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2015-2016學年湖北省宜昌二十二中九年級（上）期中數學試卷 一、選擇題（在各小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請在答題卡上指定的位置填涂符合要求的選項前面的字母代號.本大題共15題，每題3分，計45分） 1．在下列四個圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形是（　　） A． B． C． D． 2．若關于x的方程（k﹣2）x2+kx﹣1=0是一元二次方程，則k的取值范圍是（　?。? A．k=2 B．k≠0 C．k≥2 D．k≠2 3．方程x2=2x的解是（　?。? A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2= 4．在平面直角坐標系中，P（﹣1，3）關于原點的對稱點Q的坐標是（　?。? A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3） 5．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情況是（　?。? A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．只有一個實數根 D．沒有實數根 6．三角形的兩邊長分別是3和6，第三邊是方程x2﹣6x+8=0的解，則這個三角形的周長是（　　） A．11 B．13 C．11或13 D．11和13 7．與y=2（x﹣1）2+3形狀相同的拋物線解析式為（　?。? A．y=1+x2 B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2 D．y=2x2 8．若將函數y=2x2的圖象向左平移1個單位，再向上平移3個單位，可得到的拋物線是（　?。? A．y=2（x﹣1）2﹣3 B．y=2（x﹣1）2+3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x+1）2+3 9．拋物線y=（x+2）2+1的頂點坐標是（　?。? A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1） 10．已知二次函數y=ax2+bx+c的x、y的部分對應值如表：則該二次函數圖象的對稱軸為（　?。? x ﹣1 0 1 2 3 y 5 1 ﹣1 ﹣1 1 A．y軸 B．直線x= C．直線x=2 D．直線x=﹣2 11．關于x的一元二次方程9x2﹣6x+k=0有兩個不相等的實根，則k的范圍是（　?。? A．k＜1 B．k＞1 C．k≤1 D．k≥1 12．若m、n是一元二次方程x2﹣5x+2=0的兩個實數根，則m+n﹣mn的值是（　　） A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣3 13．二次函數y=x2﹣2x﹣3上有兩點：（﹣1，y1），（4，y2），下列結論正確的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．無法確定 14．生物興趣小組的學生，將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182件，如果全組有x名同學，則根據題意列出的方程是（　　） A．x（x+1）=182 B．x（x﹣1）=182 C．x（x+1）=1822 D．x（x﹣1）=1822 15．拋物線y=ax2+bx和直線y=ax+b在同一坐標系的圖象可能是（　?。? A． B． C． D． 　 二、解答題（本大題共9小題，共75分） 16．解方程：x2﹣2x﹣1=0． 17．已知拋物線的頂點為A（1，﹣4），且過點B（3，0）．求該拋物線的解析式． 18．如圖：網格中每一個小正方形的邊長為1個單位長度；已知△ABC． （1）作出△ABC關于原點O成中心對稱的△A1B1C1，（只畫出圖形）． （2）作出△ABC以O為旋轉中心，順時針旋轉90的△A2B2C2（只畫出圖形）． 19．已知等腰△ABC的一邊長a=3，另兩邊長b、c恰好是關于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0的兩個根，求△ABC的周長． 20．如圖，P是矩形ABCD下方一點，將△PCD繞P點順時針旋轉60后恰好D點與A點重合，得到△PEA，連接EB，問△ABE是什么特殊三角形？請說明理由． 21．如圖，二次函數y1=（x﹣2）2+m的圖象與y軸交于點C，點B是點C關于該二次函數圖象的對稱軸對稱的點．