高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題1 集合與常用邏輯用語 第4練 用好基本不等式 文
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第4練 用好基本不等式 [題型分析高考展望] 基本不等式是解決函數(shù)值域、最值、不等式證明、參數(shù)范圍問題的有效工具,在高考中經(jīng)??疾?,有時也會對其單獨考查.題目難度為中等偏上.應用時,要注意“拆、拼、湊”等技巧,特別要注意應用條件,只有具備公式應用的三個條件時,才可應用,否則可能會導致結果錯誤. 體驗高考 1.(2015四川)如果函數(shù)f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么mn的最大值為( ) A.16 B.18 C.25 D. 答案 B 解析?、佼攎=2時, ∵f(x)在[,2]上單調(diào)遞減, ∴0≤n<8,mn=2n<16. ②m≠2時,拋物線的對稱軸為x=-. 據(jù)題意得, 當m>2時,-≥2,即2m+n≤12, ∵≤≤6, ∴mn≤18, 由2m=n且2m+n=12得m=3,n=6. 當m<2時,拋物線開口向下, 據(jù)題意得,-≤,即m+2n≤18, ∵≤≤9, ∴mn≤, 由2n=m且m+2n=18得m=9>2,故應舍去. 要使得mn取得最大值,應有m+2n=18(m<2,n>8). ∴mn=(18-2n)n<(18-28)8=16, 綜上所述,mn的最大值為18,故選B. 2.(2015陜西)設f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),則下列關系式中正確的是( ) A.q=r<p B.q=r>p C.p=r<q D.p=r>q 答案 C 解析 ∵0<a<b,∴>, 又∵f(x)=ln x在(0,+∞)上為增函數(shù), 故f>f(),即q>p. 又r=(f(a)+f(b))=(ln a+ln b) =ln a+ln b=ln(ab) =f()=p. 故p=r<q.選C. 3.(2015天津)已知a>0,b>0,ab=8,則當a的值為________時,log2alog2(2b)取得最大值. 答案 4 解析 log2alog2(2b)=log2a(1+log2b) ≤2=2 =2=4, 當且僅當log2a=1+log2b, 即a=2b時,等號成立,此時a=4,b=2. 4.(2016江蘇)在銳角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,則tan Atan Btan C的最小值是________. 答案 8 解析 在△ABC中,A+B+C=π, sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C), 由已知,sin A=2sin Bsin C, ∴sin(B+C)=2sin Bsin C. ∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C, A,B,C全為銳角,兩邊同時除以cos Bcos C得: tan B+tan C=2tan Btan C. 又tan A=-tan(B+C)=-=. ∴tan A(tan Btan C-1)=tan B+tan C. 則tan Atan Btan C-tan A=tan B+tan C, ∴tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C =tan A+2tan Btan C ≥2, ∴≥2, ∴tan Atan Btan C≥8. 5.(2016上海)設a>0,b>0.若關于x,y的方程組無解,則a+b的取值范圍是________. 答案 (2,+∞) 解析 由已知,ab=1,且a≠b, ∴a+b>2=2. 高考必會題型 題型一 利用基本不等式求最大值、最小值 1.利用基本不等式求最值的注意點 (1)在運用基本不等式求最值時,必須保證“一正,二定,三相等”,湊出定值是關鍵. (2)若兩次連用基本不等式,要注意等號的取得條件的一致性,否則就會出錯. 2.結構調(diào)整與應用基本不等式 基本不等式在解題時一般不能直接應用,而是需要根據(jù)已知條件和基本不等式的“需求”尋找“結合點”,即把研究對象化成適用基本不等式的形式.常見的轉化方法有: (1)x+=x-a++a(x>a). (2)若+=1,則mx+ny=(mx+ny)1=(mx+ny)≥ma+nb+2(字母均為正數(shù)). 例1 (1)已知正常數(shù)a,b滿足+=3,則(a+1)(b+2)的最小值是________. 答案 解析 由+=3,得b+2a=3ab, ∴(a+1)(b+2)=2a+b+ab+2=4ab+2, 又a>0,b>0,∴+≥2, ∴ab≥(當且僅當b=2a時取等號), ∴(a+1)(b+2)的最小值為4+2=. (2)求函數(shù)y=(x>-1)的最小值. 解 設x+1=t,則x=t-1(t>0), ∴y= =t++5≥2 +5=9. 當且僅當t=,即t=2,且此時x=1時,取等號, ∴ymin=9. 點評 求條件最值問題一般有兩種思路:一是利用函數(shù)單調(diào)性求最值;二是利用基本不等式.在利用基本不等式時往往都需要變形,變形的原則是在已知條件下通過變形湊出基本不等式應用的條件,即“和”或“積”為定值.等號能夠取得. 變式訓練1 已知x>0,y>0,且2x+5y=20, (1)求u=lg x+lg y的最大值; (2)求+的最小值. 解 (1)∵x>0,y>0, ∴由基本不等式,得2x+5y≥2. ∵2x+5y=20,∴2≤20,即xy≤10, 當且僅當2x=5y時等號成立. 