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廣西貴港市港南區(qū)2016-2017學年九年級（上）期中數(shù)學試卷 一、選擇題（共12小題，每小題3分，滿分36分） 1．方程（x﹣2）（x+3）=0的解是（　?。? A．x=2 B．x=﹣3 C．x1=﹣2，x2=3 D．x1=2，x2=﹣3 2．拋物線y=2（x﹣3）2+1的頂點坐標是（　?。? A．（3，1） B．（4，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1） 3．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。? A．等邊三角形 B．平行四邊形 C．正方形D．正五邊形 4．一元二次方程2x2﹣5x+1=0的根的情況是（　　） A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法確定 5．若n（n≠0）是關(guān)于x的方程x2+mx+2n=0的根，則m+n的值為（　?。? A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 6．下列說法正確的是（　?。? A．長度相等的兩條弧是等弧 B．平分弦的直徑垂直于弦 C．直徑是同一個圓中最長的弦 D．過三點能確定一個圓 7．若點P（m，﹣m+3）關(guān)于原點的對稱點Q在第三象限，那么m的取值范圍是（　?。? A．0＜m＜3 B．m＜0 C．m＞0 D．m≥0 8．某超市一月份的營業(yè)額為36萬元，三月份的營業(yè)額為48萬元，設每月的平均增長率為x，則可列方程為（　?。? A．48（1﹣x）2=36 B．48（1+x）2=36 C．36（1﹣x）2=48 D．36（1+x）2=48 9．若兩個連續(xù)整數(shù)的積是56，則它們的和為（　?。? A．11 B．15 C．﹣15 D．15 10．如圖，圓弧形橋拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，則拱橋的半徑為（　?。? A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米 11．如圖，已知⊙O是△ABD的外接圓，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD=58，則∠BCD等于（　?。? A．16 B．32 C．58 D．64 12．如圖所示，已知△ABC與△CDA關(guān)于點O對稱，過O任作直線EF分別交AD、BC于點E、F，下面的結(jié)論： ①點E和點F，點B和點D是關(guān)于中心O對稱點； ②直線BD必經(jīng)過點O； ③四邊形DEOC與四邊形BFOA的面積必相等； ④△AOE與△COF成中心對稱． 其中正確的個數(shù)為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 　 二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分） 13．把方程（2x+1）2﹣x=（x+1）（x﹣1）化成一般形式是　?。? 14．若x=﹣2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+8=0的一個解，則m的值是　?。? 15．若函數(shù)y=mx2+2x+1的圖象與x軸只有一個公共點，則常數(shù)m的值是　?。? 16．正三角形中心旋轉(zhuǎn)　　度的整倍數(shù)之后能和自己重合． 17．如圖，∠AOB=30，OM=6，那么以M為圓心，4為半徑的圓與直O(jiān)A的位置關(guān)系是　?。? 18．如圖①，在△AOB中，∠AOB=90，OA=3，OB=4．將△AOB沿x軸依次以點A、B、O為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)，分別得到圖②、圖③、…，則旋轉(zhuǎn)得到的圖⑩的直角頂點的坐標為　?。? 　 三、解答題（共8小題，滿分66分） 19．7x（5x+2）=6（5x+2） （2）關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1=0有兩個實數(shù)根，求m的取值范圍． 20．（10分）如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）請畫出△ABC向左平移5個單位長度后得到的△A1B1C1； （2）請畫出△ABC關(guān)于原點對稱的△A2B2C2； （3）在x軸上求作一點P，使△PAB的周長最小，請畫出△PAB，并直接寫出P的坐標． 21．（7分）如圖，要利用一面墻（墻長為25米）建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長AB，BC各為多少米？ 22．（8分）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，∠OAB=30度． （1）求∠APB的度數(shù)； （2）當OA=3時，求AP的長． 23．（8分）某商場在銷售中發(fā)現(xiàn)：某名牌襯衣平均每天可售出20件，每件襯衣盈利40元．為了迎接元旦節(jié)，擴大銷售量，減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衣降價1元，商場平均每天可多售出2件．要想平均每天盈利1200元，每件襯衣應降價多少元？ 24．（7分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠B=30，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)n度后，得到△DEC，點D剛好落在AB邊上． （1）求n的值； （2）若F是DE的中點，判斷四邊形ACFD的形狀，并說明理由． 