已知一次函數y2=kx+b的圖象經過該二次函數圖象上點A（1，0）及點B． （1）求m的值； （2）求二次函數與一次函數的解析式； （3）根據圖象，寫出滿足y2≥y1的x的取值范圍． 22．某工廠有甲、乙兩條生產線，一月份乙生產線創(chuàng)銷售金額80萬元，獲得了25%的毛利潤．（銷售金額﹣生產成本=毛利潤） （1）求乙生產線一月份的生產成本； （2）從二月份起，按環(huán)保部門“節(jié)能減排”要求，甲、乙兩條生產線都進行了技術革新，降低了能耗成本，甲生產線的毛利潤每月比上月增加了10萬元，乙生產線的毛利潤則按一種相同的速度遞增．第一季度結束時，經過測算，三月份兩個生產線的毛利潤之和是65萬元，且甲生產線一、三兩月的毛利潤的和剛好等于乙生產線二月份毛利潤的3倍，求這個工廠第一季度的毛利潤． 23．正方形ABCD中，將一個直角三角板的直角頂點與點A重合，一條直角邊與邊BC交于點E（點E不與點B和點C重合），另一條直角邊與邊CD的延長線交于點F． （1）如圖①，求證：AE=AF； （2）如圖②，此直角三角板有一個角是45，它的斜邊MN與邊CD交于G，且點G是斜邊MN的中點，連接EG，求證：EG=BE+DG； （3）在（2）的條件下，如果=，那么點G是否一定是邊CD的中點？請說明你的理由． 24．已知直線y1=x+1與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，點C在線段OB上，且不與點O，B重合，二次函數y2=ax2+bx+c的圖象經過點A，C，其中a＞c． （1）試判斷二次函數y2=ax2+bx+c的圖象的頂點在第幾象限，說明理由； （2）設二次函數y2=ax2+bx+c的圖象與x軸的另一個交點為D，且OD=OC．求a的值； （3）將（2）中的拋物線y2=ax2+bx+c作適當的平移，得到拋物線y3=a（x﹣h）2，若當1＜x≤n時，y3≤y1一定成立，求n的最大值． 　  2015-2016學年湖北省宜昌二十二中九年級（上）期中數學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（在各小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請在答題卡上指定的位置填涂符合要求的選項前面的字母代號.本大題共15題，每題3分，計45分） 1．在下列四個圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形是（　?。? A． B． C． D． 【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形． 【分析】根據軸對稱圖形的定義沿一條直線對折后，直線兩旁部分完全重合的圖形是軸對稱圖形，以及中心對稱圖形的定義分別判斷即可得出答案． 【解答】解：A、此圖形沿一條直線對折后能夠完全重合，∴此圖形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確； B、此圖形沿一條直線對折后不能夠完全重合，∴此圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤． C、此圖形沿一條直線對折后能夠完全重合，∴此圖形是軸對稱圖形，旋轉180不能與原圖形重合，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤； D、此圖形沿一條直線對折后不能夠完全重合，∴此圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤． 故選：A． 　 2．若關于x的方程（k﹣2）x2+kx﹣1=0是一元二次方程，則k的取值范圍是（　　） A．k=2 B．k≠0 C．k≥2 D．k≠2 【考點】一元二次方程的定義． 【分析】根據一元二次方程未知數的最高次數是2和二次項的系數不等于0解答即可． 【解答】解：∵關于x的方程（k﹣2）x2+kx﹣1=0是一元二次方程， ∴k﹣2≠0， 解得，k≠2， 故選：D． 　 3．方程x2=2x的解是（　?。? A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2= 【考點】解一元二次方程-因式分解法；因式分解-提公因式法． 【分析】把右邊的項移到左邊，用提公因式法因式分解，可以求出方程的兩個根． 【解答】解：x2﹣2x=0 x（x﹣2）=0 ∴x1=0，x2=2． 故選C． 　 4．在平面直角坐標系中，P（﹣1，3）關于原點的對稱點Q的坐標是（　?。? A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3） 【考點】關于原點對稱的點的坐標． 