(濰坊專版)2019中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第1部分 第五章 四邊形 第二節(jié) 矩形、菱形、正方形課件.ppt
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第二節(jié)矩形、菱形、正方形,考點(diǎn)一矩形的性質(zhì)與判定(5年3考)例1(2018威海中考)矩形ABCD與CEFG如圖放置,點(diǎn)B,C,E共線,點(diǎn)C,D,G共線,連接AF,取AF的中點(diǎn)H,連接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,則GH=()A.1B.C.D.,【分析】延長(zhǎng)GH交AD于點(diǎn)P,先證△APH≌△FGH得AP=GF=1,GH=PH=PG,再利用勾股定理得出答案.【自主解答】如圖,延長(zhǎng)GH交AD于點(diǎn)P.∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是矩形,∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90,AD=BC=2,GF=CE=1,∴AD∥GF,∴∠GFH=∠PAH.,又∵H是AF的中點(diǎn),∴AH=FH.在△APH和△FGH中,∴△APH≌△FGH(ASA),∴AP=GF=1,GH=PH=PG,∴PD=AD-AP=1.∵CG=2,CD=1,∴DG=1,則故選C.,矩形的性質(zhì)應(yīng)用及判定方法(1)矩形性質(zhì)的應(yīng)用:從邊上看,兩組對(duì)邊分別平行且相等;從角上看,矩形的四個(gè)角都是直角;從對(duì)角線上看,對(duì)角線互相平分且相等,同時(shí)把矩形分為四個(gè)面積相等的等腰三角形.(2)矩形的判定方法:若四邊形可以證為平行四邊形,則還需證明一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等;若直角較多,可利用“三個(gè)角為直角的四邊形是矩形”來證.,1.(2018棗莊中考)如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),AE⊥BD,垂足為F,則tan∠BDE的值為(),A,2.(2018濱州中考)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在BC,CD上,若AE=,∠EAF=45,則AF的長(zhǎng)為.,3.如圖,在?ABCD中,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊CD上,DF=BE,連接AF,BF.(1)求證:四邊形BFDE是矩形;(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求證:AF平分∠DAB.,證明:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴DC∥AB,即DF∥BE.又∵DF=BE,∴四邊形BFDE為平行四邊形.又∵DE⊥AB,∴∠DEB=90,∴四邊形BFDE為矩形.,(2)∵四邊形BFDE為矩形,∴∠BFC=90.∵CF=3,BF=4,∴BC==5.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD=BC=5,∴AD=DF=5,∴∠DAF=∠DFA.又∵DC∥AB,∴∠DFA=∠FAB,∴∠DAF=∠FAB,即AF平分∠DAB.,考點(diǎn)二菱形的性質(zhì)與判定(5年3考)例2(2017東營(yíng)中考)如圖,在?ABCD中,用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點(diǎn)E.若BF=8,AB=5,則AE的長(zhǎng)為()A.5B.6C.8D.12,【分析】連接EF,先判定四邊形ABEF的形狀,再利用勾股定理進(jìn)行解答即可.【自主解答】如圖,連接EF,AE與BF交于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD是平行四邊形,且AG是∠BAD的平分線,∴∠FAE=∠AEB,∠FAE=∠EAB,∴∠AEB=∠EAB,∴AB=BE.,∵AB=AF,∴AF=BE,∴四邊形ABEF為平行四邊形.又∵AB=BE,∴四邊形ABEF是菱形,∴AE⊥BF,OB=BF=4,OA=AE.∵AB=5,∴在Rt△AOB中,AO=∴AE=2AO=6.故選B.,菱形的性質(zhì)應(yīng)用及判定方法(1)判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí),一是證明四條邊相等;二是先證明它是平行四邊形,進(jìn)而再證明它是菱形.(2)運(yùn)用菱形的性質(zhì)時(shí),要注意菱形的對(duì)角線互相垂直這個(gè)條件;此外,菱形的對(duì)角線所在的直線是菱形的對(duì)稱軸,運(yùn)用這一性質(zhì)可以求出線段和的最小值.,4.(2018日照中考)如圖,在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AO=CO,BO=DO.