25．（11分）已知拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的頂點為M，經(jīng)過原點O且與x軸另一交點為A． （1）求點A的坐標； （2）若△AMO為等腰直角三角形，求拋物線C1的解析式； （3）現(xiàn)將拋物線C1繞著點P（m，0）旋轉(zhuǎn)180后得到拋物線C2，若拋物線C2的頂點為N，當b=1，且頂點N在拋物線C1上時，求m的值． 26．（10分）如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．（提示：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角） （1）如果AB=AC，∠BAC=90， ①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為　　，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為　??； ②當點D在線段BC的延長線上時，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由； （2）如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點D在線段BC上，當∠ACB滿足　　條件時，CF⊥BC（點C、F不重合），不用說明理由． 　  2016-2017學年廣西貴港市港南區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共12小題，每小題3分，滿分36分） 1．方程（x﹣2）（x+3）=0的解是（　?。? A．x=2 B．x=﹣3 C．x1=﹣2，x2=3 D．x1=2，x2=﹣3 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】根據(jù)已知得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（x﹣2）（x+3）=0， x﹣2=0，x+3=0， x1=2，x2=﹣3， 故選D． 【點評】本題考查了解一元關(guān)鍵是能把一元一次方程和解一元二次方程的應用，關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程． 　 2．拋物線y=2（x﹣3）2+1的頂點坐標是（　?。? A．（3，1） B．（4，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1） 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】由拋物線解析式可求得其頂點坐標． 【解答】解： ∵y=2（x﹣3）2+1， ∴拋物線頂點坐標為（3，1）， 故選A． 【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵，即在y=a（x﹣h）2+k中，對稱軸為x=h，頂點坐標為（h，k）． 　 3．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。? A．等邊三角形 B．平行四邊形 C．正方形D．正五邊形 【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義旋轉(zhuǎn)180后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形，以及軸對稱圖形的定義即可判斷出． 【解答】解：A、∵此圖形旋轉(zhuǎn)180后不能與原圖形重合，∴此圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤； B、∵此圖形旋轉(zhuǎn)180后能與原圖形重合，∴此圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項錯誤； C、此圖形旋轉(zhuǎn)180后能與原圖形重合，此圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項正確； D、∵此圖形旋轉(zhuǎn)180后不能與原圖形重合，∴此圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤． 故選：C． 【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱的定義，根據(jù)定義得出圖形形狀是解決問題的關(guān)鍵． 　 4．一元二次方程2x2﹣5x+1=0的根的情況是（　?。? A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法確定 【考點】根的判別式． 【分析】求出根的判別式△，然后選擇答案即可． 【解答】解：∵△=（﹣5）2﹣421=25﹣8=17＞0， ∴方程有有兩個不相等的實數(shù)根． 故選A． 【點評】總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系： （1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根； （2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根； （3）△＜0?方程沒有實數(shù)根． 　 5．若n（n≠0）是關(guān)于x的方程x2+mx+2n=0的根，則m+n的值為（　?。? A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【考點】一元二次方程的解． 