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第1講　直線與圓 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2016山東改編)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關系是________． 答案　相交 解析　∵圓M：x2＋(y－a)2＝a2， ∴圓心坐標為M(0，a)，半徑r1為a， 圓心M到直線x＋y＝0的距離d＝， 由幾何知識得2＋()2＝a2，解得a＝2. ∴M(0,2)，r1＝2. 又圓N的圓心坐標為N(1,1)，半徑r2＝1， ∴MN＝＝， r1＋r2＝3，r1－r2＝1. ∴r1－r2＜MN＜r1＋r2，∴兩圓相交． 2．(2016上海)已知平行直線l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，則l1與l2的距離是________． 答案　 3．(2016浙江)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是______．半徑是______． 答案　(－2，－4)　5 解析　由已知方程表示圓，則a2＝a＋2， 解得a＝2或a＝－1. 當a＝2時，方程不滿足表示圓的條件，故舍去． 當a＝－1時，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 化為標準方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)為圓心，半徑為5的圓． 4．(2016課標全國乙)設直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點，若AB＝2，則圓C的面積為________． 答案　4π 解析　圓C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圓心為C(0，a)，C到直線y＝x＋2a的距離為d＝＝.又由AB＝2，得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，所以圓的面積為π(a2＋2)＝4π. 考查重點是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關的問題．直線與圓的位置關系(特別是弦長問題)，此類問題難度屬于中低檔，一般以填空題的形式出現(xiàn)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 熱點一　直線的方程及應用 1．兩條直線平行與垂直的判定 若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在． 2．求直線方程 要注意幾種直線方程的局限性．點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直．而截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線． 3．兩個距離公式 (1)兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0， l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝. (2)點(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離公式d＝. 例1　(1)已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是________． (2)過點(5,2)且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是______________． 答案　(1)3或5　(2)2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 解析　(1)兩直線平行，則A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0，所以有－2(k－3)－2(k－3)(4－k)＝0，解得k＝3或5，且滿足條件A1C2－A2C1≠0. (2)若直線在坐標軸上的截距為0，設直線方程為y＝kx，由直線過點(5,2)，可得k＝，此時直線方程為2x－5y＝0；若直線在坐標軸上的截距不為0，根據(jù)題意設直線方程為＋＝1，由直線過點(5,2)，可得a＝6，此時直線方程為2x＋y－12＝0. 思維升華　(1)求解兩條直線的平行或垂直問題時要考慮斜率不存在的情況；(2)對解題中可能出現(xiàn)的特殊情況，可用數(shù)形結(jié)合的方法分析研究． 跟蹤演練1　已知直線l1：ax＋2y＋1＝0與直線l2：(3－a)x－y＋a＝0，若l1⊥l2，則a的值為________． 答案　1或2 解析　由l1⊥l2，則a(3－a)－2＝0， 即a＝1或a＝2. 熱點二　圓的方程及應用 1．圓的標準方程 當圓心為(a，b)，半徑為r時，其標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特別地，當圓心在原點時，方程為x2＋y2＝r2. 2．圓的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(－，－)為圓心，為半徑的圓． 例2　(1)若圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點，且與y軸相切，則圓C的方程為______________． (2)過點A(a，a)可作圓x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的兩條切線，則實數(shù)a的取值范圍為________________． 答案　(1)(x－2)2＋(y)2＝4　(2)a<－3或13－2a，解得a<－3或10)，則圓心(a，b)為直線x－y＋3＝0與直線y＝x的交點，由解得圓心坐標為(－6，－3)，從而得到r2＝34，所以圓C的標準方程為(x＋6)2＋(y＋3)2＝34. 熱點三　直線與圓、圓與圓的位置關系 1．直線與圓的位置關系：相交、相切和相離，判斷的方法主要有點線距離法和判別式法． (1)點線距離法：設圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，則dr?直線與圓相離． (2)判別式法：設圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，方程組消去y，得關于x的一元二次方程根的判別式Δ，則直線與圓相離?