《高考數學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題4 三角函數與平面向量 第17練 三角函數的圖象與性質 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題4 三角函數與平面向量 第17練 三角函數的圖象與性質 文（15頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

第17練　三角函數的圖象與性質 [題型分析高考展望]　三角函數的圖象與性質是高考中對三角函數部分考查的重點和熱點，主要包括三個大的方面：三角函數圖象的識別，三角函數的簡單性質以及三角函數圖象的平移、伸縮變換．考查題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度一般為低中檔，在二輪復習中應強化該部分的訓練，爭取對該類試題會做且不失分． 體驗高考 1．(2015湖南)將函數f(x)＝sin 2x的圖象向右平移φ個單位后得到函數g(x)的圖象，若對滿足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，則φ等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因為g(x)＝sin 2(x－φ)＝sin(2x－2φ)， 所以|f(x1)－g(x2)|＝|sin 2x1－sin(2x2－2φ)|＝2. 因為－1≤sin 2x1≤1，－1≤sin(2x2－2φ)≤1， 所以sin 2x1和sin(2x2－2φ)的值中，一個為1，另一個為－1，不妨取sin 2x1＝1，sin(2x2－2φ)＝－1， 則2x1＝2k1π＋，k1∈Z,2x2－2φ＝2k2π－，k2∈Z， 2x1－2x2＋2φ＝2(k1－k2)π＋π，(k1－k2)∈Z， 得|x1－x2|＝. 因為0<φ<，所以0<－φ<，故當k1－k2＝0時，|x1－x2|min＝－φ＝，則φ＝，故選D. 2．(2016四川)為了得到函數y＝sin的圖象，只需把函數y＝sin 2x的圖象上所有的點(　　) A．向左平行移動個單位長度 B．向右平行移動個單位長度 C．向左平行移動個單位長度 D．向右平行移動個單位長度 答案　D 解析　由題可知，y＝sin＝sin，則只需把y＝sin 2x的圖象向右平移個單位，選D. 3．(2016課標全國乙)已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－為f(x)的零點，x＝為y＝f(x)圖象的對稱軸，且f(x)在上單調，則ω的最大值為(　　) A．11 B．9 C．7 D．5 答案　B 解析　因為x＝－為f(x)的零點，x＝為f(x)的圖象的對稱軸，所以－＝＋kT，即＝T＝，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因為f(x)在上單調，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值為9，故選B. 4．(2015浙江)函數f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，單調遞減區(qū)間是________． 答案　π　，k∈Z 解析　f(x)＝＋sin 2x＋1 ＝sin＋，∴T＝＝π. 由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴單調遞減區(qū)間是，k∈Z. 5．(2016天津)已知函數f(x)＝4tan xsincos－. (1)求f(x)的定義域與最小正周期； (2)討論f(x)在區(qū)間上的單調性． 解　(1)f(x)的定義域為{x|x≠＋kπ，k∈Z}． f(x)＝4tanxcos xcos－ ＝4sin xcos－ ＝4sin x－ ＝2sin xcos x＋2sin2x－ ＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)令z＝2x－，則函數y＝2sin z的單調遞增區(qū)間是 ，k∈Z. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z. 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 設A＝， B＝{x|－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}， 易知A∩B＝. 所以，當x∈時，f(x)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減． 高考必會題型 題型一　三角函數的圖象 例1　(1)(2015課標全國Ⅰ)函數f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調遞減區(qū)間為(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z (2)(2016北京)將函數y＝sin圖象上的點P向左平移s(s＞0)個單位長度得到點P′.若P′位于函數y＝sin 2x的圖象上，則(　　) A．t＝，s的最小值為 B．t＝，s的最小值為 C．t＝，s的最小值為 D．t＝，s的最小值為 答案　(1)D　(2)A 解析　(1)由圖象知，周期T＝2＝2， ∴＝2，∴ω＝π. 由π＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝， ∴f(x)＝cos. 由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z， 得2k－0，|φ|<)的最小正周期是π，且f(0)＝，則(　　) A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝ (2)已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜，ω＞0)的圖象的一部分如圖所示，則該函數的解析式為______________． 答案　(1)D　(2)f(x)＝2sin 解析　(1)∵f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期為π，∴T＝＝π，ω＝2. ∵f(0)＝2sin φ＝， 即sin φ＝(|φ|<)，∴φ＝. (2)觀察圖象可知：A＝2且點(0,1)在圖象上， ∴1＝2sin(ω0＋φ)，即sin φ＝. ∵|φ|＜，∴φ＝. 又∵π是函數的一個零點，且是圖象遞增穿過x軸形成的零點， ∴ω＋＝2π，∴ω＝2. ∴f(x)＝2sin. 