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專題1.1 集合 【三年高考】 1.【2016高考新課標(biāo)1理數(shù)】設(shè)集合 ,,則 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 2．【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)集合，Z為整數(shù)集，則中元素的個數(shù)是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】由題意，，故其中的元素個數(shù)為5，選C. 3．【2016高考浙江理數(shù)】已知集合 則（ ） A．[2,3] B．( -2,3 ] C．[1,2) D． 【答案】B 【解析】根據(jù)補集的運算得．故選B． 4．【2016高考山東理數(shù)】設(shè)集合 則=（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】，，則，選C. 5．【2016高考天津理數(shù)】已知集合則=（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】選D. 6.【2015高考陜西，理1】設(shè)集合，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 7.【2015高考重慶，理1】已知集合A=,B=，則（　　） A、A=B B、AB= C、AB D、BA 【答案】D 【解析】由于，故A、B、C均錯，D是正確的，選D. 8.【2015高考福建，理1】若集合 （ 是虛數(shù)單位）， ，則 等于 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得，故，故選C． 9.【2015高考江蘇，1】已知集合，，則集合中元素的個數(shù)為_______. 【答案】5 【解析】,，則集合中元素的個數(shù)為5個. 10.【2014山東高考理第2題】設(shè)集合,則( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】由已知所以,選. 11.【2014四川高考理第1題】已知集合,集合為整數(shù)集,則( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】,選A. 12.【2014浙江高考理第1題】設(shè)全集,集合,則( ) A. B. C. D. 【答案】B 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題,集合仍是每年高考考試的重點, 主要以考查概念和計算為主，考查兩個集合的交集、并集、補集運算；從考查形式上看，題型一般是選擇題和填空題,占5分,常聯(lián)系不等式的解集與不等關(guān)系，試題難度較低，一般出現(xiàn)在前三道題中，?？疾閿?shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法,而集合的運算是高考考試的重點，且集合在歷年的高考中考查的形式與內(nèi)容幾乎沒有變化. 【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測】 由前三年的高考命題形式,在2017年的高考備考中同學(xué)們只需要穩(wěn)扎穩(wěn)打,加強常規(guī)題型的練習(xí),關(guān)于集合2017高考備考主要有以下幾點建議: 1.涉及本單元知識點的高考題,綜合性大題不多.所以在復(fù)習(xí)中不宜做過多過高的要求,只要靈活掌握小型綜合題型(如集合與映射,集合與自然數(shù)集,集合與不等式,集合與方程等,充分條件與必要條件與三角、立幾、解幾中的知識點的結(jié)合等) ；2.重視“數(shù)形結(jié)合”滲透.“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微”.當(dāng)你所研究的問題較為抽象時,當(dāng)你的思維陷入困境時,當(dāng)你對雜亂無章的條件感到頭緒混亂時,一個很好的建議便是：畫個圖,如集合中的韋恩圖!利用圖形的直觀性,可迅速地破解問題,乃至最終解決問；3.強化“分類思想”應(yīng)用.注意空集的特殊性,在解題中,若未能指明集合非空時,要考慮到空集的可能性,如AB,則有A=或A≠兩種可能,此時應(yīng)分類討論；4.集合作為一種數(shù)學(xué)工具,在函數(shù)、方程、不等式、排列組合及曲線與方程等方面都有廣泛的運用,高考題中常以上面內(nèi)容為載體,以集合的語言為表現(xiàn)形式,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)能力,題型常以解答題的形式出現(xiàn). 學(xué)法指導(dǎo): 1.活用“定義法”解題，重視“數(shù)形結(jié)合”:涉及本單元知識點的高考題，綜合性大題不多，所以在復(fù)習(xí)中不宜做過多過高的要求，只要靈活掌握小型綜合題型就可以了. 定義是一切法則和性質(zhì)的基礎(chǔ)，是解題的基本出發(fā)點，注意方法的選擇,抽象到直觀的轉(zhuǎn)化. 2．有意識地在各模塊復(fù)習(xí)中滲透數(shù)學(xué)思維方法:數(shù)學(xué)是理性思維的學(xué)科，高考尤其強調(diào)“全卷要貫穿思維能力的考查”簡易邏輯用于可以和各章融合命題,正是這一理性思維的體現(xiàn)，學(xué)生只有在思維能力上有所提高才能讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有一個質(zhì)的飛躍。但思維的培養(yǎng)不是一朝一夕的，因此，在第一輪各模塊的復(fù)習(xí)中應(yīng)盡量加強學(xué)生思維能力方面的培養(yǎng). 