Δ<0，直線與圓相切?Δ＝0，直線與圓相交?Δ>0. 2．圓與圓的位置關系有五種，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離． 設圓C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r，圓C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r，兩圓心之間的距離為d，則圓與圓的五種位置關系的判斷方法如下： (1)d>r1＋r2?兩圓外離； (2)d＝r1＋r2?兩圓外切； (3)|r1－r2|0)與圓C：(x－2)2＋y2＝1相交于A，B兩點，若AB＝，則k＝_________. (2)若直線y＝x＋b與曲線x＝恰有一個公共點，則b的取值范圍是____________． 答案　(1)　(2)(－1,1]∪{－} 解析　(1)圓心C，半徑為1，圓心到直線的距離d＝，而AB＝，得()2＋2＝1，解得k＝. (2)曲線x＝，即x2＋y2＝1(x≥0)表示一個半徑為1的半圓，如圖所示． 當直線y＝x＋b經(jīng)過點A(0,1)時，求得b＝1； 當直線y＝x＋b經(jīng)過點B(1,0)時，求得b＝－1； 當直線和半圓相切于點D時，由圓心O到直線y＝x＋b的距離等于半徑， 可得＝1，求得b＝－，或b＝(舍去)． 故當直線y＝x＋b與曲線x＝恰有一個公共點時，b的取值范圍是－10，所以t≥1＋，所以mn≥3＋2.故mn有最小值3＋2，無最大值． 3．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的長為2，則a＝________. 押題依據(jù)　本題已知公共弦長，求參數(shù)的范圍，情境新穎，符合高考命題的思路． 答案　 解析　聯(lián)立兩圓方程 可得公共弦所在直線方程為ax＋2ay－5＝0， 故圓心(0,0)到直線ax＋2ay－5＝0的距離為＝(a>0)．故2＝2， 解得a2＝，因為a>0，所以a＝. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A組　專題通關 1．設A、B是x軸上的兩點，點P的橫坐標為2，且PA＝PB，若直線PA的方程為x－y＋1＝0，則直線PB的方程是____________． 答案　x＋y－5＝0 解析　由于直線PA的傾斜角為45，且PA＝PB，故直線PB的傾斜角為135，又由題意知P(2,3)，∴直線PB的方程為y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0. 2．(教材改編)設直線ax－y＋3＝0與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B兩點，且弦AB的長為2，則a＝________. 答案　0 解析　由弦心距、半弦長、半徑構(gòu)成直角三角形，得()2＋(－)2＝22，解得a＝0. 3．過坐標原點且與圓x2＋y2－4x＋2y＋＝0相切的直線的方程為________________． 答案　3x＋y＝0或x－3y＝0 解析　設直線方程為y＝kx，即kx－y＝0. ∵圓方程可化為(x－2)2＋(y＋1)2＝， ∴圓心為(2，－1)，半徑為. 依題意有＝， 解得k＝－3或k＝， ∴直線方程為3x＋y＝0或x－3y＝0. 4．已知圓O1的方程為x2＋y2＝4，圓O2的方程為(x－a)2＋y2＝1，如果這兩個圓有且只有一個公共點，那么a的所有取值構(gòu)成的集合是____________． 答案　{1，－1,3，－3} 解析　∵兩個圓有且只有一個公共點， ∴兩個圓內(nèi)切或外切． 內(nèi)切時，|a|＝1；外切時，|a|＝3，∴實數(shù)a的取值集合是{1，－1,3，－3}． 5．已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則PM＋PN的最小值為__________． 答案　5－4 解析　兩圓的圓心均在第一象限，先求PC1＋PC2的最小值，作點C1關于x軸的對稱點C1′(2，－3)， 則(PC1＋PC2)min＝C1′C2＝5， 所以(PM＋PN)min＝5－(1＋3)＝5－4. 6．已知直線l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋y＋1＝0，l1∥l2，則a的值為________，直線l1與l2間的距離為________． 答案　－1　 解析　∵l1∥l2，∴a1＝－11?a＝－1， 此時l1：x＋y－1＝0， ∴l(xiāng)1，l2之間的距離為＝. 7．在平面直角坐標系xOy中，過點P的直線與圓x2＋y2＝1相切于點T，與圓2＋2＝3相交于點R，S，且PT＝RS，則正數(shù)a的值為________． 答案　4 解析　由題意得PT＝＝，kPT＝，PT：y＝(x＋2)，即x－y＋2＝0，又RS＝PT＝，所以圓2＋2＝3的圓心到直線PT距離為＝，從而＝，因此正數(shù)a的值為4. 8．(2016課標全國丙)已知直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，若AB＝2，則CD＝______. 答案　4 解析　設AB的中點為M，由題意知，圓的半徑R＝2，AB＝2，所以OM＝3，解得m＝－， 由解得A(－3，)，B(0,2)，則AC的直線方程為y－＝－(x＋3)，BD的直線方程為y－2＝－x，令y＝0，解得C(－2,0)，D(2,0)，所以CD＝4. 9．已知點A(3,3)，B(5,2)到直線l的距離相等，且直線l經(jīng)過兩直線l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交點，求直線l的方程． 解　解方程組得交點P(1,2)． ①若點A，B在直線l的同側(cè)，則l∥AB. 而kAB＝＝－， 由點斜式得直線l的方程為 y－2＝－(x－1)， 即x＋2y－5＝0. ②若點A，B分別在直線l的異側(cè)，則直線l經(jīng)過線段AB的中點(4，)， 由兩點式得直線l的方程為＝， 即x－6y＋11＝0. 綜上所述，直線l的方程為 x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0. 10．(2015課標全國Ⅰ)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點． (1)求k的取值范圍； (2)若＝12，其中O為坐標原點，求MN. 解　(1)由題設可知，直線l的方程為y＝kx＋1， 因為l與C交于兩點，所以<1. 解得，圓C與直線y＝－2x＋4不相交， ∴t＝－2不符合題意，應舍去． 綜上，圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.