題型二　三角函數的簡單性質 例2　(2015重慶)已知函數f(x)＝sinsin x－cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)討論f(x)在上的單調性． 解　(1)f(x)＝sinsin x－cos2x ＝cos xsin x－(1＋cos 2x) ＝sin 2x－(1＋cos 2x) ＝sin 2x－cos 2x－ ＝sin－， 因此f(x)的最小正周期為π，最大值為. (2)當x∈時，0≤2x－≤π，從而 當0≤2x－≤，即≤x≤時，f(x)單調遞增， 當≤2x－≤π，即≤x≤時，f(x)單調遞減． 綜上可知，f(x)在上單調遞增；在上單調遞減． 點評　解決此類問題首先將已知函數式化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式，再將ωx＋φ看成θ，利用y＝sin θ(或y＝cos θ)的單調性、對稱性等性質解決相關問題． 變式訓練2　(2016北京)已知函數f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω＞0)的最小正周期為π. (1)求ω的值； (2)求f(x)的單調遞增區(qū)間． 解　(1)f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx ＝sin 2ωx＋cos 2ωx ＝ ＝sin， 由ω＞0，f(x)最小正周期為π，得＝π，解得ω＝1. (2)由(1)得f(x)＝sin， 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 即f(x)的單調遞增區(qū)間為，k∈Z. 題型三　三角函數圖象的變換 例3　(2015湖北)某同學用“五點法”畫函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表： ωx＋φ 0 π 2π x Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0 (1) 請將上表數據補充完整，并直接寫出函數f(x)的解析式； (2) 將y＝f(x)圖象上所有點向左平行移動θ(θ>0)個單位長度，得到y(tǒng)＝g(x)的圖象．若y＝g(x)圖象的一個對稱中心為，求θ的最小值． 解　(1)根據表中已知數據，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.數據補全如下表： ωx＋φ 0 π 2π x Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0 且函數表達式為f(x)＝5sin. (2)由(1)知f(x)＝5sin， 得g(x)＝5sin. 因為函數y＝sin x的圖象的對稱中心為(kπ，0)，k∈Z. 令2x＋2θ－＝kπ， 解得x＝＋－θ，k∈Z. 由于函數y＝g(x)的圖象關于點成中心對稱， 令＋－θ＝， 解得θ＝－，k∈Z， 由θ>0可知，當k＝1時，θ取得最小值. 點評　對于三角函數圖象變換問題，平移變換規(guī)則是“左加右減，上加下減”，并且在變換過程中只變換其中的自變量x，要把這個系數提取后再確定變換的單位和方向．當兩個函數的名稱不同時，首先要將函數名稱統(tǒng)一，其次把ωx＋φ寫成ω(x＋)，最后確定平移的單位和方向．伸縮變換時注意敘述為“變?yōu)樵瓉淼摹边@個字眼，變換的倍數要根據橫向和縱向加以區(qū)分． 變式訓練3　已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n), 函數f(x)＝ab，且y＝f(x)的圖象過點(，)和點(，－2)． (1)求m，n的值； (2)將y＝f(x)的圖象向左平移φ(0<φ<π)個單位后得到函數y＝g(x)的圖象，若y＝g(x)圖象上各最高點到點(0,3)的距離的最小值為1，求y＝g(x)的單調遞增區(qū)間． 解　(1)由題意知f(x)＝ab＝msin 2x＋ncos 2x. 因為y＝f(x)的圖象過點(，)和點(，－2)， 所以 即 解得 (2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)． 由題意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin(2x＋2φ＋)． 設y＝g(x)的圖象上符合題意的最高點為(x0,2)， 由題意知，x＋1＝1，所以x0＝0， 即y＝g(x)圖象上到點(0,3)的距離為1的最高點為(0,2)． 將其代入y＝g(x)得sin(2φ＋)＝1， 因為0<φ<π， 所以φ＝， 所以g(x)＝2sin(2x＋)＝2cos 2x. 由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ，k∈Z， 所以函數y＝g(x)的單調遞增區(qū)間為[kπ－，kπ]，k∈Z. 高考題型精練 1．(2015四川)下列函數中，最小正周期為π且圖象關于原點對稱的函數是(　　) A．y＝cos B．y＝sin C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x 答案　A 解析　y＝cos＝－sin 2x，最小正周期T＝＝π，且為奇函數，其圖象關于原點對稱，故A正確； y＝sin＝cos 2x，最小正周期為π，且為偶函數，其圖象關于y軸對稱，故B不正確； C，D均為非奇非偶函數，其圖象不關于原點對稱，故C，D不正確． 2．(2016課標全國甲)若將函數y＝2sin 2x的圖象向左平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為(　　) A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z) C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z) 答案　B 解析　由題意，將函數y＝2sin 2x的圖象向左平移個單位長度后得到函數的解析式為y＝2sin，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)得函數的對稱軸為x＝＋(k∈Z)，故選B. 3．已知函數f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分圖象如圖所示，則f()等于(　　) A．－ B．－1 C. D．1 答案　C 解析　由圖象知，T＝＝2(－)＝，ω＝2. 由2＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－，k∈Z. 又∵|φ|＜，∴φ＝. 