因此有解得 此時xy有最大值10. ∴u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1. ∴當x=5,y=2時,u=lg x+lg y有最大值1. (2)∵x>0,y>0,∴+= =≥=, 當且僅當=時等號成立. 由解得 ∴+的最小值為. 題型二 基本不等式的綜合應用 例2 (1)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每批的生產(chǎn)準備費用為800元,若每批生產(chǎn)x件,則平均倉儲時間為天,且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元,為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小,每批應生產(chǎn)產(chǎn)品( ) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件 答案 B 解析 平均每件產(chǎn)品的費用為y==+≥2 =20,當且僅當=,即x=80時取等號,所以每批應生產(chǎn)產(chǎn)品80件,才能使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最?。? (2)某單位決定投資3 200元建一倉庫(長方體狀),高度恒定,它的后墻利用舊墻不花錢,正面用鐵柵,每米長造價40元,兩側墻砌磚,每米長造價45元,頂部每平方米造價20元,求:倉庫面積S的最大允許值是多少?為使S達到最大,而實際投資又不超過預算,那么正面鐵柵應設計為多長? 解 設鐵柵長為x米,一側磚墻長為y米,則頂部面積S=xy,依題設,得40x+245y+20xy=3 200,由基本不等式得3 200≥2 +20xy=120 +20xy=120 +20S,則S+6-160≤0,即(-10)(+16)≤0,故0<≤10,從而0<S≤100,所以S的最大允許值是100平方米,取得此最大值的條件是40x=90y且xy=100,解得x=15,即鐵柵的長應設計為15米. 點評 基本不等式及不等式性質(zhì)應用十分廣泛,在最優(yōu)化實際問題,平面幾何問題,代數(shù)式最值等方面都要用到基本不等式,應用時一定要注意檢驗“三個條件”是否具備. 變式訓練2 (1)已知直線ax+by-6=0(a>0,b>0)被圓x2+y2-2x-4y=0截得的弦長為2,則ab的最大值是________. 答案 解析 圓的方程變形為(x-1)2+(y-2)2=5, 由已知可得直線ax+by-6=0過圓心O(1,2), ∴a+2b=6(a>0,b>0),∴6=a+2b≥2, ∴ab≤(當且僅當a=2b時等號成立), 故ab的最大值為. (2)某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)x千件,需另投入成本為C(x),當年產(chǎn)量不足80千件時,C(x)=x2+10x(萬元).當年產(chǎn)量不小于80千件時,C(x)=51x+-1 450(萬元).每件商品售價為0.05萬元.通過市場分析,該廠生產(chǎn)的商品能全部售完. ①寫出年利潤L(x)(萬元)關于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式; ②當年產(chǎn)量為多少千件時,該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大? 解 ①當0<x<80時, L(x)=1 000x0.05-(x2+10x)-250 =-x2+40x-250. 當x≥80時, L(x)=1 000x0.05-(51x+-1 450)-250 =1 200-(x+). ∴L(x)= ②當0<x<80時,L(x)=-x2+40x-250. 對稱軸為x=60, 即當x=60時,L(x)最大=950(萬元). 當x≥80時, L(x)=1 200-(x+) ≤1 200-2 =1 000(萬元), 當且僅當x=100時,L(x)最大=1 000(萬元), 綜上所述,當x=100時,年獲利最大. 高考題型精練 1.已知x>1,y>1,且ln x,,ln y成等比數(shù)列,則xy( ) A.有最大值e B.有最大值 C.有最小值e D.有最小值 答案 C 解析 ∵x>1,y>1,且ln x,,ln y成等比數(shù)列, ∴l(xiāng)n xln y=≤2, ∴l(xiāng)n x+ln y=ln xy≥1?xy≥e. 2.若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是( ) A. B. C.5 D.6 答案 C 解析 方法一 由x+3y=5xy可得+=1, ∴3x+4y=(3x+4y)(+) =+++≥+=5(當且僅當=, 即x=1,y=時,等號成立),∴3x+4y的最小值是5. 方法二 由x+3y=5xy得x=, ∵x>0,y>0,∴y>, ∴3x+4y=+4y =++4 ≥+2 =5, 當且僅當y=時等號成立, ∴3x+4y的最小值是5. 3.若正數(shù)a,b滿足+=1,則+的最小值是( ) A.1 B.6 C.9 D.16 答案 B 解析 ∵正數(shù)a,b滿足+=1, ∴b=>0,解得a>1.同理可得b>1, ∴+=+ =+9(a-1)≥2 =6, 當且僅當=9(a-1),即a=時等號成立, ∴最小值為6.故選B. 4.已知a>0,b>0,若不等式--≤0恒成立,則m的最大值為( ) A.4 B.16 C.9 D.3 答案 B 解析 因為a>0,b>0,所以由--≤0恒成立得m≤(+)(3a+b)=10++恒成立. 