《高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題一 集合與常用邏輯用語、不等式 第2講 不等式與線性規(guī)劃練習(xí) 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題一 集合與常用邏輯用語、不等式 第2講 不等式與線性規(guī)劃練習(xí) 理（14頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第2講 不等式與線性規(guī)劃
1．(2016浙江)已知實(shí)數(shù)a，b，c，( )
A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，則a2＋b2＋c2＜100
B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，則a2＋b2＋c2＜100
C．若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，則a2＋b2＋c2＜100
D．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，則a2＋b2＋c2＜100
答案 D
解析 由于此題為選擇題，可用特值排除法找正確選項(xiàng)．
對(duì)選項(xiàng)A，當(dāng)a＝b＝10，c＝－110時(shí)，可排除此選項(xiàng)；
對(duì)選項(xiàng)B，當(dāng)a＝10，b＝－100，c＝0時(shí)，可排除此選項(xiàng)；
對(duì)選項(xiàng)C，當(dāng)a＝10，b＝－10，c＝0時(shí)，可排除此選項(xiàng)．
故選D.
2．(2016課標(biāo)全國丙)若x，y滿足約束條件 則z＝x＋y的最大值為________．
答案
解析 滿足約束條件的可行域?yàn)橐訟(－2，－1)，B(0,1)，C為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部及邊界，如圖，過C時(shí)取得最大值.
3．(2016上海)設(shè)x∈R，則不等式|x－3|<1的解集為________．
答案 (2,4)
解析 －1
0，b>0，若關(guān)于x，y的方程組無解，則a＋b的取值范圍是________．
答案 (2，＋∞)
解析 由已知得，ab＝1，且a≠b，
∴a＋b>2＝2.
1.利用不等式性質(zhì)比較大小，利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問題是高考的熱點(diǎn)；
2.一元二次不等式常與函數(shù)、數(shù)列結(jié)合考查一元二次不等式的解法和參數(shù)取值范圍；
3.利用不等式解決實(shí)際問題.
熱點(diǎn)一 不等式的解法
1．一元二次不等式的解法
先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集．
2．簡單分式不等式的解法
(1)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3．指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式及抽象函數(shù)不等式，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解．
例1 (1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b (a，b∈R)的值域?yàn)閇0，＋∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)0的解集為( )
A．{x|x<－1或x>－lg 2}
B．{x|－1－lg 2}
D．{x|x<－lg 2}
答案 (1)9 (2)D
解析 (1)由值域?yàn)閇0，＋∞)，可知當(dāng)x2＋ax＋b＝0時(shí)有Δ＝a2－4b＝0，即b＝，
∴f(x)＝x2＋ax＋b＝x2＋ax＋＝2.
∴f(x)＝20)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a＝________.
(2)不等式2＜4的解集為________．
答案 (1) (2)(－1,2)
解析 (1)由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0，因?yàn)閍>0，所以不等式的解集為(－2a,4a)，即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，得4a－(－2a)＝15，解得a＝.
(2)∵2＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－10，y>0，xy＝p(定值)，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2(簡記為：積定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值s2(簡記為：和定，積有最大值)．
例2 (1)已知向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，若a⊥b，則2m＋4n的最小值為( )
A．2 B．2
C．4 D．8
(2)設(shè)實(shí)數(shù)m，n滿足m>0，n<0，且＋＝1，則4m＋n( )
A．有最小值9 B．有最大值9
C．有最大值1 D．有最小值1
答案 (1)C (2)C
解析 (1)因?yàn)橄蛄縜＝(m,2)，b＝(1，n－1)，a⊥b，
所以m＋2(n－1)＝0，即m＋2n＝2.
所以2m＋4n≥2＝2＝2＝4(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立)，
所以2m＋4n的最小值為4，故選C.
(2)因?yàn)椋?，
所以4m＋n＝(4m＋n)＝5＋＋，
又m>0，n<0，所以－－≥4，當(dāng)且僅當(dāng)n＝－2m時(shí)取等號(hào)，
故5＋＋≤5－4＝1，
當(dāng)且僅當(dāng)m＝，n＝－1時(shí)取等號(hào)，故選C.
思維升華 在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．
跟蹤演練2 (1)若正數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則＋的最大值為________．
(2)若圓(x－2)2＋(y－2)2＝9上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線ax＋by－2＝0(a>0，b>0)對(duì)稱，則＋的最小值為__________．
答案 (1) (2)16
解析 (1)∵正數(shù)a，b滿足a＋b＝1，
∴＋＝
＝
＝＝＝2－
≤2－＝2－＝，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號(hào)，
∴＋的最大值為.
(2)圓(x－2)2＋(y－2)2＝9的圓心坐標(biāo)為(2,2)，
由已知得直線ax＋by－2＝0必經(jīng)過圓心(2,2)，即a＋b＝1.
所以＋＝(＋)(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16(當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，b＝時(shí)等號(hào)成立)，所以＋的最小值為16.