添加下列條件,不能判定四邊形ABCD是菱形的是()A.AB=ADB.AC=BDC.AC⊥BDD.∠ABO=∠CBO,B,5.(2018壽光模擬)如圖,已知菱形ABCD的一個(gè)內(nèi)角∠BAD=80,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在CD上,且DE=DO,則∠EOC=_____.,25,6.(2018揚(yáng)州中考)如圖,在平行四邊形ABCD中,DB=DA,點(diǎn)F是AB的中點(diǎn),連接DF并延長(zhǎng),交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AE.(1)求證:四邊形AEBD是菱形;(2)若DC=,tan∠DCB=3,求菱形AEBD的面積.,(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥CE,∴∠DAF=∠EBF.∵∠AFD=∠EFB,AF=FB,∴△AFD≌△BFE,∴AD=EB.∵AD∥EB,∴四邊形AEBD是平行四邊形.∵BD=AD,∴四邊形AEBD是菱形.,(2)解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴CD=AB=,AB∥CD,∴∠ABE=∠DCB,∴tan∠ABE=tan∠DCB=3.∵四邊形AEBD是菱形,∴AB⊥DE,AF=FB,EF=DF,∴tan∠ABE==3.∵BF=,∴EF=,∴DE=3,∴S菱形AEBD=ABDE=3=15.,考點(diǎn)三正方形的性質(zhì)與判定(5年4考)例3(2018濰坊中考)如圖,點(diǎn)M是正方形ABCD邊CD上一點(diǎn),連接AM,作DE⊥AM于點(diǎn)E,BF⊥AM于點(diǎn)F,連接BE.(1)求證:AE=BF;(2)已知AF=2,四邊形ABED的面積為24,求∠EBF的正弦值.,【分析】(1)通過證明△ABF≌△DAE得到AE=BF;(2)設(shè)AE=x,則BF=x,DE=AF=2,利用四邊形ABED的面積等于△ABE的面積與△ADE的面積之和得到xx+x2=24,解方程求出x得到AE=BF=6,則EF=x-2=4,然后利用勾股定理計(jì)算出BE,最后利用正弦的定義求解.,【自主解答】(1)∵四邊形ABCD為正方形,∴BA=AD,∠BAD=90.∵DE⊥AM于點(diǎn)E,BF⊥AM于點(diǎn)F,∴∠AFB=90,∠DEA=90.∵∠ABF+∠BAF=90,∠EAD+∠BAF=90,∴∠ABF=∠EAD.,在△ABF和△DAE中,∴△ABF≌△DAE(AAS),∴AE=BF.(2)設(shè)AE=x,則BF=x,DE=AF=2.∵S四邊形ABED=S△ABE+S△AED=24,∴xx+x2=24,解得x1=6,x2=-8(舍去),,∴EF=x-2=4.在Rt△BEF中,BE=∴sin∠EBF=,判定正方形的方法及其特殊性(1)判定一個(gè)四邊形是正方形,可以先判定四邊形為矩形,再證鄰邊相等或者對(duì)角線互相垂直;或先判定四邊形為菱形,再證有一個(gè)角是直角或者對(duì)角線相等.(2)正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形,具有它們的所有性質(zhì).,7.(2017濟(jì)南中考)如圖,正方形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB=3,E為OC上一點(diǎn),OE=1,連接BE,過點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F,與BD交于點(diǎn)G,則BF的長(zhǎng)是(),A,8.(2018青島中考)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AD,DC上,AE=DF=2,BE與AF相交于點(diǎn)G,點(diǎn)H為BF的中點(diǎn),連接GH,則GH的長(zhǎng)為.,9.(2015濰坊中考)如圖1,點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn).分別延長(zhǎng)OD到點(diǎn)G,OC到點(diǎn)E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以O(shè)G,OE為鄰邊作正方形OEFG,連接AG,DE.,(1)求證:DE⊥AG.(2)正方形ABCD固定,將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角(0<α<360)得到正方形OE′F′G′,如圖2.①在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)∠OAG′是直角時(shí),求α的度數(shù);②若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,在旋轉(zhuǎn)過程中,求AF′長(zhǎng)的最大值和此時(shí)α的度數(shù),直接寫出結(jié)果不必說明理由.,證明:如圖,延長(zhǎng)ED交AG于點(diǎn)H.∵O為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),∴OA=OD,OA⊥OD.