高考數(shù)學(xué)(四海八荒易錯(cuò)集)專題14 直線和圓 理
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專題14 直線和圓 1.已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長(zhǎng)度是2,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是( ) A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離 答案 B 解析 ∵圓M:x2+(y-a)2=a2, ∴圓心坐標(biāo)為M(0,a),半徑r1為a, 2.已知點(diǎn)A(2,3),B(-3,-2),若直線kx-y+1-k=0與線段AB相交,則k的取值范圍是( ) A.[,2] B.(-∞,]∪[2,+∞) C.(-∞,1]∪[2,+∞) D.[1,2] 答案 B 解析 直線kx-y+1-k=0恒過(guò)點(diǎn)P(1,1), kPA==2,kPB==; 若直線kx-y+1-k=0與線段AB相交,結(jié)合圖象(圖略)得k≤或k≥2,故選B. 3.若方程(x-2cosθ)2+(y-2sinθ)2=1(0≤θ<2π)的任意一組解(x,y)都滿足不等式y(tǒng)≥x,則θ的取值范圍是( ) A.[,] B.[,] C.[,π] D.[,π] 答案 D 解析 根據(jù)題意可得,方程(x-2cosθ)2+(y-2sinθ)2=1(0≤θ<2π)的任意一組解(x,y)都滿足不等式y(tǒng)≥x,表示方程(x-2cosθ)2+(y-2sinθ)2=1(0≤θ<2π)在y=x的左上方(包括相切), ∴ ∴sin≥,∵0≤θ<2π,∴θ∈[,π],故選D. 4.已知點(diǎn)P(x,y)在直線x+2y=3上移動(dòng),當(dāng)2x+4y取得最小值時(shí),過(guò)點(diǎn)P引圓(x-)2+(y+)2=的切線,則此切線段的長(zhǎng)度為_(kāi)_______. 答案 解析 由題意可知, 5.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓,則圓心坐標(biāo)是______________.半徑是________. 答案 (-2,-4) 5 解析 由已知方程表示圓,則a2=a+2, 解得a=2或a=-1. 當(dāng)a=2時(shí),方程不滿足表示圓的條件,故舍去. 當(dāng)a=-1時(shí),原方程為x2+y2+4x+8y-5=0, 化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y+4)2=25, 表示以(-2,-4)為圓心,半徑為5的圓. 6.設(shè)直線y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=2,則圓C的面積為_(kāi)_______. 答案 4π 解析 圓C:x2+y2-2ay-2=0,即C:x2+(y-a)2=a2+2,圓心為C(0,a),C到直線y=x+2a的距離為d==.又由|AB|=2,得2+2=a2+2,解得a2=2,所以圓的面積為π(a2+2)=4π. 7.已知以點(diǎn)C(t,)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O,A,與y軸交于點(diǎn)O,B,其中O為原點(diǎn). (1)求證:△OAB的面積為定值; (2)設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點(diǎn)M,N,若|OM|=|ON|,求圓C的方程. (1)證明 由題意知圓C過(guò)原點(diǎn)O,且|OC|2=t2+. 則圓C的方程為(x-t)2+(y-)2=t2+, 令x=0,得y1=0,y2=; 令y=0,得x1=0,x2=2t. 故S△OAB=|OA||OB|=|2t|||=4, 即△OAB的面積為定值. (2)解 ∵|OM|=|ON|,|CM|=|CN|, ∴OC垂直平分線段MN. ∵kMN=-2,∴kOC=,∴直線OC的方程為y=x, 線y=-2x+4不相交,∴t=-2不符合題意,應(yīng)舍去. 綜上,圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5. 易錯(cuò)起源1、直線的方程及應(yīng)用 例1、(1)已知直線l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0與l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,則k的值是( ) A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2 (2)已知兩點(diǎn)A(3,2)和B(-1,4)到直線mx+y+3=0的距離相等,則m的值為( ) A.0或- B.或-6 C.-或 D.0或 答案 (1)C (2)B 【變式探究】已知直線l1:ax+2y+1=0與直線l2:(3-a)x-y+a=0,若l1⊥l2,則a的值為( ) A.1 B.2 C.6 D.1或2 答案 D 解析 由l1⊥l2,則a(3-a)-2=0, 即a=1或a=2,選D. 【名師點(diǎn)睛】 (1)求解兩條直線的平行或垂直問(wèn)題時(shí)要考慮斜率不存在的情況; (2)對(duì)解題中可能出現(xiàn)的特殊情況,可用數(shù)形結(jié)合的方法分析研究. 【錦囊妙計(jì),戰(zhàn)勝自我】 1.兩條直線平行與垂直的判定 若兩條不重合的直線l1,l2的斜率k1,k2存在,則l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1k2=-1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù),則要考慮斜率是否存在. 2.求直線方程 要注意幾種直線方程的局限性.點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式要求直線不能與x軸垂直.而截距式方程不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線,也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線. 3.