3．夯實基礎(chǔ)的同時加大信息量:夯實雙基是提高數(shù)學(xué)能力的必要條件，只有對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)規(guī)律、性質(zhì)有一定的了解才談得上思維能力的開拓，因此必須注重數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)習(xí).同時，對于有能力的學(xué)生，加大信息量，在教材之外，適當(dāng)?shù)陌岩恍?shù)學(xué)思想，以及與高中數(shù)學(xué)相關(guān)的部分高等數(shù)學(xué)內(nèi)容和思想方法進行適當(dāng)?shù)臐B透，都有助其解決問題. 預(yù)測2017年高考仍是考查集合的運算為主，可能與不等式(一元二次不等式,指數(shù)不等式,對數(shù)不等式)結(jié)合，考查集合的交,并與補集，有可能考察集合的元素(如子集元素個數(shù))問題等． 【2017年高考考點定位】 高考對集合的考查有兩種主要形式：一是直接考查集合的概念；二是以集合為工具考查集合語言和集合思想的運用.從涉及的知識上講,常與映射、函數(shù)、方程、不等式等知識相聯(lián)系,小題目綜合化是這部分內(nèi)容的一種趨勢. 【考點1】集合的概念 【備考知識梳理】 1．集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個總體，這個總體就叫集合，其中每一個對象叫元素. 2．集合中元素的三個特性： 確定性、互異性、無序性． 3．集合中元素與集合的關(guān)系：元素與集合之間的關(guān)系有屬于和不屬于兩種,表示符號為 “”或“”． 4．集合的表示常見的有四種方法． （1）自然語言描述法，（2）列舉法，（3）描述法，（4）Venn圖法. 5．常見的特殊集合：（1）非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）N（包括零）（2）正整數(shù)集N*或 (3)整數(shù)集Z (包括負(fù)整數(shù)、零和正整數(shù)) （4）有理數(shù)集 (5)實數(shù)集R 6．集合的分類： ①按元素個數(shù)分：有限集,無限集； ②按元素特征分；數(shù)集,點集. ③空集 ：不含任何元素的集合 【規(guī)律方法技巧】 1.集合運算的互異性應(yīng)用規(guī)律:凡是出現(xiàn)含參數(shù)的集合,必須首先考慮集合的互異性,即集合中元素不相等,例如集合,則有. 2.理清兩類關(guān)系,不要混淆：(1)元素與集合的關(guān)系,用或表示 (2)集合與集合的關(guān)系,用,,=表示 3.注意集合中元素的本質(zhì): 集合中的元素是數(shù),而中的元素是拋物線上點的坐標(biāo). 4.韋恩圖的作用:掌握集合間的關(guān)系和集合運算的韋恩圖表示,并會利用韋恩圖解決與集合間的關(guān)系和集合運算相關(guān)的問題. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【2016江西師大附中、鷹潭一中聯(lián)考】設(shè)集合，，則中元素的個數(shù)是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 2. 【2016屆邯鄲市一中高三十研】已知集合，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【考點2】集合間的關(guān)系 【備考知識梳理】 描述關(guān)系 文字語言 符號語言 集合間的基本關(guān)系 相等 集合與集合中的所有元素都相同 子集 中任意一元素均為中的元素 真子集 中任意一元素均為中的元素,且中至少有一個元素中沒有 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 【規(guī)律方法技巧】 1.注意子集與相等之間的關(guān)系:且. 2. 判斷兩集合的關(guān)系常用兩種方法：一是化簡集合，從表達式中尋找兩集合間的關(guān)系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系． 3.注意空集的特殊性:空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解題時,若未明確說明集合非空時,要考慮到集合為空集的可能性.例如：,則需考慮和兩種可能的情況. 4．已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，解決這類問題常常運用數(shù)軸、Venn圖幫助分析． 5.子集個數(shù)的運算方法:若集合有個元素,則集合的子集有個,真子集有個,非空真子集有個. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【河南八市2016年4月高三質(zhì)檢卷】已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍為 . 【答案】 【解析】由題. 2. 【2016年河北省唐山市高三一?！吭O(shè)A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，則滿足AB的B的個數(shù)是（ ） (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 【答案】B 【考點3】集合運算 【備考知識梳理】 集合的并集 集合的交集 集合的補集 符號表示 A∪B A∩B 若全集為U,則集合A的補集為?UA 文字語言 一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合叫做A、B的交集． 