【分析】把x=n代入方程得出n2+mn+2n=0，方程兩邊都除以n得出m+n+2=0，求出即可． 【解答】解：∵n（n≠0）是關(guān)于x的方程x2+mx+2n=0的根， 代入得：n2+mn+2n=0， ∵n≠0， ∴方程兩邊都除以n得：n+m+2=0， ∴m+n=﹣2． 故選D． 【點評】本題考查了一元二次方程的解的應用，能運用巧妙的方法求出m+n的值是解此題的關(guān)鍵，題型較好，難度適中． 　 6．下列說法正確的是（　　） A．長度相等的兩條弧是等弧 B．平分弦的直徑垂直于弦 C．直徑是同一個圓中最長的弦 D．過三點能確定一個圓 【考點】垂徑定理． 【分析】要找出正確命題，可運用相關(guān)基礎知識分析找出正確選項，也可以通過舉反例排除不正確選項，從而得出正確選項．（1）等弧指的是在同圓或等圓中，能夠完全重合的?。L度相等的兩條弧，不一定能夠完全重合；（2）此弦不能是直徑；（3）相等的圓心角所對的弦相等指的是在同圓或等圓中． 【解答】解：A、長度相等的兩條弧是等弧，錯誤． B、平分弦的直徑垂直于弦，此命題錯誤； B、直徑是同一個圓中最長的弦，命題正確； C、過三點能確定一個圓，此命題錯誤； 故選C． 【點評】本題考查知識較多，解題的關(guān)鍵是運用相關(guān)基礎知識逐一分析才能找出正確選項． 　 7．若點P（m，﹣m+3）關(guān)于原點的對稱點Q在第三象限，那么m的取值范圍是（　?。? A．0＜m＜3 B．m＜0 C．m＞0 D．m≥0 【考點】關(guān)于原點對稱的點的坐標． 【分析】根據(jù)第三象限內(nèi)的點的縱坐標小于零，縱坐標小于零，可得不等式組，根據(jù)解不等式組，可得答案． 【解答】解：由題意，得 ， 解得0＜m＜3， 故選：A． 【點評】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標，利用關(guān)于原點對稱的點的坐標得出不等式組是解題關(guān)鍵． 　 8．某超市一月份的營業(yè)額為36萬元，三月份的營業(yè)額為48萬元，設每月的平均增長率為x，則可列方程為（　?。? A．48（1﹣x）2=36 B．48（1+x）2=36 C．36（1﹣x）2=48 D．36（1+x）2=48 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】三月份的營業(yè)額=一月份的營業(yè)額（1+增長率）2，把相關(guān)數(shù)值代入即可． 【解答】解：二月份的營業(yè)額為36（1+x）， 三月份的營業(yè)額為36（1+x）（1+x）=36（1+x）2， 即所列的方程為36（1+x）2=48， 故選D． 【點評】考查列一元二次方程；得到三月份的營業(yè)額的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵． 　 9．若兩個連續(xù)整數(shù)的積是56，則它們的和為（　?。? A．11 B．15 C．﹣15 D．15 【考點】一元二次方程的應用． 【分析】設這兩個連續(xù)整數(shù)中較小的一個是為x，則較大的是x+1．根據(jù)兩個連續(xù)整數(shù)的積是x（x+1），根據(jù)關(guān)鍵描述語“兩個連續(xù)整數(shù)的積是56”，即可列出方程求得x的值，進而求得這兩個數(shù)的和． 【解答】解：設這兩個連續(xù)整數(shù)為x，x+1． 則x（x+1）=56， 解之得，x1=7或x2=﹣8， 則x+1=8或﹣7， 則它們的和為15． 故選D 【點評】此題的關(guān)鍵是能用代數(shù)式表示兩個連續(xù)整數(shù)． 　 10．如圖，圓弧形橋拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，則拱橋的半徑為（　?。? A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米 【考點】垂徑定理的應用． 【分析】根據(jù)垂徑定理的推論，知此圓的圓心在CD所在的直線上，設圓心是O． 連接OA．根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解． 【解答】解：根據(jù)垂徑定理的推論，知此圓的圓心在CD所在的直線上，設圓心是O 連接OA．根據(jù)垂徑定理，得AD=6 設圓的半徑是r，根據(jù)勾股定理，得r2=36+（r﹣4）2，解得r=6.5 故選：A． 【點評】此題綜合運用了勾股定理以及垂徑定理．注意構(gòu)造由半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形進行有關(guān)的計算． 　 11．如圖，已知⊙O是△ABD的外接圓，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD=58，則∠BCD等于（　?。? A．16 B．32 C．58 D．64 【考點】三角形的外接圓與外心． 【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90，求出∠A的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理解答即可． 【解答】解：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=90， ∴∠A=90﹣∠ABD=32， 則∠BCD=∠A=32， 故選：B． 【點評】本題考查的是三角形的外接圓和外心，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵． 　 12．