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專題15 圓錐曲線 1. 設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)到漸近線的距離等于，則該雙曲線 的離心率等于（ ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】 考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)． 2. 過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，作垂直拋物線的準(zhǔn)線于為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是__________（填寫(xiě)序號(hào)）． ①； ②存在，使得成立； ③； ④準(zhǔn)線上任意點(diǎn)，都使得． 【答案】①②③ 【解析】 試題分析：對(duì)于①，由，可得是正確；對(duì)于②，設(shè)，可得，又，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，可得，可得，即有，則，即有存在，使得成立，所以是正確的；對(duì)于③，，所以是正確的；對(duì)于④，由拋物線的定義可得，可得以為直徑的圓的半徑與梯形的中位線長(zhǎng)相等，即有該圓與相切，設(shè)切點(diǎn)為，即有，則，所以是不正確的． 考點(diǎn)：拋物線的綜合應(yīng)用問(wèn)題． 3. 已知橢圓：，點(diǎn)，，分別為橢圓的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)． 4. 為雙曲線右支上一點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，直線交軸于點(diǎn)，則的內(nèi)切圓半徑為（ ） A．2 B．3 C. D． 【答案】A 【解析】 考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì). 5. 已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且左、右焦點(diǎn)分別為，.這兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為，是以為底邊的等腰三角形.若，記橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 試題分析：設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為，，由于是以為底邊的等腰三角形，若，即有，由橢圓的定義可得，由雙曲線定義可得，即由，再由三角形的兩邊之和大于第三邊，可得，可得，既有，由離心率公式可得，由于，則由，則的取值范圍是，故選C. 考點(diǎn)：圓錐曲線的幾何性質(zhì). 6． 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，若以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則的方程為（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】 考點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系. 7. 已知圓與雙曲線的漸近線相切，則雙曲線的離心率為（ ） A． B． C. D． 【答案】D 【解析】 試題分析：圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式有，解得，所以雙曲線的離心率為，故選D. 考點(diǎn)：1、直線與圓；2、雙曲線的幾何性質(zhì). 8. 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線與其交于兩點(diǎn)，若，則（ ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【解析】 試題分析：由于，所以. 考點(diǎn)：拋物線. 9. 已知是雙曲線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作雙曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分 別為，則的值是（ ） A． B． C． D．不能確定 【答案】A 【解析】 考點(diǎn)：1、平面向量的數(shù)量積公式；2、雙曲線的方程及幾何性質(zhì). 10. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，當(dāng) （為坐標(biāo)原點(diǎn)）時(shí)， . 【答案】 【解析】 試題分析：由拋物線可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線得方程為：，， ，故答案為. 考點(diǎn)：1、拋物線的定義；2、拋物線的性質(zhì). 11. 設(shè)雙曲線（，）的上、下焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲 線交于，兩點(diǎn)，且，，則此雙曲線的離心率為（ ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】 考點(diǎn)：1、雙曲線的定義；2、雙曲線的幾何性質(zhì)及離心率. 12. 設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，則的值為（ ） A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】D 【解析】 試題分析：由已知，由橢圓定義知， ，由余弦定理得，由①②③得，故選D. 考點(diǎn)：1、橢圓的定義及性質(zhì)；2、平面向量數(shù)量積公式及余弦定理. 13. 知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線的離心率為，若雙曲線上一點(diǎn)使，則的值為（ ） A． B． C. D． 【答案】B 【解析】 考點(diǎn)：1、雙曲線的定義；2、正弦定理、余弦定理及平面向量數(shù)量積公式. 14. 已知二次曲線，則當(dāng)時(shí)，該曲線的離心率的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：由當(dāng)時(shí)，二次曲線為雙曲線，雙曲線即為，且，則，即有，故選C. 考點(diǎn)：1、雙曲線的方程；2、雙曲線的離心率. 15. 已知雙曲線與不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸的直線相交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，則（ ） A． B． C．2 D．-2 【答案】A 【解析】 考點(diǎn)：雙曲線的方程． 16. 在直角坐標(biāo)系中，有一定點(diǎn)，若線段的垂直平分線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是____________． 【答案】 【解析】 試題分析：線段的中點(diǎn)為，所以線段的垂直平分線方程為，即，其軸的交點(diǎn)為,所以該拋物線的準(zhǔn)線方程是. 考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 17. 過(guò)橢圓：的左頂點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上的射影恰好為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：由題意可知，所以直線的斜率為，即，解得，故選C. 考點(diǎn)：橢圓的離心率． 18. 已知雙曲線，、是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率分別為，若的最小值為1,則雙曲線的離心率為（ ） A． B． C. D． 【答案】B 【解析】 考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì),基本不等式. 19. 已知是雙曲線上的不同三點(diǎn)，且連線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線的斜率乘積，則該雙曲線的離心率（ ） A． B． C. D． 【答案】B 【解析】 試題分析：設(shè)，所以，故. 考點(diǎn)：直線與圓錐曲線位置關(guān)系. 20. 已知、分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，若關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰落在以為圓心，為半徑的圓上（為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（ ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【解析】 考點(diǎn)：1.點(diǎn)到直線的距離；2.雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì). 21. 已知雙曲線 的兩條漸近線與直線 所圍成的三角形面積為， 則雙曲線的離心率為（ ） A． B． C. D． 【答案】C 【解析】 考點(diǎn)：雙曲線的漸近線方程及離心率. 22. 拋物線的焦點(diǎn)為 ,斜率為 的直線的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若線段 的垂直平分線與 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，則（ ） A． B． C. D． 【答案】A 【解析】 試題分析：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為.則直線的表達(dá)式為：由得：直線與拋物線的另一交點(diǎn)為：，由得坐標(biāo)為：，則，因?yàn)榫€段的垂直平分線與線段的交點(diǎn)為：，其斜率=，則其表達(dá)式為，代入點(diǎn)求出，即，代入點(diǎn)求得：，則. 考點(diǎn)：拋物線的性質(zhì)；直線與拋物線的位置關(guān)系. 23. 已知雙曲線的離心率等于，且點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的方程為（ ） A． B． C. D． 【答案】D 【解析】 試題分析：，故選D. 考點(diǎn)：雙曲線的方程. 24. 設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)、在雙曲線上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，且四邊形的面積為，則雙曲線的離心率為（ ） A． B．2 C. D． 【答案】D 【解析】 考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì). 25. 若拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，則 ． 【答案】 【解析】 試題分析：由題意且，消去得，解得或（舍去）.故答案為． 考點(diǎn)：拋物線的定義. 26. 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與雙曲線的一條漸近線平行，并交拋物線于兩點(diǎn)，若，且，則拋物線的方程為（ ） A． B． C. D． 【答案】A 【解析】 考點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系. 27. 已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，則（ ） A． B． C. D． 【答案】C 【解析】 試題分析：由，得，則；由得，由拋物線的性質(zhì)可得，故選C. 考點(diǎn)：拋物線的性質(zhì). 28. 已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交的右支于不同兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線交軸于點(diǎn)，則的取值范圍是（ ） A． B． C. D． 【答案】B 【解析】 試題分析：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，，，則，故排除A；當(dāng)時(shí)，直線為，直線為，，設(shè)，聯(lián)立得，化簡(jiǎn)得，由韋達(dá)定理得，故，，故，故排除C，D，故選B. 考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合. 29. 若拋物線上一點(diǎn)到它的焦點(diǎn)的距離為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì). 30. 已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線左支上有一點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離為18，為中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則等于（ ） A． B．1 C. 2 D．4 【答案】D 【解析】 試題分析:由雙曲線的定義可得,即,則；又的中點(diǎn)為,故由三角形的中位線定理可得,應(yīng)選D. 考點(diǎn)：雙曲線的定義與幾何性質(zhì)的綜合運(yùn)用. 31. 橢圓的短軸長(zhǎng)為，則= ． 【答案】 【解析】 試題分析:由已知可得,由于,故由題設(shè),解之可得,故應(yīng)填答案. 考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)及運(yùn)用． 32. 已知矩形中，,若橢圓的焦點(diǎn)是的中點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上，則該橢圓的離心率為 ． 【答案】 【解析】 考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)及運(yùn)用． 33. 已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上，且，則的最小值是__________． 【答案】 【解析】 試題分析:如圖，可求，再求關(guān)于拋物線的準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)， 因此， 當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取到最小值． 即, 故應(yīng)填答案. 考點(diǎn)：拋物線的定義及幾何性質(zhì)的綜合運(yùn)用． 34. 拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)的連線交于第一象限的點(diǎn)，若在點(diǎn)處的切線平行于的一條漸近線，則（ ） A． B． C. D． 【答案】C 【解析】 考點(diǎn)：拋物線及雙曲線的幾何性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用. 35. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)，是直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，若，則直線的方程為 ． 【答案】或 【解析】 試題分析:由題意可得,設(shè),則,由可得,解之得代入可得或,故或,故直線的方程為或.故應(yīng)填答案或. 考點(diǎn)：拋物線的定義及向量的坐標(biāo)形式的運(yùn)算． 36. 已知兩定點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)，橢圓以為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則橢圓的離心率的最大值為（ ） A． B． C. D． 【答案】A 【解析】 考點(diǎn)：1、橢圓的離心率；2、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱. 37. 已知橢圓，點(diǎn)分別為橢圓的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率是（ ） A． B． C. D． 【答案】A 【解析】 試題分析：由已知可得 ，故選A. 考點(diǎn)：橢圓及其性質(zhì). 38. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，分別為的左、右頂點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且軸，過(guò)點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若直線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，則的離心率為（ ） A． B． C. D． 【答案】 A 【解析】 考點(diǎn)：1、橢圓及其性質(zhì)；2、直線與橢圓. 39. 橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，過(guò)中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為（ ） A． B． C. D． 【答案】C 【解析】 試題分析：設(shè)中點(diǎn) ，故選C. 考點(diǎn)：直線與橢圓. 40. 設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，則的值為（ ） A． B． C. D． 【答案】D 【解析】 考點(diǎn)：直線與橢圓. 41. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)且與軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為（ ） A． B． C. D． 【答案】A 【解析】 試題分析：設(shè)，由已知可得 ，故選A. 考點(diǎn)：1、橢圓及其性質(zhì)；2、直線與橢圓.