記作A∩B(讀作”A交B”)． 一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A、B的并集.記作：A∪B(讀作”A并B”)． 設(shè)是一個集合，A是的一個子集，由中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做中子集A的補集. 圖形表示 意義 {x|x∈A,或x∈B} {x|x∈A,且x∈B} 性質(zhì) ， ， . ，，． ，，． 注:全集：如果集合含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集.通常用U來表示． 重要結(jié)論:, , , ． 【規(guī)律方法技巧】 1. 集合的基本運算包括集合間的交、并、補集運算，解決此類運算問題一般應(yīng)注意以下幾點：一是看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決運算問題的前提．二是對集合化簡．有些集合是可以化簡的，如果先化簡再研究其關(guān)系并進行運算，可使問題變得簡單明了，易于解決．三是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．集合運算常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖． 2.子集關(guān)系與交并補運算的關(guān)系:①,②. 3.熟記交并補的運算法則:如A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB), CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)等. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【2016年湖北八校第二次聯(lián)考】已知集合，則( ) A． B． C． D． 【答案】C 2. 【河南商丘市高2016年高三三模】已知全集，集合，，則集合可以表示為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】,,,,故選C． 考點4集合中的創(chuàng)新問題 【備考知識梳理】 【規(guī)律方法】與集合有關(guān)的新概念問題屬于信息遷移類問題，它是化歸思想的具體運用，集合的新定義問題的解決方法是： ①遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì). ②按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決. ③對于選擇題，可以結(jié)合選項通過驗證，用排除、對比、特值等方法求解. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 對于任意兩個正整數(shù),定義某種運算“※”如下:當(dāng)都為正偶數(shù)或正奇數(shù) 時,※=;當(dāng)中一個為正偶數(shù),另一個為正奇數(shù)時,※=.則在此定義下,集合※中的元素個數(shù)是（ ） A.個 B.個 C.個 D.個 【答案】B. 【解析】因為，，，，，，，， ，集合中的元素是有序數(shù)對，所以集合中的元素共有個，故選B. 2. 【2016年廣東揭陽一?！糠强諗?shù)集如果滿足：①；②若對有，則稱是“互倒集”.給出以下數(shù) 集： ①； ②； ③； ④.其中“互倒集”的個數(shù)是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【應(yīng)試技巧點撥】 1.分析集合關(guān)系時，弄清集合由哪些元素組成，這就需要我們把抽象的問題具體化、形象化，也就是善于對集合的三種語言(文字、符號、圖形)進行相互轉(zhuǎn)化，同時還要善于將多個參數(shù)表示的符號描述法的集合化到最簡形式．此類問題通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗證端點值，做到準(zhǔn)確無誤，還應(yīng)注意“空集”這一“陷阱”，尤其是集合中含有字母參數(shù)時．因此分類討論思想是必須的．判斷兩集合的關(guān)系常用兩種方法：一是化簡集合，從表達式中尋找兩集合間的關(guān)系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系． 2.求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸，進而用集合語言表示，增強運用數(shù)形結(jié)合思想方法的意識．要善于運用數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法來解決集合的問題．要注意若，則，，這五個關(guān)系式的等價性．已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，解決這類問題常常運用數(shù)軸、Venn圖幫助分析． 二年模擬 1. 【2016河北石家莊質(zhì)檢二，理1】設(shè)集合，，則下列結(jié)論正確的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，所以，，，故選C. 2. 【2016安徽江南十校聯(lián)考，理1】已知集合，，則中的元素個數(shù)為 (A) (B) (C) (D) 【答案】B 3. 【江西省南昌市高三一模測試】已知集合A={x|y=），B= {x| y=ln（1-x）}，則AB= (A) [0,1] (B) [0,1) (C) (一∞,1] (D) (一∞,1) 【答案】C 【解析】，，；故選C． 4. 