如圖所示，已知△ABC與△CDA關(guān)于點O對稱，過O任作直線EF分別交AD、BC于點E、F，下面的結(jié)論： ①點E和點F，點B和點D是關(guān)于中心O對稱點； ②直線BD必經(jīng)過點O； ③四邊形DEOC與四邊形BFOA的面積必相等； ④△AOE與△COF成中心對稱． 其中正確的個數(shù)為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【考點】中心對稱；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】由于△ABC與△CDA關(guān)于點O對稱，那么可得到AB=CD、AD=BC，即四邊形ABCD是平行四邊形，由于平行四邊形是中心對稱圖形，且對稱中心是對角線交點，據(jù)此對各結(jié)論進行判斷． 【解答】解：△ABC與△CDA關(guān)于點O對稱，則AB=CD、AD=BC， 所以四邊形ABCD是平行四邊形，即點O就是?ABCD的對稱中心，則有： （1）點E和點F，B和D是關(guān)于中心O的對稱點，正確； （2）直線BD必經(jīng)過點O，正確； （3）四邊形DEOC與四邊形BFOA的面積必相等，正確； （5）△AOE與△COF成中心對稱，正確； 其中正確的個數(shù)為4個， 故選D． 【點評】本題主要考查了中心對稱的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)的運用，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及中心對稱圖形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．解題時注意：關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應點的連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分． 　 二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分） 13．把方程（2x+1）2﹣x=（x+1）（x﹣1）化成一般形式是　3x2+3x+2=0?。? 【考點】一元二次方程的一般形式． 【分析】把方程化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式即可． 【解答】解：4x2+4x+1﹣x=x2﹣1， 4x2+4x+1﹣x﹣x2+1=0， 3x2+3x+2=0， 故答案為：3x2+3x+2=0． 【點評】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關(guān)鍵是掌握任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項；c叫做常數(shù)項． 　 14．若x=﹣2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+8=0的一個解，則m的值是　﹣6?。? 【考點】一元二次方程的解． 【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x=﹣2代入一元二次方程得到關(guān)于m的一次方程，然后解此一元一次方程即可得到m的值． 【解答】解：把x=﹣2代入方程x2﹣mx+8=0得4+2m+8=0， 解得m=﹣6． 故答案為﹣6． 【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解． 　 15．若函數(shù)y=mx2+2x+1的圖象與x軸只有一個公共點，則常數(shù)m的值是　0或1?。? 【考點】拋物線與x軸的交點；一次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】需要分類討論： ①若m=0，則函數(shù)為一次函數(shù)； ②若m≠0，則函數(shù)為二次函數(shù)．由拋物線與x軸只有一個交點，得到根的判別式的值等于0，且m不為0，即可求出m的值． 【解答】解：①若m=0，則函數(shù)y=2x+1，是一次函數(shù)，與x軸只有一個交點； ②若m≠0，則函數(shù)y=mx2+2x+1，是二次函數(shù)． 根據(jù)題意得：△=4﹣4m=0， 解得：m=1． 故答案為：0或1． 【點評】此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)與拋物線與x軸的交點，拋物線與x軸的交點個數(shù)由根的判別式的值來確定．本題中函數(shù)可能是二次函數(shù)，也可能是一次函數(shù)，需要分類討論，這是本題的容易失分之處． 　 16．正三角形中心旋轉(zhuǎn)　120　度的整倍數(shù)之后能和自己重合． 【考點】旋轉(zhuǎn)對稱圖形． 【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角及旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義結(jié)合圖形特點作答． 【解答】解：∵3603=120， ∴該圖形繞中心至少旋轉(zhuǎn)120度后能和原來的圖案互相重合． 故答案為：120． 【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角叫做旋轉(zhuǎn)角． 　 17．如圖，∠AOB=30，OM=6，那么以M為圓心，4為半徑的圓與直O(jiān)A的位置關(guān)系是　相交?。? 【考點】直線與圓的位置關(guān)系． 【分析】利用直線l和⊙O相切?d=r，進而判斷得出即可． 【解答】解：過點M作MD⊥AO于點D， ∵∠AOB=30，OM=6， ∴MD=3， ∴MD＜r ∴以點m為圓心，半徑為34的圓與OA的位置關(guān)系是：相交． 