【分析】利用兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關于原點O的對稱點是P′（﹣x，﹣y），進而得出答案． 【解答】解：P（﹣1，3）關于原點的對稱點Q的坐標是：（1，﹣3）． 故選：C． 　 5．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情況是（　?。? A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．只有一個實數根 D．沒有實數根 【考點】根的判別式． 【分析】把a=1，b=﹣4，c=5代入△=b2﹣4ac進行計算，根據計算結果判斷方程根的情況． 【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=5， ∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣415=﹣4＜0， 所以原方程沒有實數根． 故選：D． 　 6．三角形的兩邊長分別是3和6，第三邊是方程x2﹣6x+8=0的解，則這個三角形的周長是（　?。? A．11 B．13 C．11或13 D．11和13 【考點】解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關系． 【分析】利用因式分解法求出方程的解得到第三邊長，即可求出此時三角形的周長． 【解答】解：方程x2﹣6x+8=0， 分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）=0， 可得x﹣2=0或x﹣4=0， 解得：x1=2，x2=4， 當x=2時，三邊長為2，3，6，不能構成三角形，舍去； 當x=4時，三邊長分別為3，4，6，此時三角形周長為3+4+6=13． 故選B． 　 7．與y=2（x﹣1）2+3形狀相同的拋物線解析式為（　?。? A．y=1+x2 B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2 D．y=2x2 【考點】待定系數法求二次函數解析式． 【分析】拋物線的形狀只是與a有關，a相等，形狀就相同． 【解答】解：y=2（x﹣1）2+3中，a=2． 故選D． 　 8．若將函數y=2x2的圖象向左平移1個單位，再向上平移3個單位，可得到的拋物線是（　　） A．y=2（x﹣1）2﹣3 B．y=2（x﹣1）2+3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x+1）2+3 【考點】二次函數圖象與幾何變換． 【分析】易得新拋物線的頂點，根據頂點式及平移前后二次項的系數不變可得新拋物線的解析式． 【解答】解：原拋物線的頂點為（0，0），向左平移1個單位，再向上平移3個單位，那么新拋物線的頂點為（﹣1，3）； 可設新拋物線的解析式為y=（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3， 故選D． 　 9．拋物線y=（x+2）2+1的頂點坐標是（　　） A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1） 【考點】二次函數的性質． 【分析】已知解析式是拋物線的頂點式，根據頂點式的坐標特點，直接寫出頂點坐標． 【解答】解：因為y=（x+2）2+1是拋物線的頂點式，由頂點式的坐標特點知，頂點坐標為（﹣2，1）． 故選B． 　 10．已知二次函數y=ax2+bx+c的x、y的部分對應值如表：則該二次函數圖象的對稱軸為（　　） x ﹣1 0 1 2 3 y 5 1 ﹣1 ﹣1 1 A．y軸 B．直線x= C．直線x=2 D．直線x=﹣2 【考點】二次函數的性質． 【分析】根據二次函數的對稱性求解即可． 【解答】解：∵x=1和2時的函數值都是﹣1，相等， ∴二次函數圖象的對稱軸為直線x==． 故選B． 　 11．關于x的一元二次方程9x2﹣6x+k=0有兩個不相等的實根，則k的范圍是（　　） A．k＜1 B．k＞1 C．k≤1 D．k≥1 【考點】根的判別式． 【分析】根據判別式的意義得到△=（﹣6）2﹣49k＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵關于x的一元二次方程9x2﹣6x+k=0有兩個不相等的實根， ∴△=（﹣6）2﹣49k＞0， 解得k＜1． 故選A． 　 12．若m、n是一元二次方程x2﹣5x+2=0的兩個實數根，則m+n﹣mn的值是（　?。? A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣3 【考點】根與系數的關系． 【分析】根據根與系數的關系得到m+n=5，mn=2，然后利用整體代入的方法計算即可． 