高考數(shù)學大二輪專題復習 第二編 專題整合突破 專題三 三角函數(shù)與解三角形 第二講 三角恒等變換與解三角形適考素能特訓 理
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專題三 三角函數(shù)與解三角形 第二講 三角恒等變換與解三角形適考素能特訓 理 一、選擇題 1．[2016合肥質檢]sin18sin78－cos162cos78＝( ) A．－ B．－ C. D. 答案 D 解析 sin18sin78－cos162cos78＝sin18sin78＋cos18cos78＝cos(78－18)＝cos60＝，故選D. 2．[2016廣西質檢]已知<α<π，3sin2α＝2cosα，則cos(α－π)等于( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 由3sin2α＝2cosα得sinα＝.因為<α<π，所以cos(α－π)＝－cosα＝ ＝. 3．[2016鄭州質檢]在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若＝，則cosB＝( ) A．－ B. C．－ D. 答案 B 解析 由正弦定理知＝＝1，即tanB＝，所以B＝，所以cosB＝cos＝，故選B. 4．[2016武漢調研]據(jù)氣象部門預報，在距離某碼頭正西方向400 km處的熱帶風暴中心正以20 km/h的速度向東北方向移動，距風暴中心300 km以內的地區(qū)為危險區(qū)，則該碼頭處于危險區(qū)內的時間為( ) A．9 h B．10 h C．11 h D．12 h 答案 B 解析 記碼頭為點O，熱帶風暴中心的位置為點A，t小時后熱帶風暴到達B點位置，在△OAB中，OA＝400，AB＝20t，∠OAB＝45，根據(jù)余弦定理得4002＋400t2－220t400≤3002，即t2－20t＋175≤0，解得10－5≤t≤10＋5，所以所求時間為10＋5－10＋5＝10(h)，故選B. 5．[2016云南統(tǒng)測]已知△ABC的內角A、B、C對的邊分別為a、b、c，sinA＋sinB＝2sinC，b＝3，當內角C最大時，△ABC的面積等于( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 根據(jù)正弦定理及sinA＋sinB＝2sinC得a＋b＝2c，c＝，cosC＝＝＝＋－≥2－＝，當且僅當＝，即a＝時，等號成立，此時sinC＝，S△ABC＝absinC＝3＝. 6．[2016鄭州質量預測]在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，且c＝，C＝，則△ABC的面積是( ) A. B. C. D.或 答案 D 解析 sin(B＋A)＝sinBcosA＋cosBsinA，sin(B－A)＝sinBcosA－cosBsinA，sin2A＝2sinAcosA，sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，即2sinBcosA＝6sinAcosA.當cosA＝0時，A＝，B＝，又c＝，得b＝.由三角形面積公式知S＝bc＝；當cosA≠0時，由2sinBcosA＝6sinAcosA可得sinB＝3sinA，根據(jù)正弦定理可知b＝3a，再由余弦定理可知cosC＝＝＝cos＝，可得a＝1，b＝3，所以此時三角形的面積為S＝absinC＝.綜上可得三角形的面積為或，所以選D. 二、填空題 7．已知tanα，tanβ是lg (6x2－5x＋2)＝0的兩個實根，則tan(α＋β)＝________. 答案 1 解析 lg (6x2－5x＋2)＝0?6x2－5x＋1＝0，∴tanα＋tanβ＝，tanαtanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝＝1. 8．[2016貴陽監(jiān)測]在△ABC中，內角A、B、C所對邊分別是a、b、c，若sin2＝，則△ABC的形狀一定是________． 答案 直角三角形 解析 由題意，得＝，即cosB＝，又由余弦定理，得＝，整理，得a2＋b2＝c2，所以△ABC為直角三角形． 9．[2016西安質檢]已知△ABC的三邊a，b，c所對的角分別為A，B，C，且a∶b∶c＝7∶5∶3，若△ABC的面積為45，則△ABC外接圓的半徑為________． 答案 14 解析 因為a∶b∶c＝7∶5∶3，所以可設a＝7k，b＝5k，c＝3k(k>0)，由余弦定理得，cosA＝＝＝－.因為A是△ABC的內角，所以sinA＝ ＝，因為△ABC的面積為45，所以bcsinA＝45，即5k3k＝45，解得k＝2.由正弦定理＝2R(R為△ABC外接圓的半徑)，即2R＝＝，解得R＝14，所以△ABC外接圓半徑為14. 三、解答題 10．[2016重慶測試]在銳角△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cos2＋sin2A＝1. (1)求A； (2)設a＝2－2，△ABC的面積為2，求b＋c的值． 解 (1)由2cos2＋sin2A＝1可得，2＋2sinAcosA＝1， 所以1＋cos(π－A)＋2sinAcosA＝1，故2sinAcosA－cosA＝0. 因為△ABC為銳角三角形，所以cosA≠0，故sinA＝， 從而A＝. (2)因為△ABC的面積為bcsinA＝bc＝2，所以bc＝8. 因為A＝，故cosA＝，由余弦定理可知，b2＋c2－a2＝2bccosA＝bc. 又a＝2－2，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝(2＋)bc＋a2＝8(2＋)＋(2－2)2＝32. 故b＋c＝＝4. 11．[2016武漢調研]在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos2B＋cosB＝1－cosAcosC. (1)求證：a，b，c成等比數(shù)列； (2)若b＝2，求△ABC的面積的最大值． 解 (1)證明：在△ABC中，cosB＝－cos(A＋C)． 由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cosAcosC， ∴－sin2B－(cosAcosC－sinAsinC)＝－cosAcosC， 化簡，得sin2B＝sinAsinC.由正弦定理，得b2＝ac， ∴a，b，c成等比數(shù)列． (2)由(1)及題設條件，得ac＝4. 則cosB＝＝≥＝， 當且僅當a＝c時，等號成立． ∵0
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