故答案為：相交． 【點評】此題主要考查了直線與圓的位置，正確掌握直線與圓相切時d與r的關(guān)系是解題關(guān)鍵． 　 18．如圖①，在△AOB中，∠AOB=90，OA=3，OB=4．將△AOB沿x軸依次以點A、B、O為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)，分別得到圖②、圖③、…，則旋轉(zhuǎn)得到的圖⑩的直角頂點的坐標為?。?6，0）?。? 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)；勾股定理． 【分析】如圖，在△AOB中，∠AOB=90，OA=3，OB=4，則AB=5，每旋轉(zhuǎn)3次為一循環(huán)，則圖③、④的直角頂點坐標為（12，0），圖⑥、⑦的直角頂點坐標為（24，0），所以，圖⑨、⑩10的直角頂點為（36，0）． 【解答】解：∵在△AOB中，∠AOB=90，OA=3，OB=4， ∴AB=5， ∴圖③、④的直角頂點坐標為（12，0）， ∵每旋轉(zhuǎn)3次為一循環(huán)， ∴圖⑥、⑦的直角頂點坐標為（24，0）， ∴圖⑨、⑩的直角頂點為（36，0）． 故答案為：（36，0）． 【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、坐標與圖形的性質(zhì)及勾股定理，找出圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律“旋轉(zhuǎn)3次為一循環(huán)”，是解答本題的關(guān)鍵． 　 三、解答題（共8小題，滿分66分） 19．（1）7x（5x+2）=6（5x+2） （2）關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1=0有兩個實數(shù)根，求m的取值范圍． 【考點】根的判別式；解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）先移項，然后根據(jù)提公因式法可以解答此方程； （2）由題意可知，△≥0，從而可以求得m的取值范圍． 【解答】解：（1）7x（5x+2）=6（5x+2） 7x（5x+2）﹣6（5x+2）=0 （5x+2）（7x﹣6）=0， ∴5x+2=0或7x﹣6=0， 解得，x1=﹣，x2=； （2）∵于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1=0有兩個實數(shù)根， ∴32﹣41（m﹣1）≥0， 解得，m≤， 即m的取值范圍是m≤． 【點評】本題考查解一元二次方程、根的判別式，解題的關(guān)鍵是明確它們各自的意義． 　 20．（10分）（2014?南寧）如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）請畫出△ABC向左平移5個單位長度后得到的△A1B1C1； （2）請畫出△ABC關(guān)于原點對稱的△A2B2C2； （3）在x軸上求作一點P，使△PAB的周長最小，請畫出△PAB，并直接寫出P的坐標． 【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換；軸對稱-最短路線問題；作圖-平移變換． 【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C平移后的對應點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可； （2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C關(guān)于原點的對稱點A2、B2、C2的位置，然后順次連接即可； （3）找出點A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接A′B與x軸相交于一點，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，交點即為所求的點P的位置，然后連接AP、BP并根據(jù)圖象寫出點P的坐標即可． 【解答】解：（1）△A1B1C1如圖所示； （2）△A2B2C2如圖所示； （3）△PAB如圖所示，P（2，0）． 【點評】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用平移變換作圖，軸對稱確定最短路線問題，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準確找出對應點的位置是解題的關(guān)鍵． 　 21．如圖，要利用一面墻（墻長為25米）建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長AB，BC各為多少米？ 【考點】一元二次方程的應用． 【分析】設AB的長度為x米，則BC的長度為（100﹣4x）米；然后根據(jù)矩形的面積公式列出方程． 【解答】解：設AB的長度為x米，則BC的長度為（100﹣4x）米． 根據(jù)題意得 （100﹣4x）x=400， 解得 x1=20，x2=5． 則100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20． 答：羊圈的邊長AB，BC分別是20米、20米． 【點評】本題考查了一元二次方程的應用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解． 　 22．如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，∠OAB=30度． （1）求∠APB的度數(shù)； （2）當OA=3時，求AP的長． 【考點】切線的性質(zhì)． 