【解答】解：根據題意得m+n=5，mn=2， 所以m+n﹣mn=5﹣2=3． 故選C． 　 13．二次函數y=x2﹣2x﹣3上有兩點：（﹣1，y1），（4，y2），下列結論正確的是（　?。? A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．無法確定 【考點】二次函數圖象上點的坐標特征． 【分析】分別計算出自變量為﹣1和4所對應的函數值，然后比較函數值的大小即可． 【解答】解：當x=﹣1時，y1=x2﹣2x﹣3=1+2﹣3=0；當x=4時，y2=x2﹣2x﹣3=16﹣8﹣3=5， 所以y1＜y2． 故選B． 　 14．生物興趣小組的學生，將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182件，如果全組有x名同學，則根據題意列出的方程是（　　） A．x（x+1）=182 B．x（x﹣1）=182 C．x（x+1）=1822 D．x（x﹣1）=1822 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】先求每名同學贈的標本，再求x名同學贈的標本，而已知全組共互贈了182件，故根據等量關系可得到方程． 【解答】解：設全組有x名同學， 則每名同學所贈的標本為：（x﹣1）件， 那么x名同學共贈：x（x﹣1）件， 所以，x（x﹣1）=182． 故選B． 　 15．拋物線y=ax2+bx和直線y=ax+b在同一坐標系的圖象可能是（　　） A． B． C． D． 【考點】二次函數的圖象；一次函數的圖象． 【分析】本題可先由二次函數圖象得到字母系數的正負，再與一次函數的圖象相比較看是否一致．逐一排除． 【解答】解：A、B．由二次函數的圖象可知a＞0，﹣＞0，可得b＜0，此時直線y=ax+b經過一，三，四象限，但考慮y=ax2+bx=x（ax+b），因此拋物線和直線均經過點（﹣，0），因此A錯誤，B正確； C、二次函數的圖象可知a＜0，對稱軸在y軸的右側，可知a、b異號，b＞0，此時直線y=ax+b經過一、二、三象限，故C錯誤； D、二次函數的圖象可知a＜0，對稱軸在y軸的右側，可知a、b異號，b＞0，此時直線y=ax+b經過一、二、三象限，故D錯誤； 故選：B． 　 二、解答題（本大題共9小題，共75分） 16．解方程：x2﹣2x﹣1=0． 【考點】解一元二次方程-公式法． 【分析】先整理成一元二次方程的一般形式再利用求根公式求解，或者利用配方法求解皆可． 【解答】解：解法一：∵a=1，b=﹣2，c=﹣1 ∴b2﹣4ac=4﹣41（﹣1）=8＞0 ∴ ∴，； 解法二：（x﹣1）2=2 ∴ ∴，． 　 17．已知拋物線的頂點為A（1，﹣4），且過點B（3，0）．求該拋物線的解析式． 【考點】待定系數法求二次函數解析式． 【分析】根據頂點坐標設出頂點形式，把B坐標代入求出a的值，即可確定出解析式． 【解答】解：設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2﹣4， ∵拋物線經過點B（3，0）， ∴a（3﹣1）2﹣4=0， 解得：a=1， ∴y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3． 　 18．如圖：網格中每一個小正方形的邊長為1個單位長度；已知△ABC． （1）作出△ABC關于原點O成中心對稱的△A1B1C1，（只畫出圖形）． （2）作出△ABC以O為旋轉中心，順時針旋轉90的△A2B2C2（只畫出圖形）． 【考點】作圖-旋轉變換． 【分析】（1）利用關于原點O中心對稱的點的坐標特征寫出點A、B、C的對應點A1、B1、C1的坐標，然后描點即可得到△A1B1C1； （2）利用網格特點和旋轉的性質，畫出點A、B、C的對應點A2、B2、C2，從而得到△A2B2C2． 【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作； （2）如圖，△A2B2C2為所作； 　 19．已知等腰△ABC的一邊長a=3，另兩邊長b、c恰好是關于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0的兩個根，求△ABC的周長． 【考點】等腰三角形的性質；解一元二次方程-因式分解法． 【分析】先利用因式分解法求出兩根：x1=2，x2=k．先分類討論：若a=3為底邊；若a=3為腰，分別確定b，c的值，求出三角形的周長． 【解答】解：x2﹣（k+2）x+2k=0 （x﹣2）（x﹣k）=0， 則x1=2，x2=k， 當b=c， k=2， 則△ABC的周長=2+2+3=7， 當b=2，c=3或c=2，b=3 則k=3， 則△ABC的周長=2+3+3=8． 故△ABC的周長是7或8． 　 