由Atan(20＋)＝1， 知A＝1，∴f(x)＝tan(2x＋)， ∴f()＝tan(2＋)＝tan＝. 4．先把函數f(x)＝sin的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?縱坐標不變)，再把新得到的圖象向右平移個單位，得到y(tǒng)＝g(x)的圖象，當x∈時，函數g(x)的值域為(　　) A. B. C. D．[－1,0) 答案　A 解析　依題意得g(x)＝sin ＝sin， 當x∈時，2x－∈， sin∈， 此時g(x)的值域是，故選A. 5．將函數f(x)＝－4sin的圖象向右平移φ個單位，再將圖象上每一點的橫坐標縮短到原來的倍，所得圖象關于直線x＝對稱，則φ的最小正值為(　　) A. B.π C.π D. 答案　B 解析　依題意可得y＝f(x) ?y＝－4sin[2(x－φ)＋]＝－4sin[2x－(2φ－)] ?y＝g(x)＝－4sin[4x－(2φ－)]， 因為所得圖象關于直線x＝對稱， 所以g＝4，得φ＝π＋π(k∈Z)，故選B. 6.函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A＞0，|φ|＜的圖象如圖所示，為了得到g(x)＝sin 2x的圖象，則只需將f(x)的圖象(　　) A．向右平移個長度單位 B．向左平移個長度單位 C．向右平移個長度單位 D．向左平移個長度單位 答案　A 解析　由已知中函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象過點和點，易得：A＝1，T＝4＝π，即ω＝2，即f(x)＝sin(2x＋φ)，將點代入可得，＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又因為|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin.設將函數f(x)的圖象向左平移a個單位得到函數g(x)＝sin 2x的圖象，則2(x＋a)＋＝2x，解得a＝－.所以將函數f(x)的圖象向右平移個單位得到函數g(x)＝sin 2x的圖象，故應選A. 7．(2016課標全國丙)函數y＝sin x－cos x的圖象可由函數y＝sin x＋cos x的圖象至少向右平移____個單位長度得到． 答案　 解析　y＝sin x－cos x＝2sin，y＝sin x＋cos x＝2sin，因此至少向右平移個單位長度得到． 8．(2015湖北)函數f(x)＝4cos2cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零點個數為________． 答案　2 解析　f(x)＝4cos2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，令f(x)＝0，得sin 2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐標系中作出函數y＝sin 2x與函數y＝|ln(x＋1)|的大致圖象如圖所示． 觀察圖象可知，兩函數圖象有2個交點，故函數f(x)有2個零點． 9．已知函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)，對于任意x都有f＝f，則f＝________. 答案　2 解析　∵f＝f，∴x＝是函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一條對稱軸．∴f＝2. 10．把函數y＝sin 2x的圖象沿x軸向左平移個單位，縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)后得到函數y＝f(x)的圖象，對于函數y＝f(x)有以下四個判斷： ①該函數的解析式為y＝2sin； ②該函數圖象關于點對稱； ③該函數在上是增函數； ④若函數y＝f(x)＋a在上的最小值為， 則a＝2. 其中，正確判斷的序號是________． 答案?、冖? 解析　將函數y＝sin 2x的圖象向左平移個單位得到y(tǒng)＝sin 2＝sin的圖象，然后縱坐標伸長到原來的2倍得到y(tǒng)＝2sin的圖象，所以①不正確；y＝f＝2sin＝2sin π＝0，所以函數圖象關于點對稱，所以②正確；由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函數的單調增區(qū)間為，k∈Z，當k＝0時，增區(qū)間為，所以③不正確；y＝f(x)＋a＝2sin＋a，當0≤x≤時，≤2x＋≤，所以當2x＋＝，即x＝時，函數取得最小值，ymin＝2sin ＋a＝－＋a＝，所以a＝2，所以④正確．所以正確的判斷為②④. 11．(2015天津)已知函數f(x)＝sin2x－sin2，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． 解　(1)由已知， 有f(x)＝－ ＝－cos 2x ＝sin 2x－cos 2x＝sin. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因為f(x)在區(qū)間上是減函數，在區(qū)間上是增函數，f＝－， f＝－，f＝， 所以f(x)在區(qū)間上的最大值為，最小值為－. 12．(2016山東)設f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2. (1)求f(x)的單調遞增區(qū)間； (2)把y＝f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再把得到的圖象向左平移個單位，得到函數y＝g(x)的圖象，求g的值． 解　(1)由f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2 ＝2sin2x－(1－2sin xcos x) ＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1 ＝sin 2x－cos 2x＋－1 ＝2sin＋－1. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． 所以f(x)的單調遞增區(qū)間是(k∈Z). (2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1， 把y＝f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)， 得到y(tǒng)＝2sin＋－1的圖象， 再把得到的圖象向左平移個單位， 得到y(tǒng)＝2sin x＋－1的圖象， 即g(x)＝2sin x＋－1. 所以g＝2sin ＋－1＝.