高三數(shù)學二輪復習 專題限時集訓7 專題3 突破點7 用樣本估計總體 理
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專題限時集訓(七) 用樣本估計總體 建議A、B組各用時:45分鐘] A組 高考達標] 一、選擇題 1.(2016山西考前模擬)某同學將全班某次數(shù)學考試成績整理成頻率分布直方圖后,并將每個小矩形上方線段的中點連接起來得到頻率分布折線圖(如圖75所示),據(jù)此估計此次考試成績的眾數(shù)是( ) 圖75 A.100 B.110 C.115 D.120 C 分析頻率分布折線圖可知眾數(shù)為115,故選C.] 2.(2016南昌二模)如圖76所示是一樣本的頻率分布直方圖.若樣本容量為100,則樣本數(shù)據(jù)在15,20)內(nèi)的頻數(shù)是( ) 圖76 A.50 B.40 C.30 D.14 C 因為15,20]對應的小矩形的面積為1-0.045-0.15=0.3,所以樣本落在15,20]的頻數(shù)為0.3100=30,故選C.] 3.(2016青島模擬)已知數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…,x50,500(單位:kg),其中x1,x2,x3,…,x50是某班50個學生的體重,設這50個學生體重的平均數(shù)為x, 中位數(shù)為y,則x1,x2,x3,…,x50,500這51個數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)分別與x,y比較,下列說法正確的是( ) 【導學號:85952030】 A.平均數(shù)一定變大,中位數(shù)一定變大 B.平均數(shù)一定變大,中位數(shù)可能不變 C.平均數(shù)可能不變,中位數(shù)可能不變 D.平均數(shù)可能不變,中位數(shù)可能變小 B 顯然500大于這50個學生的平均體重,則這51個數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定增大,中位數(shù)可能增大也可能不變,故選B.] 4.(2016沈陽模擬)從某小學隨機抽取100名同學,現(xiàn)已將他們的身高(單位:厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖77).若要從身高在120,130),130,140),140,150]三組內(nèi)的學生中,用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動,則從身高在140,150]內(nèi)的學生中選取的人數(shù)應為( ) 圖77 A.2 B.3 C.4 D.5 B 依題意可得10(0.005+0.010+0.020+a+0.035)=1,解得a=0.030,故身高在120,130),130,140),140,150]三組內(nèi)的學生比例為3∶2∶1,所以從身高在140,150]內(nèi)的學生中選取的人數(shù)應為3.] 圖78 5.(2016鄭州模擬)某車間共有6名工人,他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖78所示,其中莖為十位數(shù),葉為個位數(shù),日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人.從該車間6名工人中,任取2人,則至少有1名優(yōu)秀工人的概率為( ) A. B. C. D. C 依題意,平均數(shù)==22,故優(yōu)秀工人只有2人,從中任取2人共有C=15種情況,其中至少有1名優(yōu)秀工人的情況有C-C=9種,故至少有1名優(yōu)秀工人的概率P==,故選C.] 二、填空題 6.某共有女生2 000人,為了了解學生體質(zhì)健康狀況,隨機抽取100名女生進行體質(zhì)監(jiān)測,將她們的體重(單位:kg)數(shù)據(jù)加以統(tǒng)計,得到如圖79所示的頻率分布直方圖,則直方圖中x的值為________;試估計該校體重在55,70)的女生有________人. 圖79 0.024 1 000 由5(0.06+0.05+0.04+x+0.016+0.01)=1,得x=0.024.在樣本中,體重在55,70)的女生的頻率為5(0.01+0.04+0.05)=0.5, 所以該校體重在55,70)的女生估計有2 0000.5=1 000人.] 7.某校開展“ 愛我海西、愛我家鄉(xiāng)” 攝影比賽,9位評委為參賽作品A給出的分數(shù)如莖葉圖710所示.記分員在去掉一個最高分和一個最低分后,算得平均分為91,復核員在復核時,發(fā)現(xiàn)有一個數(shù)字(莖葉圖中的x)無法看清,若記分員計算無誤,則數(shù)字x應該是________. 圖710 1 當x≥4時, =≠91, ∴x<4,∴=91, ∴x=1.] 8.從甲、乙兩種樹苗中各抽測了10株樹苗的高度,其莖葉圖如圖711.根據(jù)莖葉圖,樹苗的平均高度較高的是__________種樹苗,樹苗長得整齊的是__________種樹苗. 【導學號:85952031】 圖711 乙 甲 根據(jù)莖葉圖可知,甲種樹苗中的高度比較集中,則甲種樹苗比乙種樹苗長得整齊;而通過計算可得,甲=27,乙=30,即乙種樹苗的平均高度大于甲種樹苗的平均高度.] 三、解答題 9.(2016太原二模)某校從高一年級學生中隨機抽取40名學生,將他們的期中考試數(shù)學成績(滿分100分,成績均為不低于40分的整數(shù))分成如下六段:40,50),50,60),…,90,100],得到如圖712所示的頻率分布直方圖. 圖712 (1)若該校高一年級共有學生640名,試估計該校高一年級期中考試數(shù)學成績不低于60分的人數(shù); (2)在抽取的40名學生中,若從數(shù)學成績在40,50)與90,100]兩個分數(shù)段內(nèi)隨機選取2名學生,求這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10的概率. 