【分析】（1）方法1，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360，根據(jù)切線的性質(zhì)可知：∠OAP=∠OBP=90，求出∠AOB的度數(shù)，可將∠APB的度數(shù)求出；方法2，證明△ABP為等邊三角形，從而可將∠APB的度數(shù)求出； （2）方法1，作輔助線，連接OP，在Rt△OAP中，利用三角函數(shù)，可將AP的長求出；方法2，作輔助線，過點O作OD⊥AB于點D，在Rt△OAD中，將AD的長求出，從而將AB的長求出，也即AP的長． 【解答】解：（1）方法一： ∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30， ∴∠AOB=180﹣230=120， ∵PA、PB是⊙O的切線， ∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90， ∴在四邊形OAPB中， ∠APB=360﹣120﹣90﹣90=60． 方法二： ∵PA、PB是⊙O的切線∴PA=PB，OA⊥PA； ∵∠OAB=30，OA⊥PA， ∴∠BAP=90﹣30=60， ∴△ABP是等邊三角形， ∴∠APB=60． （2）方法一：如圖①，連接OP； ∵PA、PB是⊙O的切線， ∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30， 又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30， ∴AP==3． 方法二：如圖②，作OD⊥AB交AB于點D； ∵在△OAB中，OA=OB， ∴AD=AB； ∵在Rt△AOD中，OA=3，∠OAD=30， ∴AD=OA?cos30=， ∴AP=AB=． 【點評】本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題． 　 23．某商場在銷售中發(fā)現(xiàn)：某名牌襯衣平均每天可售出20件，每件襯衣盈利40元．為了迎接元旦節(jié)，擴大銷售量，減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衣降價1元，商場平均每天可多售出2件．要想平均每天盈利1200元，每件襯衣應降價多少元？ 【考點】一元二次方程的應用． 【分析】利用襯衣平均每天售出的件數(shù)每件盈利=每天銷售這種襯衣利潤列出方程解答即可； 【解答】解：設每件襯衫應降價x元． 根據(jù)題意，得 （40﹣x）（20+2x）=1200 整理，得x2﹣30x+200=0 解之得 x1=10，x2=20． ∵“擴大銷售量，減少庫存”， ∴x1=10應略去， ∴x=20， 答：每件襯衫應降價20元． 【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，利用基本數(shù)量關(guān)系：平均每天售出的件數(shù)每件盈利=每天銷售的利潤是解題關(guān)鍵． 　 24．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠B=30，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)n度后，得到△DEC，點D剛好落在AB邊上． （1）求n的值； （2）若F是DE的中點，判斷四邊形ACFD的形狀，并說明理由． 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線；菱形的判定． 【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AC=CD，進而得出△ADC是等邊三角形，即可得出∠ACD的度數(shù)； （2）利用直角三角形的性質(zhì)得出FC=DF，進而得出AD=AC=FC=DF，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠B=30，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)n度后，得到△DEC， ∴AC=DC，∠A=60， ∴△ADC是等邊三角形， ∴∠ACD=60， ∴n的值是60； （2）四邊形ACFD是菱形； 理由：∵∠DCE=∠ACB=90，F(xiàn)是DE的中點， ∴FC=DF=FE， ∵∠CDF=∠A=60， ∴△DFC是等邊三角形， ∴DF=DC=FC， ∵△ADC是等邊三角形， ∴AD=AC=DC， ∴AD=AC=FC=DF， ∴四邊形ACFD是菱形． 【點評】此題主要考查了菱形的判定以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識，得出△DFC是等邊三角形是解題關(guān)鍵． 　 25．（11分）（2016?撫州一模）已知拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的頂點為M，經(jīng)過原點O且與x軸另一交點為A． （1）求點A的坐標； （2）若△AMO為等腰直角三角形，求拋物線C1的解析式； （3）現(xiàn)將拋物線C1繞著點P（m，0）旋轉(zhuǎn)180后得到拋物線C2，若拋物線C2的頂點為N，當b=1，且頂點N在拋物線C1上時，求m的值． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）由拋物線經(jīng)過原點可知當x=0時，y=0，由此可得關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可求出拋物線x軸另一交點坐標； （2）由△AMO為等腰直角三角形，拋物線的頂點為M，可求出b的值，再把原點坐標（0，0）代入求出a的值，即可求出拋物線C1的解析式； （3）由b=1，易求線拋物線C1的解析式，設N（n，﹣1），再由點P（m，0）可求出n和m的關(guān)系，當頂點N在拋物線C1上可把N的坐標代入拋物線即可求出m的值． 