20．如圖，P是矩形ABCD下方一點，將△PCD繞P點順時針旋轉60后恰好D點與A點重合，得到△PEA，連接EB，問△ABE是什么特殊三角形？請說明理由． 【考點】旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定；矩形的性質． 【分析】根據旋轉的性質，圖形的旋轉是圖形上的每一點在平面上繞某個固定點旋轉固定角度的位置移動，其中對應點到旋轉中心的距離相等，旋轉前后圖形的大小和形狀沒有改變，根據圖形求出旋轉的角度，即可得出三角形的形狀． 【解答】解：等邊三角形． 理由：由題意可知：∠APD=60， ∴△PAD是等邊三角形， ∴∠DAP=∠PDA=60， ∴∠PDC=∠PAE=30， ∴∠DAE=∠DAP﹣∠PAE=30， ∴∠PAB=30，即∠BAE=60， 又∵CD=AB=EA， ∴△ABE是等邊三角形， 故答案為等邊三角形． 　 21．如圖，二次函數y1=（x﹣2）2+m的圖象與y軸交于點C，點B是點C關于該二次函數圖象的對稱軸對稱的點．已知一次函數y2=kx+b的圖象經過該二次函數圖象上點A（1，0）及點B． （1）求m的值； （2）求二次函數與一次函數的解析式； （3）根據圖象，寫出滿足y2≥y1的x的取值范圍． 【考點】二次函數與不等式（組）；待定系數法求一次函數解析式；待定系數法求二次函數解析式． 【分析】（1）將點A的坐標代入函數解析式求解即可得到m的值； （2）把m的值代入即可得到二次函數解析式，先求出點C的坐標，再利用二次函數的對稱性求出點B的坐標，然后利用待定系數法求一次函數解析式解答； （3）根據函數圖象寫出直線在二次函數圖象上方部分的x的取值范圍即可． 【解答】解：（1）將點A（1，0）代入y=（x﹣2）2+m得， （1﹣2）2+m=0，1+m=0，m=﹣1； （2）二次函數解析式為y=（x﹣2）2﹣1， 當x=0時，y=4﹣1=3，故C點坐標為（0，3）， 由于C和B關于對稱軸對稱，在設B點坐標為（x，3）， 令y=3，有（x﹣2）2﹣1=3， 解得x=4或x=0， 則B點坐標為（4，3）， 將A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得，， 解得， 所以，一次函數解析式為y=x﹣1； （3）∵A、B坐標為（1，0），（4，3）， ∴當y2≥y1時，1≤x≤4． 　 22．某工廠有甲、乙兩條生產線，一月份乙生產線創(chuàng)銷售金額80萬元，獲得了25%的毛利潤．（銷售金額﹣生產成本=毛利潤） （1）求乙生產線一月份的生產成本； （2）從二月份起，按環(huán)保部門“節(jié)能減排”要求，甲、乙兩條生產線都進行了技術革新，降低了能耗成本，甲生產線的毛利潤每月比上月增加了10萬元，乙生產線的毛利潤則按一種相同的速度遞增．第一季度結束時，經過測算，三月份兩個生產線的毛利潤之和是65萬元，且甲生產線一、三兩月的毛利潤的和剛好等于乙生產線二月份毛利潤的3倍，求這個工廠第一季度的毛利潤． 【考點】應用類問題． 【分析】（1）根據生產成本=銷售金額（1+毛利潤），列式計算即可求解； （2）設甲一月份的毛利潤是a萬元，乙生產線的毛利潤增長率是k，根據等量關系：三月份兩個生產線的毛利潤之和是65萬元；甲生產線一、三兩月的毛利潤的和剛好等于乙生產線二月份毛利潤的3倍；列出方程組求解即可． 【解答】解：（1）80（1+25%） =801.25 =64（萬元）． 答：乙生產線一月份的生產成本是64萬元； （2）80﹣64=16（萬元）． 設甲一月份的毛利潤是a萬元，乙生產線的毛利潤增長率是k，則 ， 解得． 這個工廠第一季度的毛利潤=20+30+40+16+161.25+161.252=151（萬元）． 答：這個工廠第一季度的毛利潤是151萬元． 　 23．正方形ABCD中，將一個直角三角板的直角頂點與點A重合，一條直角邊與邊BC交于點E（點E不與點B和點C重合），另一條直角邊與邊CD的延長線交于點F． （1）如圖①，求證：AE=AF； （2）如圖②，此直角三角板有一個角是45，它的斜邊MN與邊CD交于G，且點G是斜邊MN的中點，連接EG，求證：EG=BE+DG； （3）在（2）的條件下，如果=，那么點G是否一定是邊CD的中點？請說明你的理由． 【考點】全等三角形的判定與性質；正方形的性質． 【分析】（1）由正方形的性質可以得出∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90，AB=AD，由直角三角形的性質∠EAF=∠BAD=90，就可以得出∠BAE=∠DAF，證明△ABE≌△ADF就可以得出結論； （2）如圖2，連結AG，由且點G是斜邊MN的中點，△AMN是等腰直角三角形，就可以得出∠EAG=∠NAG=45，就有∠EAB+∠DAG=45，由△ABE≌△ADF可以得出∠BAE=∠DAF，AE=AF就可以得出△AGE≌AGF，從而得出結論； （3）設AB=6k，GF=5k，BE=x，就可以得出CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，就有CG=CF﹣GF=k+x，由勾股定理就可以x的值而得出結論． 