解] (1)由10(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1, 得a=0.03.2分 根據(jù)頻率分布直方圖, 成績不低于60分的頻率為1-10(0.005+0.01)=0.85.4分 估計期中考試數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)約為6400.85=544(人).6分 (2)成績在40,50)分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)為400.05=2,成績在90,100]分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)為400.1=4,則記在40,50)分數(shù)段的兩名同學為A1,A2,在90,100]分數(shù)段內(nèi)的同學為B1,B2,B3,B4. 若從這6名學生中隨機抽取2人,則總的取法共有15種.8分 如果2名學生的數(shù)學成績都在40,50)分數(shù)段內(nèi)或都在90,100]分數(shù)段內(nèi),那么這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10, 則所取2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10的取法有(A1,A2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4),共7種取法,所以所求概率為P=.12分 10.(2016鄭州一模)為了整頓道路交通秩序,某地考慮將對行人闖紅燈進行處罰.為了更好地了解市民的態(tài)度,在普通行人中隨機選取了200人進行調(diào)查,當不處罰時,有80人會闖紅燈,處罰時,得到如下數(shù)據(jù): 處罰金額x(單位:元) 5 10 15 20 會闖紅燈的人數(shù)y 50 40 20 10 若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率. (1)當罰金定為10元時,行人闖紅燈的概率會比不進行處罰降低多少? (2)將先取的200人中會闖紅燈的市民分為兩類:A類市民在罰金不超過10元時就會改正行為;B類是其他市民.現(xiàn)對A類與B類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進行深度問卷,則前兩位均為B類市民的概率是多少. 解] (1)設“當罰金定為10元時,闖紅燈的市民改正行為”為事件A,2分 則P(A)==.4分 所以當罰金定為10元時,比不制定處罰,行人闖紅燈的概率會降低.6分 (2)由題可知A類市民和B類市民各有40人,故分別從A類市民和B類市民中各抽出2人,設從A類市民中抽出的2人分別為A1,A2,從B類市民中抽出的2人分別為B1,B2.設“A類與B類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進行深度問卷”為事件M,8分 則事件M中首先抽出A1的事件有:(A1,A2,B1,B2),(A1,A2,B2,B1),(A1,B1,A2,B2),(A1,B1,B2,A2),(A1,B2,A2,B1),(A1,B2,B1,A2),共6種. 同理首先抽出A2,B1,B2的事件也各有6種. 故事件M共有24種.10分 設“抽取4人中前兩位均為B類市民”為事件N,則事件N有(B1,B2,A1,A2),(B1,B2,A2,A1),(B2,B1,A1,A2),(B2,B1,A2,A1). ∴P(N)==.12分 B組 名校沖刺] 一、選擇題 1.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖713所示,若它們的中位數(shù)相同,平均數(shù)也相同,則圖中的m,n的比值=( ) 圖713 A.1 B. C. D. C 由莖葉圖可知乙的中位數(shù)是=33,根據(jù)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同,可得m=3,所以甲的平均數(shù)為=33,又由甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同,可得=33,解得n=8,所以=,故選C.] 2.(2016山西四校二聯(lián))某學校組織學生參加數(shù)學測試,成績的頻率分布直方圖如圖714,數(shù)據(jù)的分組依次為20,40),40,60),60,80),80,100),若低于60分的人數(shù)是15,則該班的學生人數(shù)是( ) 圖714 A.45 B.50 C.55 D.60 B ∵20,40),40,60)的頻率為(0.005+0.01)20=0.3,∴該班的學生人數(shù)是=50.] 3.為了了解某城市今年準備報考飛行員的學生的體重情況,將所得的數(shù)據(jù)整理后,畫出了頻率分布直方圖(如圖715),已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1∶ 2∶ 3,第2小組的頻數(shù)為120,則抽取的學生人數(shù)是( ) 圖715 A.240 B.280 C.320 D.480 D 由頻率分布直方圖知:學生的體重在65~75 kg的頻率為(0.012 5+0.037 5) 5=0.25, 則學生的體重在50~65 kg的頻率為1-0.25=0.75.從左到右第2個小組的頻率為0.75=0.25. 所以抽取的學生人數(shù)是1200.25=480, 故選D.] 4.3個老師對某學校高三三個班級各85人的數(shù)學成績進行分析,已知甲班平均分為116.3分,乙班平均分為114.8分,丙班平均分為115.5分,成績分布直方圖如圖716,據(jù)此推斷高考中考生發(fā)揮差異較小的班級是( ) 圖716 A.甲 B.乙 C.丙 D.無法判斷 C 由于平均分相差不大,由直方圖知丙班中,學生成績主要集中在110~120區(qū)間上且平均分較高,其次是乙,分數(shù)相對甲來說比較集中,相對丙而言相對分散.