【湖北2016年9月三校聯(lián)考】已知集合則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解不等式可得，求函數(shù)值域可得，由集合運算可知，故本題的正確選項為B. 5. 【2016年山西高三考前質(zhì)量檢測】設(shè)，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故，. 6. 【2016屆榆林市高考模擬二測】集合 ，若，則這樣的實數(shù)的個數(shù)為（ ） A．1個 B．2個 C．4個 D．3個 【答案】D 7. 【 2016屆襄陽五中宜昌一中龍泉中學(xué)高三聯(lián)考】已知集合，，若，則（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】因為，有集合的運算及關(guān)系可知,則有有集合中元素的互異性可知，或者，故本題的正確選項為B. 8. 【湖南省長沙市長郡中學(xué)2016屆高三下學(xué)期第六次月考】已知集合，，若，，則 . 【答案】-5 【解析】，若，，由，，所以，∴是方程的兩根，由根與系數(shù)關(guān)系得：． 9. 【2016年榆林二?！恳阎?，則 . 【答案】 10. 【2016屆廣東4月聯(lián)考】 設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集．若對任意，都有， 則稱S為封閉集。下列命題：①集合S＝{a＋bi|（為整數(shù)，為虛數(shù)單位）}為封閉集； ②若S為封閉集，則一定有； ③封閉集一定是無限集； ④若S為封閉集，則滿足的任意集合也是封閉集． 上面命題中真命題共有哪些？（ ） A．① B．①② C．①②③ D．①②④ 【答案】B 11. 【2015屆湖北省七市高三4月聯(lián)考】集合，，則（ ） A． B． C． D．[0，1] 【答案】D 【解析】由知集合M=[-1，1]；再由知集合B=[0，2]；所以[0，1].故選D. 12. 【2015屆廣東省汕頭市潮南區(qū)高三5月高考模擬】已知集合，,且,則（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 13.【2015屆山東省文登市高三第二次模擬考試】已知集合，，則 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】, ,,. 14. 【2015屆廣東省深圳市高三第二次調(diào)研】設(shè)是直角坐標(biāo)平面上的任意點集，定義．若，則稱點集“關(guān)于運算*對稱”．給定點集，，，其中“關(guān)于運算 * 對稱”的點集個數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】將帶入，化簡得，顯然不行，故集合A不滿足關(guān)于運算對稱，將帶入，即，整理得，顯然不行，故集合B不滿足關(guān)于運算對稱，將帶入，即，化簡得，故集合C滿足關(guān)于運算對稱，故只有一個集合滿足關(guān)于運算對稱，故選B. 15. 【2015屆浙江省高三第二次考試五校聯(lián)考】，若表示集合中元素的個數(shù)，則 ，則 ． 【答案】11；682． 【解析】當(dāng)時，，，即，， 由于不能整除3，從到，，3的倍數(shù)，共有682個，. 拓展試題以及解析 1. 設(shè)集合，，則等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【入選理由】此題綜合考查了簡單分式不等式解法、函數(shù)的值域、集合的交集補集運算,是一道比較綜合的集合題,比較典型，且近幾年高考題都是與不等式有關(guān)，故押此題. 2. 已知全集為，且集合，，則等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意知，或，∴，∴ . 【入選理由】此題綜合考查了交集,補集和定義域,分式不等式的解法,是一道比較綜合的集合題,比較典型,是高考比較青睞的一種類型，體現(xiàn)小題綜合化，故押此題. 3. 設(shè)集合，則集合的子集個數(shù)為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，共有4個元素，故集合的子集個數(shù)為，故答案為C. 【入選理由】此題不僅考查了對集合的理解與集合的子集，意在考查學(xué)生的理解能力與基本運算能力，此題難度不大，子集在高考中出現(xiàn)不多，已連續(xù)幾年沒出，估計下年或許會涉及，故選此題. 4. 已知全集，且則等于（ ） A． B． C．　D． 【答案】C. 【入選理由】此題綜合考查了交集,補集和定義域,絕對值不等式的解法,是一道比較綜合的集合題,是高考比較青睞的一種類型，故押此題. 5. 已知，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】方法一（直接法）由已知可得.所以.所以選C. 解法二（排除法）若，則，故由可得，故不合題意，故可排除B、D兩項；若，則，故由可得，故可排除A，所以選C. 【入選理由】此題綜合考查了集合的定義，元素與集合的關(guān)系,對數(shù)運算及集合的基本運算,比較典型,體現(xiàn)小題綜合化，故押此題. 6.已知集合，,則= A. B. C.{-1,2,3} D.{-1,1,2,3} 【答案】C 【入選理由】此題綜合考查了交集,補集和定義域, 三角函數(shù)的值域，是一道比較綜合的集合題,比較典型,故押此題. 7. 已知集合，則集合中所有元素之和為 . 【答案】． 【解析】因,故所有元素之和為. 【入選理由】此題考查了集合的交集,并集的概念,出題形式新，有創(chuàng)意，故押此題. 8. 已知集合，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】當(dāng)時，，所以，故選C． 【入選理由】此題綜合考查了交集, 函數(shù)的值域，意在考查學(xué)生的計算能力，故押此題.