【解答】解：（1）∵拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）經(jīng)過原點O， ∴0=4a+b， ∴當ax2+4ax+4a+b=0時，則ax2+4ax=0， 解得：x=0或﹣4， ∴拋物線與x軸另一交點A坐標是（﹣4，0）； （2）∵拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b（a≠0，b＞0），（如圖1） ∴頂點M坐標為（﹣2，b）， ∵△AMO為等腰直角三角形， ∴b=2， ∵拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b過原點， ∴a（0+2）2+2=0， 解得：a=﹣， ∴拋物線C1：y=﹣x2﹣2x； （3）∵b=1，拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b過原點，（如圖2） ∴a=﹣， ∴y=﹣（x+2）2+1=﹣x2﹣x， 設N（n，﹣1），又因為點P（m，0）， ∴n﹣m=m+2， ∴n=2m+2 即點N的坐標是（2m+2，﹣1）， ∵頂點N在拋物線C1上， ∴﹣1=﹣（2m+2+2）2+1， 解得：m=﹣2+或﹣2﹣． 【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．由于拋物線旋轉(zhuǎn)后的形狀不變，故|a|不變，所以求旋轉(zhuǎn)移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點旋轉(zhuǎn)移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮旋轉(zhuǎn)后的頂點坐標，即可求出解析式． 　 26．（10分）（2016秋?港南區(qū)期中）如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．（提示：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角） （1）如果AB=AC，∠BAC=90， ①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為　垂直　，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為　相等　； ②當點D在線段BC的延長線上時，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由； （2）如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點D在線段BC上，當∠ACB滿足　45　條件時，CF⊥BC（點C、F不重合），不用說明理由． 【考點】四邊形綜合題． 【分析】（1）①證明△BAD≌△CAF，可得：BD=CF，∠B=∠ACF=45，則∠BCF=∠ACB+∠ACF=90，所以BD與CF相等且垂直； ②①的結(jié)論仍成立，同理證明△DAB≌△FAC，可得結(jié)論：垂直且相等； （2）當∠ACB滿足45時，CF⊥BC；如圖4，作輔助線，證明△QAD≌△CAF，即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）①CF與BD位置關(guān)系是垂直，數(shù)量關(guān)系是相等，理由是： 如圖2，∵四邊形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90， ∴∠DAC+∠CAF=90， ∵AB=AC，∠BAC=90， ∴∠BAD+∠DAC=90，且∠B=∠ACB=45， ∴∠CAF=∠BAD， ∴△BAD≌△CAF， ∴BD=CF，∠B=∠ACF=45， ∴∠ACB+∠ACF=45+45=90， 即∠BCF=90， ∴BC⊥CF， 即BD⊥CF； 故答案為：垂直，相等； ②當點D在BC的延長線上時，①的結(jié)論仍成立，理由是： 如圖3，由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90， ∵∠BAC=90， ∴∠DAF=∠BAC， ∴∠DAB=∠FAC， 又∵AB=AC， ∴△DAB≌△FAC， ∴CF=BD， ∠ACF=∠ABD， ∵∠BAC=90，AB=AC， ∴∠ABC=45， ∴∠ACF=∠ABC=45 ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90， 即CF⊥BD； （2）當∠BCA=45時，CF⊥BD，理由是： 如圖4，過點A作AQ⊥AC，交BC于點Q， ∵∠BCA=45， ∴∠AQC=45， ∴∠AQC=∠BCA， ∴AC=AQ， ∵AD=AF，∠QAC=∠DAF=90， ∴∠QAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC， ∴∠QAD=∠CAF， ∴△QAD≌△CAF， ∴∠ACF=∠AQD=45， ∠BCF=∠ACB+∠ACF=90， 即CF⊥BD． 【點評】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形、等腰直角三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定，本題的三個結(jié)論都是證明三角形全等得出，所以利用SAS證明三角形全等是本題的關(guān)鍵；第（2）問，恰當?shù)刈鬏o助線，構(gòu)建等腰直角三角形，同樣也是構(gòu)建兩個三角形全等得出結(jié)論．