因為+≥2=6, 當且僅當a=b時等號成立,所以10++≥16, 所以m≤16,即m的最大值為16,故選B. 5.已知x,y∈(0,+∞),2x-3=()y,若+(m>0)的最小值為3,則m等于( ) A.2 B.2 C.3 D.4 答案 D 解析 由2x-3=()y得x+y=3, +=(x+y)(+) =(1+m++) ≥(1+m+2)(當且僅當=時取等號) ∴(1+m+2)=3,解得m=4,故選D. 6.已知直線ax+by+c-1=0(b,c>0)經(jīng)過圓x2+y2-2y-5=0的圓心,則+的最小值是( ) A.9 B.8 C.4 D.2 答案 A 解析 圓x2+y2-2y-5=0化成標準方程, 得x2+(y-1)2=6, 所以圓心為C(0,1), 因為直線ax+by+c-1=0經(jīng)過圓心C, 所以a0+b1+c-1=0,即b+c=1. 因此+=(b+c)(+)=++5. 因為b,c>0,所以+≥2=4. 當且僅當=時等號成立. 由此可得b=2c,且b+c=1, 即b=,c=時,+取得最小值9. 7.已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為________. 答案 6 解析 由已知得x=. 方法一 (消元法)∵x>0,y>0,∴0<y<3, ∴x+3y=+3y=+3(y+1)-6 ≥2-6=6,當且僅當=3(y+1), 即y=1,x=3時,(x+3y)min=6. 方法二 ∵x>0,y>0,9-(x+3y)=xy=x(3y)≤2,當且僅當x=3y時等號成立.設x+3y=t>0,則t2+12t-108≥0,∴(t-6)(t+18)≥0, 又∵t>0,∴t≥6.故當x=3,y=1時,(x+3y)min=6. 8.已知三個正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,則+的最小值為________. 答案 解析 由條件可知a>0,b>0,c>0,且b2=ac,即b=,故≥=2,令=t,則t≥2,所以y=t+在[2,+∞)上單調(diào)遞增, 故其最小值為2+=. 9.已知x,y∈R且滿足x2+2xy+4y2=6,則z=x2+4y2的取值范圍為________. 答案 [4,12] 解析 ∵2xy=6-(x2+4y2),而2xy≤, ∴6-(x2+4y2)≤, ∴x2+4y2≥4(當且僅當x=2y時取等號), 又∵(x+2y)2=6+2xy≥0,即2xy≥-6, ∴z=x2+4y2=6-2xy≤12(當且僅當x=-2y時取等號),綜上可知4≤x2+4y2≤12. 10.當x∈(0,1)時,不等式≥m-恒成立,則m的最大值為________. 答案 9 解析 方法一 (函數(shù)法)由已知不等式可得 m≤+, 設f(x)=+==,x∈(0,1). 令t=3x+1,則x=,t∈(1,4), 則函數(shù)f(x)可轉化為g(t)====, 因為t∈(1,4),所以5>t+≥4, 0<-(t+)+5≤1,≥9, 即g(t)∈[9,+∞),故m的最大值為9. 方法二 (基本不等式法)由已知不等式可得m≤+,因為x∈(0,1),則1-x∈(0,1),設y=1-x∈(0,1),顯然x+y=1. 故+=+=+ =5+(+)≥5+2=9, 當且僅當=,即y=,x=時等號成立. 所以要使不等式m≤+恒成立,m的最大值為9. 11.運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米,按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位:千米/時).假設汽油的價格是每升2元,而汽車每小時耗油升,司機的工資是每小時14元. (1)求這次行車總費用y關于x的表達式; (2)當x為何值時,這次行車的總費用最低,并求出最低費用的值. 解 (1)設所用時間為t=(小時), y=2+14,x∈[50,100]. 所以,這次行車總費用y關于x的表達式是 y=+x,x∈[50,100]. (2)y=+x≥26, 當且僅當=, 即x=18時等號成立. 故當x=18千米/時,這次行車的總費用最低,最低費用的值為26元. 12.某種商品原來每件售價為25元,年銷售8萬件. (1)據(jù)市場調(diào)查,若價格每提高1元,銷售量將相應減少2 000件,要使銷售的總收入不低于原收入,該商品每件定價最多為多少元? (2)為了擴大該商品的影響力,提高年銷售量.公司決定明年對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革,并提高定價到x元.公司擬投入(x2-600)萬元作為技改費用,投入50萬元作為固定宣傳費用,投入x萬元作為浮動宣傳費用.試問:當該商品明年的銷售量a至少應達到多少萬件時,才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和?并求出此時商品的每件定價. 解 (1)設每件定價為t元, 依題意,有t≥258, 整理得t2-65t+1 000≤0,解得25≤t≤40. ∴要使銷售的總收入不低于原收入,每件定價最多為40元. (2)依題意,x>25時, 不等式ax≥258+50+(x2-600)+x有解, 等價于x>25時,a≥+x+有解, ∵+x≥2=10(當且僅當x=30時,等號成立),∴a≥10.2, ∴當該商品明年的銷售量a至少應達到10.2萬件時,才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和,此時該商品的每件定價為30元.- 配套講稿:
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