數(shù)據(jù)最分散的是甲班,雖然平均分較高,但學生兩極分化,彼此差距較大,根據(jù)標準差的計算公式和性質(zhì)知甲的方差大于乙的方差大于丙的方差,所以丙班的學生發(fā)揮差異較?。蔬xC.] 二、填空題 5.已知某單位有40名職工,現(xiàn)要從中抽取5名職工,將全體職工隨機按1~40編號,并按編號順序平均分成5組.按系統(tǒng)抽樣方法在各組內(nèi)抽取一個號碼. 圖717 (1)若第1組抽出的號碼為2,則所有被抽出職工的號碼為________; (2)分別統(tǒng)計這5名職工的體重(單位:kg),獲得體重數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖717所示,則該樣本的方差為________. (1)2,10,18,26,34 (2)62 (1)分段間隔為=8,則所有被抽出職工的號碼為2,10,18,26,34. (2)=(59+62+70+73+81)=69. s2=(59-69)2+(62-69)2+(70-69)2+(73-69)2+(81-69)2]=62.] 6.如圖718是某個樣本的頻率分布直方圖,分組為100,110),110,120),120,130),130,140),140,150),已知a,b,c成等差數(shù)列,且區(qū)間130,140)與140,150)上的數(shù)據(jù)個數(shù)相差10,則區(qū)間110,120)上的數(shù)據(jù)個數(shù)為__________. 圖718 20 由頻率分布直方圖得130,140)上的頻率為0.02510=0.25, 140,150)上的頻率為0.01510=0.15. 設樣本容量為x,則由題意知0.25x-0.15x=0.1x=10,解得x=100. 因為a,b,c成等差數(shù)列,則2b=a+c. 又10a+10b+10c=1-0.25-0.15=0.6?a+b+c=0.06?3b=0.06, 解得b=0.02. 故區(qū)間110,120)上的數(shù)據(jù)個數(shù)為100.020100=20.] 三、解答題 7.從甲、乙兩部門中各任選10名員工進行職業(yè)技能測試,測試成績(單位:分)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖719(1)所示: (1) (2) 圖719 (1)分別求出甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù),并比較兩組數(shù)據(jù)的分散程度(只需給出結論); (2)甲組數(shù)據(jù)頻率分布直方圖如圖719(2)所示,求a,b,c的值; (3)從甲、乙兩組數(shù)據(jù)中各任取一個,求所取兩數(shù)之差的絕對值大于20的概率. 解] (1)甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為=78.5,乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為=78.5. 從莖葉圖可以看出,甲組數(shù)據(jù)比較集中,乙組數(shù)據(jù)比較分散.3分 (2)由題圖易知a=0.05,b=0.02,c=0.01.7分 (3)從甲、乙兩組數(shù)據(jù)中各任取一個,得到的所有基本事件共有100個,其中滿足“兩數(shù)之差的絕對值大于20”的基本事件有16個,故所求概率P==.12分 8.(2016河南六市聯(lián)考)在某大學自主招生考試中,所有選報Ⅱ類志向的考生全部參加了“數(shù)學與邏輯”和“閱讀與表達”兩個科目的考試,成績分為A,B,C,D,E五個等級.某考場考生的兩科考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖720所示,其中“數(shù)學與邏輯”科目的成績?yōu)锽的考生有10人. 圖720 (1)求該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績?yōu)锳的人數(shù); (2)若等級A,B,C,D,E分別對應5分,4分,3分,2分,1分,求該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分; (3)已知參加本考場測試的考生中,恰有2人的兩科成績均為A,在至少一科成績?yōu)锳的考生中,隨機抽取2人進行訪談,求這2人的兩科成績均為A的概率. 解] (1)因為“數(shù)學與邏輯”科目中成績等級為B的考生有10人,所以該考場有100.25=40(人),2分 所以該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績等級為A的人數(shù)為40(1-0.375-0.375-0.15-0.025)=400.075=3.4分 (2)該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分為1(400.2)+2(400.1)+3(400.375)+4(400.25)+5(400.075)]40=2.9.8分 (3)由題圖可知,“數(shù)學與邏輯”科目的成績?yōu)锳的有3人,“閱讀與表達”科目的成績?yōu)锳的有3人,因為恰有2人的兩科成績等級均為A,所以還有2人只有一個科目得分為A. 設這4人為甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是兩科成績都是A的同學,則在至少一科成績等級為A的考生中,隨機抽取2人進行訪談,基本事件空間為Ω={{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁}},一共有6個基本事件. 設“隨機抽取2人進行訪談,這2人的兩科成績等級均為A”為事件B,所以事件B中包含的基本事件有1個,則P(B)=.12分- 配套講稿:
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