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考點跟蹤突破22　矩形、菱形與正方形 一、選擇題 1．(2016無錫)下列性質(zhì)中，菱形具有而矩形不一定具有的是( C ) A．對角線相等 B．對角線互相平分 C．對角線互相垂直 D．鄰邊互相垂直 2．(2016寧夏)菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別是AD，CD邊上的中點，連接EF，若EF＝，BD＝2，則菱形ABCD的面積為( A ) A．2 B. C．6 D．8 ,第2題圖)　　,第3題圖) 3．(2016荊門)如圖，在矩形ABCD中(AD＞AB)，點E是BC上一點，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足為點F，在下列結論中，不一定正確的是( B ) A．△AFD≌△DCE B．AF＝AD C．AB＝AF D．BE＝AD－DF 4．(2016宜賓)如圖，點P是矩形ABCD的邊AD上的一動點，矩形的兩條邊AB，BC的長分別是6和8，則點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是( A ) A．4.8 B．5 C．6 D．7.2 ,第4題圖)　　,第5題圖) 5．(2016呼和浩特)如圖，面積為24的正方形ABCD中，有一個小正方形EFGH，其中E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，F(xiàn)D上．若BF＝，則小正方形的周長為( C ) A. B. C. D. 點撥：∵四邊形ABCD是正方形，面積為24，∴BC＝ CD＝2，∠B＝∠C＝90，∵四邊形EFGH是正方形，∴∠EFG＝90，∵∠EFB＋∠DFC＝90，∠BEF＋∠EFB＝90，∴∠BEF＝∠DFC，∵∠EBF＝∠C＝90，∴△BEF∽△CFD，∴＝，∵BF＝， CF＝，DF＝＝，∴＝，∴EF＝，∴正方形EFGH的周長為.故選C. 二、填空題 6．(2016揚州)如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E為AD的中點，若OE＝3，則菱形ABCD的周長為__24__． ,第6題圖)　　,第7題圖) 7．(2016齊齊哈爾)如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，請你添加一個適當?shù)臈l件__AC⊥BD或∠AOB＝90或AB＝BC__使其成為菱形(只填一個即可)． 8．(2016包頭)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE⊥BD，垂足為點E，若∠EAC＝2∠CAD，則∠BAE＝__22.5__度． ,第8題圖)　　,第9題圖) 9．(2016南京)如圖，菱形ABCD的面積為120 cm2，正方形AECF的面積為50 cm2，則菱形的邊長為____13____cm . 10．(2016菏澤)如圖，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE＝CE，連接BE，則tan∠EBC＝________． 三、解答題 11．(2016沈陽)如圖，△ABC≌△ABD，點E在邊AB上，CE∥BD，連接DE.求證： (1)∠CEB＝∠CBE； (2)四邊形BCED是菱形． 證明：(1)∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC＝∠ABD，∵CE∥BD，∴∠CEB＝∠DBE，∴∠CEB＝∠CBE (2))∵△ABC≌△ABD，∴BC＝BD，∵∠CEB＝∠CBE，∴CE＝CB，∴CE＝BD，∵CE∥BD，∴四邊形BCED是平行四邊形，∵BC＝BD，∴四邊形BCED是菱形． 12．(2016云南)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD. (1)求tan∠DBC的值； (2)求證：四邊形OBEC是矩形． (1)解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠DBC＝∠ABC，∴∠ABC＋∠BAD＝180，∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2，∴∠ABC＝60，∴∠DBC＝∠ABC＝30，則tan∠DBC＝tan30＝　(2)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠BOC＝90，∵BE∥AC，CE∥BD，∴BE∥OC，CE∥OB，∴四邊形OBEC是平行四邊形，則四邊形OBEC是矩形． 13．(2016濰坊)正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，如圖所示，在劣弧AB上取一點E，連接DE，BE，過點D作DF∥BE交⊙O于點F，連接BF，AF，且AF與DE相交于點G，求證： (1)四邊形EBFD是矩形； (2)DG＝BE. 證明：(1)∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BED＝∠BAD＝90，∠BFD＝∠BCD＝90，又∵DF∥BE，∴∠EDF＋∠BED＝180，∴∠EDF＝90，∴四邊形EBFD是矩形　(2)∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴的度數(shù)是90，∴∠AFD＝45，又∵∠GDF＝90，∴∠DGF＝∠DFA＝45，∴DG＝DF，又∵在矩形EBFD中，BE＝DF，∴BE＝DG. 14．(2016蘭州)閱讀下面材料： 在數(shù)學課上，老師請同學思考如下問題：如圖，我們把一個四邊形ABCD的四邊中點E，F(xiàn)，G，H依次連接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？ 小敏在思考問題，有如下思路：連接AC. 結合小敏的思路作答： (1)若只改變圖①中四邊形ABCD的形狀(如圖②)，則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？說明理由； 參考小敏思考問題的方法解決以下問題： (2)如圖②，在(1)的條件下，若連接AC，BD. ①當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形，寫出結論并證明； ②當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形，直接寫出結論． 解：(1)是平行四邊形，證明：如圖③，連接AC， ∵E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，∴EF∥AC，EF＝AC，同理HG∥AC，HG＝AC，綜上可得：EF∥HG，EF＝HG，故四邊形EFGH是平行四邊形　(2)①AC＝BD.理由如下：由(1)知，四邊形EFGH是平行四邊形，且FG＝BD，HG＝AC，∴當AC＝BD時，F(xiàn)G＝HG，∴平行四邊形EFGH是菱形；②當AC⊥BD時，四邊形EFGH為矩形．理由如下：由(1)知，四邊形EFGH是平行四邊形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∵GF∥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF＝90，∴四邊形EFGH為矩形．