∵OG=OE,∴Rt△AOG≌Rt△DOE,∴∠AGO=∠DEO.∵∠AGO+∠GAO=90,∴∠DEO+∠GAO=90,∴∠AHE=90,即DE⊥AG.,(2)解:①如圖,在旋轉(zhuǎn)過程中,∠OAG′成為直角有以下兩種情況:(i)α由0增大到90過程中,當(dāng)∠OAG′為直角時(shí),∵OA=OD=OG=OG′,∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O=∴∠AG′O=30.,∵OA⊥OD,OA⊥AG′,∴OD∥AG′,∴∠DOG′=∠AG′O=30,即α=30.(ii)α由90增大到180過程中,當(dāng)∠OAG″為直角時(shí),同理可求∠BOG″=30,∴α=180-30=150.綜上所述,當(dāng)∠OAG′為直角時(shí),α=30或150.②AF′長(zhǎng)的最大值是2+,此時(shí)α=315.,考點(diǎn)四四邊形綜合題百變例題(2018棗莊中考改編)如圖,將矩形ABCD沿AF折疊,使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處,過點(diǎn)E作EG∥CD交AF于點(diǎn)G,連接DG.(1)求證:四邊形EFDG是菱形;(2)探究線段EG,GF,AF之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(3)若AG=,EG=,求BE的長(zhǎng).,【分析】(1)先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DGF=∠DFG,從而得到GD=DF,再根據(jù)翻折的性質(zhì)即可證明DG=GE=DF=EF;(2)連接DE,交AF于點(diǎn)O.由菱形的性質(zhì)可知GF⊥DE,OG=OF=GF,然后證明△DOF∽△ADF,由相似三角形的性質(zhì)可證明DF2=FOAF,于是可得到EG,AF,GF的數(shù)量關(guān)系;,(3)過點(diǎn)G作GH⊥DC,垂足為H.利用(2)的結(jié)論可求得FG,然后在△ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長(zhǎng),然后再證明△FGH∽△FAD,利用相似三角形的性質(zhì)可求得GH的長(zhǎng),最后依據(jù)BE=AD-GH求解即可.,【自主解答】(1)∵GE∥DF,∴∠EGF=∠DFG.∵由翻折的性質(zhì)可知GD=GE,DF=EF,∠DGF=∠EGF,∴∠DGF=∠DFG,∴GD=DF,∴DG=GE=DF=EF,∴四邊形EFDG是菱形.,(2)EG2=GFAF.理由如下:如圖,連接DE,交AF于點(diǎn)O.∵四邊形EFDG是菱形,∴GF⊥DE,OG=OF=GF.∵∠DOF=∠ADF=90,∠OFD=∠DFA,∴△DOF∽△ADF,∴,∴DF2=FOAF.∵FO=GF,DF=EG,∴EG2=GFAF.,(3)如圖,過點(diǎn)G作GH⊥DC,垂足為點(diǎn)H.∵EG2=GFAF,AG=,EG=,∴=FG(FG+),解得FG=,F(xiàn)G=-(舍去).,∵DF=EG=,AF=,∴AD==10.∵GH⊥DC,AD⊥DC,∴GH∥AD,∴△FGH∽△FAD,∴,即GH=2,∴BE=AD-GH=10-2=8.,變式1:證明:如圖,由題意可知,BG=GH,AE=AD=10,AH=AB=6,∠1=∠2,∠3=∠4.(1)∵∠1+∠2+∠3+∠4=∠BAD=90,∴∠2+∠3=∠BAD=90=45,即∠FAG=45.,(2)∵AE=10,AH=6,∴HE=AE-AH=10-6=4.設(shè)BG=x,∴GH=BG=x,∴GE=AD-BG-EC=10-x-2=8-x.在Rt△GHE中,∵GE2=GH2+HE2,∴(8-x)2=x2+42,∴x=3,即GH=BG=3,,∴S△ABG=ABBG=63=9,S△GHE=GHHE=34=6,∴S△ABG=S△EGH.(3)∵GE=8-x=8-3=5,BG+EC=3+2=5,∴BG+CE=GE.,變式2:解:如圖,當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時(shí),連接AC.在Rt△ABC中,AB=6,BC=10,∴AC=∵∠B沿AM折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處,∴∠AB′M=∠B=90.,當(dāng)△CMB′為直角三角形時(shí),只能得到∠MB′C=90,∴點(diǎn)A,B′,C共線,即∠B沿AM折疊,使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)B′處,∴MB=MB′,AB=AB′=6,∴CB′=2-6.設(shè)BM=x,則MB′=x,CM=10-x,,在Rt△CMB′中,∵M(jìn)C2=MB′2+CB′2,(10-x)2=x2+(2-6)2,解得x=∴BM=,如圖,當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí),此時(shí)四邊形ABMB′為正方形,∴BM=AB=6.綜上所述,BM的長(zhǎng)為或6.,- 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