兩個(gè)距離公式 (1)兩平行直線l1:Ax+By+C1=0, l2:Ax+By+C2=0間的距離d=. (2)點(diǎn)(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離公式d=. 易錯(cuò)起源2、圓的方程及應(yīng)用 例2、(1)若圓C經(jīng)過(guò)(1,0),(3,0)兩點(diǎn),且與y軸相切,則圓C的方程為( ) A.(x-2)2+(y2)2=3 B.(x-2)2+(y)2=3 C.(x-2)2+(y2)2=4 D.(x-2)2+(y)2=4 (2)已知圓M的圓心在x軸上,且圓心在直線l1:x=-2的右側(cè),若圓M截直線l1所得的弦長(zhǎng)為2,且與直線l2:2x-y-4=0相切,則圓M的方程為( ) A.(x-1)2+y2=4 B.(x+1)2+y2=4 C.x2+(y-1)2=4 D.x2+(y+1)2=4 答案 (1)D (2)B 所以圓M的方程為(x+1)2+y2=4.故選B. 【變式探究】(1)一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓+=1的三個(gè)頂點(diǎn),且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________. (2)兩條互相垂直的直線2x+y+2=0和ax+4y-2=0的交點(diǎn)為P,若圓C過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)M(-3,2),且圓心在直線y=x上,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____________. 答案 (1)2+y2= (2)(x+6)2+(y+3)2=34 解析 (1)由題意知圓過(guò)(4,0),(0,2),(0,-2)三點(diǎn), (4,0),(0,-2)兩點(diǎn)的垂直平分線方程為y+1=-2(x-2), 令y=0,解得x=,圓心為,半徑為. 得該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-)2+y2=. 【名師點(diǎn)睛】 解決與圓有關(guān)的問(wèn)題一般有兩種方法:(1)幾何法,通過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系,進(jìn)而求得圓的基本量和方程;(2)代數(shù)法,即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程,再由條件求得各系數(shù). 【錦囊妙計(jì),戰(zhàn)勝自我】 1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 當(dāng)圓心為(a,b),半徑為r時(shí),其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,特別地,當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí),方程為x2+y2=r2. 2.圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,表示以(-,-)為圓心,為半徑的圓. 易錯(cuò)起源3、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 例3、(1)已知直線2x+(y-3)m-4=0(m∈R)恒過(guò)定點(diǎn)P,若點(diǎn)P平分圓x2+y2-2x-4y-4=0的弦MN,則弦MN所在直線的方程是( ) A.x+y-5=0 B.x+y-3=0 C.x-y-1=0 D.x-y+1=0 (2)已知P(x,y)是直線kx+y+4=0(k>0)上一動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓C:x2+y2-2y=0的兩條切線,A,B是切點(diǎn),若四邊形PACB的最小面積是2,則k的值為( ) A.3 B. C.2 D.2 答案 (1)A (2)D 解析 (1)對(duì)于直線方程2x+(y-3)m-4=0(m∈R),取y=3,則必有x=2,所以該直線恒過(guò)定點(diǎn)P(2,3). 設(shè)圓心是C,則易知C(1,2), 所以kCP==1, 由垂徑定理知CP⊥MN,所以kMN=-1. 又弦MN過(guò)點(diǎn)P(2,3), 故弦MN所在直線的方程為y-3=-(x-2), 即x+y-5=0. 【變式探究】(1)若直線3x+4y=b與圓x2+y2-2x-2y+1=0相切,則b的值是( ) A.-2或12 B.2或-12 C.-2或-12 D.2或12 (2)已知在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(2,0),B(0,1)到直線l的距離分別為1,2,則這樣的直線l共有________條. 答案 (1)D (2)3 【名師點(diǎn)睛】 (1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí),要注意數(shù)形結(jié)合,充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑,減少運(yùn)算量. (2)圓上的點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題,可以轉(zhuǎn)化為圓心到點(diǎn)的距離問(wèn)題;圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題,可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問(wèn)題;圓上的點(diǎn)與另一圓上點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題,可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問(wèn)題. 【錦囊妙計(jì),戰(zhàn)勝自我】 1.直線與圓的位置關(guān)系:相交、相切和相離,判斷的方法主要有點(diǎn)線距離法和判別式法. (1)點(diǎn)線距離法:設(shè)圓心到直線的距離為d,圓的半徑為r,則d- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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