熱點(diǎn)三 簡單的線性規(guī)劃問題
解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問題要驗(yàn)證解決．
例3 (1)已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則z＝x＋2y的最大值與最小值之和為( )
A．－2 B．14
C．－6 D．2
(2)若變量x，y滿足約束條件且目標(biāo)函數(shù)z＝－kx＋y當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
答案 (1)A (2)
解析 (1)根據(jù)x，y的約束條件畫出可行域，如圖陰影部分所示，其中A，B(6,0)，C(0,4)．
由z＝x＋2y可知，當(dāng)直線y＝－x＋過點(diǎn)A時(shí)，z取最小值，即zmin＝－＋2＝－10；當(dāng)直線y＝－x＋過點(diǎn)C時(shí)，z取最大值，即zmax＝0＋24＝8，∴zmin＋zmax＝－2.故選A.
(2)由題意知不等式組所表示的可行域?yàn)槿鐖D所示的△ABC及其內(nèi)部，其中A(3,1)，B(4,2)，C(1,2)．將目標(biāo)函數(shù)變形得y＝kx＋z，當(dāng)z取得最小值時(shí)，直線的縱截距最小．由于直線當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)(3,1)時(shí)縱截距最小，結(jié)合動(dòng)直線y＝kx＋z繞定點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)進(jìn)行分析，知－0，b>0，且a＋2b＝1，
所以ab＝a2b≤()2＝，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝，即a＝，b＝時(shí)，“＝”成立．
故選D.
2．在R上定義運(yùn)算：＝ad－bc，若不等式≥1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為( )
A．－ B．－ C. D.
押題依據(jù) 不等式的解法作為數(shù)學(xué)解題的一個(gè)基本工具，在高考中是必考內(nèi)容．往往與函數(shù)的單調(diào)性相結(jié)合，最后轉(zhuǎn)化成一元一次不等式或一元二次不等式．
答案 D
解析 由定義知，不等式≥1等價(jià)于x2－x－(a2－a－2)≥1，
∴x2－x＋1≥a2－a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
∵x2－x＋1＝(x－)2＋≥，
∴a2－a≤，解得－≤a≤，
則實(shí)數(shù)a的最大值為.
3．已知實(shí)數(shù)x，y滿足則z＝x＋2y的最小值為( )
A．2 B. C. D．5
押題依據(jù) 線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，利用線性規(guī)劃的方法求一些線性目標(biāo)函數(shù)的最值是近幾年高考的熱點(diǎn)．
答案 B
解析 由題意可得不等式組所表示的可行域?yàn)槿鐖D中陰影部分所示的四邊形ABCD及其內(nèi)部．
因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z＝x＋2y可化為y＝－＋，其表示過可行域上的點(diǎn)(x，y)，斜率為－且在y軸上的截距為的直線；由圖可知，當(dāng)z＝x＋2y過點(diǎn)D(，1)時(shí)，z取得最小值zmin＝＋2＝.故選B.
4．若不等式x2＋2x<＋對(duì)任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是( )
A．(－4,2)
B．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
D．(－2,0)
押題依據(jù) “恒成立”問題是函數(shù)和不等式交匯處的重要題型，可綜合考查不等式的性質(zhì)，函數(shù)的值域等知識(shí)，是高考的熱點(diǎn)．
答案 A
解析 不等式x2＋2x<＋對(duì)任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，
等價(jià)于不等式x2＋2xb，則下列不等式中恒成立的是( )
A．ln a>ln b B.<
C．a(chǎn)2>ab D．a(chǎn)2＋b2>2ab
答案 D
解析 只有當(dāng)a>b>0時(shí)A成立；只有當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)B成立；只有當(dāng)a>0時(shí)C成立；因?yàn)閍≠b，所以D恒成立，故選D.
2．若函數(shù)f(x)＝則“00時(shí)，由log3x≥1可得x≥3，
當(dāng)x≤0時(shí)，由()x≥1可得x≤0，
∴不等式f(x)≥1的解集為(－∞，0]∪[3，＋∞)．
7．要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是________元．
答案 160
解析 由題意知，體積V＝4 m3，高h(yuǎn)＝1 m，
所以底面積S＝4 m2，設(shè)底面矩形的一條邊長是x m，則另一條邊長是 m，又設(shè)總造價(jià)是y元，則y＝204＋10≥80＋20＝160，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝，即x＝2時(shí)取得等號(hào)．
8．已知x>0，y>0，若＋>m2＋2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
答案 (－4,2)
解析 由題意可得m2＋2m應(yīng)小于＋的最小值，所以由基本不等式可得＋≥2 ＝8，
所以m2＋2m<8?－40}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a>0}，D＝A∩B，求集合D.(用區(qū)間表示)
解 令g(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a，
其對(duì)稱軸方程為x＝(1＋a)，
Δ＝9(1＋a)2－48a＝9a2－30a＋9＝3(3a－1)(a－3)．
①當(dāng)00，g(0)＝6a>0，
方程g(x)＝0的兩個(gè)根分別為
00恒成立，
所以D＝A∩B＝(0，＋∞)．
綜上所述，當(dāng)0
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