ∴AD=，DC=1﹣=． ∴AD2==，AC?CD=1=． ∴AD2=AC?CD． （2）∵AD=BC，AD2=AC?CD， ∴BC2=AC?CD，即． 又∵∠C=∠C， ∴△BCD∽△ACB． ∴，∠DBC=∠A． ∴DB=CB=AD． ∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC． 設(shè)∠A=x，則∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x． ∵∠A+∠ABC+∠C=180， ∴x+2x+2x=180． 解得：x=36． ∴∠ABD=36． 【總結(jié)升華】本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，證得△BCD∽△ABC是解題的關(guān)鍵． 舉一反三 【變式】（2015?隨州）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，下列條件中不能判斷△ABC∽△AED的是（　?。? 　 A．∠AED=∠B B． ∠ADE=∠C C． = D． = 【答案 】D； 提示：∵∠DAE=∠CAB， ∴當(dāng)∠AED=∠B或∠ADE=∠C時，△ABC∽△AED； 當(dāng)=時，△ABC∽△AED． 故選D． 4、如圖，F(xiàn)為平行四邊形ABCD的邊AD的延長線上的一點，BF分別交于CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE． 【答案與解析】解：設(shè)BE=x， ∵EF=32，GE=8， ∴FG=32﹣8=24， ∵AD∥BC， ∴△AFE∽△CBE， ∴=， ∴則==+1① ∵DG∥AB， ∴△DFG∽△CBG， ∴= 代入① =+1， 解得：x=16（負數(shù)舍去）， 故BE=16． 【總結(jié)升華】此題主要考查了相似三角形的判定、平行四邊形的性質(zhì)，得出△DFG∽△CBG是解題關(guān)鍵． 舉一反三 【變式】如圖，在43的正方形方格中，△ABC和△DEC的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上． （1）填空：∠ABC=　　，BC=　 ； （2）判斷△ABC與△DEC是否相似，并證明你的結(jié)論． 【答案】解：（1）∠ABC=135，BC=； （2）相似； ∵BC=，EC==； ∴，； ∴； 又∠ABC=∠CED=135， ∴△ABC∽△DEC． 類型三、三邊成比例的兩個三角形相似 5、已知：正方形的邊長為1 （1）如圖①，可以算出正方形的對角線為　　，求兩個正方形并排拼成的矩形的對角線長，n個呢？ （2）根據(jù)圖②，求證△BCE∽△BED； （3）由圖③，在下列所給的三個結(jié)論中，通過合情推理選出一個正確的結(jié)論加以證明，1．∠BEC+∠BDE=45；⒉∠BEC+∠BED=45；⒊∠BEC+∠DFE=45 【思路點撥】（1）主要是根據(jù)勾股定理尋找規(guī)律，容易在數(shù)據(jù)中找到正確結(jié)論； （2）在每個三角形中，根據(jù)勾股定理易求出每條邊的長度，可利用三組邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似來判定； （3）欲證∠BEC+∠DFE=45，在本題中等于45的角有兩個，即∠AEB和∠BEF，所以在證明第三個結(jié)論時，需把這兩個角想法轉(zhuǎn)移到已知的一個角中去，利用等腰梯形的性質(zhì)求解即可． 【答案與解析】 解：（1）由勾股定理知，在第一個圖形中，對角線長==， 第二個圖形中，對角線長==， 第三個圖形中，對角線長=， 所以第n個圖形中，對角線長=； （2）在△BCE中，BC=1，BE=，EC=， 在△BED中，BE=，BD=2，ED=， 所以， ∴△BCE∽△BED； （3）選?、?， ∵CD∥EF，且CE=DF， ∴四邊形CEFD為等腰梯形， ∴∠DFE=∠CEF， ∴∠BEC+∠DFE=∠BEC+∠CEF=45． 【總結(jié)升華】此題主要運用三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似的判定定理、勾股定理的運用、等腰梯形的性質(zhì)來解決問題的. 地址：北京市西城區(qū)新德街20號4層 電話：010－82025511 傳真：010－82079687 第8頁 共8頁