【解答】解：（1）如圖①，∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90，AB=AD． ∵∠EAF=90， ∴∠EAF=∠BAD， ∴∠EAF﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD， ∴∠BAE=∠DAF． 在△ABE和△ADF中 ， ∴△ABE≌△ADF（ASA） ∴AE=AF； （2）如圖②，連接AG， ∵∠MAN=90，∠M=45， ∴∠N=∠M=45， ∴AM=AN． ∵點G是斜邊MN的中點， ∴∠EAG=∠NAG=45． ∴∠EAB+∠DAG=45． ∵△ABE≌△ADF， ∴∠BAE=∠DAF，AE=AF， ∴∠DAF+∠DAG=45， 即∠GAF=45， ∴∠EAG=∠FAG． 在△AGE和AGF中， ， ∴△AGE≌AGF（SAS）， ∴EG=GF． ∵GF=GD+DF， ∴GF=GD+BE， ∴EG=BE+DG； （3）G不一定是邊CD的中點． 理由：設AB=6k，GF=5k，BE=x， ∴CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x， ∴CG=CF﹣GF=k+x， 在Rt△ECG中，由勾股定理，得 （6k﹣x）2+（k+x）2=（5k）2， 解得：x1=2k，x2=3k， ∴CG=4k或3k． ∴點G不一定是邊CD的中點． 　 24．已知直線y1=x+1與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，點C在線段OB上，且不與點O，B重合，二次函數y2=ax2+bx+c的圖象經過點A，C，其中a＞c． （1）試判斷二次函數y2=ax2+bx+c的圖象的頂點在第幾象限，說明理由； （2）設二次函數y2=ax2+bx+c的圖象與x軸的另一個交點為D，且OD=OC．求a的值； （3）將（2）中的拋物線y2=ax2+bx+c作適當的平移，得到拋物線y3=a（x﹣h）2，若當1＜x≤n時，y3≤y1一定成立，求n的最大值． 【考點】二次函數綜合題． 【分析】（1）根據題意求得點A、B的坐標，繼而可得y2=ax2+bx+c的圖象與y軸交點C的縱坐標c的范圍，結合a＞c知拋物線的開口向上，根據二次函數y2=ax2+bx+c的圖象經過點A，C可判斷頂點所在的象限； （2）將點A（﹣1，0）代入y2=ax2+bx+c得a﹣b+c=0 ①，再根據OD=OC、OC=c并結合（1）中拋物線在坐標系中的位置可得點D的坐標為（﹣c，0），將其代入y2可得ac2﹣bc+c=0，即ac﹣2b+4=0 ②，聯(lián)合①②即可得a的值； （3）設y3與y1=x+1的兩交點的橫坐標分別為x0，x0′，因為拋物線y3=2（x﹣h）2可以看成由y=2x2左右平移得到，觀察圖象可知，隨著圖象向右移，x0，x0′的值不斷增大，所以當1＜x≤n，y3≤y1恒成立時，n最大值在x0′處取得，根據題意列出方程求出x0′，即可求解． 【解答】解：（1）第三象限， 在直線y1=x+1中，當x=0時，y=1，當y=0時，x+1=0，解得：x=﹣1， ∴點A坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（0，1）， ∵點C在線段OB上，且不與點O，B重合， ∴0＜c＜1， ∵a＞c， ∴a＞0， 由二次函數y2=ax2+bx+c的圖象經過點A，C可知拋物線的頂點在第三象限； （2）將點A（﹣1，0）代入y2=ax2+bx+c，得：a﹣b+c=0 ①， ∵OD=OC，OC=c， ∴OD=c， 由（1）知，點D的坐標為（﹣c，0）， 將點D坐標代入y2=ax2+bx+c，得： ac2﹣bc+c=0，即ac﹣2b+4=0 ②， ①2﹣②，得：（2﹣c）a﹣2（2﹣c）=0， ∵0＜c＜1， ∴a=2； （3）設y3與y=x+1的兩交點的橫坐標分別為x0，x0′， ∵y3=2（x﹣h）2可以看成由y=2x2左右平移得到，觀察圖象可知，隨著圖象向右移，x0，x0′的值不斷增大， ∴當1＜x≤n時，y3≤y1一定成立，n最大值在x0′處取得， ∴當x0=1時，對應的x0′即為n的最大值 將x0=1代入y3=2（x﹣h）2=x+1得（1﹣h）2=2， ∴h=2或h=0（舍） 將h=2代入y3=2（x﹣h）2=x+1得：2x2﹣9x+7=0， ∴x0=1，x0′=． ∴n的最大值為．