《高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第28練 橢圓問(wèn)題中最值得關(guān)注的基本題型 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第28練 橢圓問(wèn)題中最值得關(guān)注的基本題型 文（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第28練　橢圓問(wèn)題中最值得關(guān)注的基本題型 [題型分析高考展望]　橢圓問(wèn)題在高考中占有比較重要的地位，并且占的分值也較多．分析歷年的高考試題，在選擇題、填空題、解答題中都有涉及到橢圓的題，所以我們對(duì)橢圓知識(shí)必須系統(tǒng)的掌握．對(duì)各種題型，基本的解題方法也要有一定的了解． 體驗(yàn)高考 1．(2015廣東)已知橢圓＋＝1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(－4,0)，則m等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．9 答案　B 解析　由題意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3. 2．(2015福建)已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＋|BF|＝4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　設(shè)左焦點(diǎn)為F0，連接F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形． ∵|AF|＋|BF|＝4， ∴|AF|＋|AF0|＝4， ∴a＝2. 設(shè)M(0，b)，則≥，∴1≤b＜2. 離心率e＝＝＝＝∈， 故選A. 3．(2016課標(biāo)全國(guó)丙)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn)．P為橢圓C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸．過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　設(shè)M(－c，m)，則E，OE的中點(diǎn)為D，則D，又B，D，M三點(diǎn)共線，所以＝，a＝3c，e＝. 4．(2015浙江)已知橢圓＋y2＝1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線y＝mx＋對(duì)稱． (1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)求△AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))． 解　(1)由題意知m≠0， 可設(shè)直線AB的方程為y＝－x＋b. 由消去y， 得x2－x＋b2－1＝0. 因?yàn)橹本€y＝－x＋b與橢圓＋y2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，① 將線段AB中點(diǎn)M代入直線方程y＝mx＋， 解得b＝－，② 由①②得m＜－或m＞. (2)令t＝∈∪， 則|AB|＝， 且O到直線AB的距離為d＝. 設(shè)△AOB的面積為S(t)， 所以S(t)＝|AB|d＝≤. 當(dāng)且僅當(dāng)t2＝時(shí)，等號(hào)成立． 故△AOB面積的最大值為. 5．(2016北京)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面積為1. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證：|AN||BM|為定值． (1)解　由已知＝，ab＝1. 又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝. ∴橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)證明　由(1)知，A(2,0)，B(0,1)． 設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(x0，y0)，則＋y＝1. 當(dāng)x0≠0時(shí)，直線PA方程為y＝(x－2)， 令x＝0得yM＝. 從而|BM|＝|1－yM|＝. 直線PB方程為y＝x＋1， 令y＝0得xN＝. ∴|AN|＝|2－xN|＝. ∴|AN||BM|＝ ＝ ＝ ＝＝4. 當(dāng)x0＝0時(shí)，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2， ∴|AN||BM|＝4. 故|AN||BM|為定值． 高考必會(huì)題型 題型一　利用橢圓的幾何性質(zhì)解題 例1　如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓＋＝1的離心率e＝，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，求的最大值和最小值． 解　設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)．由題意知a＝2， ∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3. 所求橢圓方程為＋＝1. ∴－2≤x0≤2，－≤y0≤. 又F(－1,0)，A(2,0)，＝(－1－x0，－y0)， ＝(2－x0，－y0)， ∴＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2. 當(dāng)x0＝2時(shí)，取得最小值0， 當(dāng)x0＝－2時(shí)，取得最大值4. 點(diǎn)評(píng)　熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)是解決此類問(wèn)題的根本，利用離心率和橢圓的范圍可以求解范圍問(wèn)題、最值問(wèn)題，利用a、b、c之間的關(guān)系和橢圓的對(duì)稱性可構(gòu)造方程． 變式訓(xùn)練1　如圖，F(xiàn)1、F2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓C的頂點(diǎn)，B是直線AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)，∠F1AF2＝60. (1)求橢圓C的離心率； (2)若△AF1B的面積為40，求橢圓C的方程． 解　(1)由題意可知，△AF1F2為等邊三角形， a＝2c，所以e＝. (2)方法一　a2＝4c2，b2＝3c2， 直線AB的方程可為y＝－(x－c)， 將其代入橢圓方程3x2＋4y2＝12c2， 得B(c，－c)， 所以|AB|＝|c－0|＝c， 由S△AF1B＝|AF1||AB|sin ∠F1AB ＝aa＝a2＝40， 解得a＝10，b＝5，所以橢圓C的方程為＋＝1. 方法二　設(shè)|AB|＝t，因?yàn)閨AF2|＝a， 所以|BF2|＝t－a， 由橢圓定義|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t， 再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60可得， t＝a，由S△AF1B＝|AF1||AB|sin ∠F1AB ＝aa＝a2＝40知，a＝10，b＝5， 所以橢圓C的方程為＋＝1. 題型二　直線與橢圓相交問(wèn)題 例2　(2015課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，點(diǎn)(2，)在C上． (1)求橢圓C的方程； (2)直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值． (1)解　由題意得＝，＋＝1， 解得a2＝8，b2＝4. 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)證明　設(shè)直線l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．將y＝kx＋b代入＋＝1，得 (2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0. 故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝. 于是直線OM的斜率kOM＝＝－， 即kOMk＝－. 所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值． 點(diǎn)評(píng)　解決直線與橢圓相交問(wèn)題的一般思路：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，由判別式范圍或根與系數(shù)的關(guān)系解決．求范圍或最值問(wèn)題，也可考慮求“交點(diǎn)”，由“交點(diǎn)”在橢圓內(nèi)(外)，得出不等式，解不等式． 變式訓(xùn)練2　橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，且過(guò)其右焦點(diǎn)F與長(zhǎng)軸垂直的直線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為2. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線l：y＝x＋與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求△PAB面積的最大值． 解　(1)∵橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為， ∴e＝＝，∴2c＝a，即4c2＝3a2， 又∵過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F與長(zhǎng)軸垂直的直線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為2， ∴＋＝1，∴＋＝1， 即b2＝4，又a2－b2＝c2， ∴a2＝b2＋c2＝4＋a2，即a2＝16， ∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)聯(lián)立直線l：y＝x＋與橢圓C的方程， 得消去y， 整理可得7x2＋12x－52＝0， 即(7x＋26)(x－2)＝0，解得x＝2或x＝－， ∴不妨設(shè)A(2，)，B(－，－)， 則|AB|＝＝， 設(shè)過(guò)P點(diǎn)且與直線l平行的直線L的方程為y＝x＋C，L與l的距離就是P點(diǎn)到AB的距離， 即△PAB的邊AB上的高，只要L與橢圓相切， 就有L與邊AB的最大距離，即得最大面積． 將y＝x＋C代入＋＝1， 消元整理可得：7x2＋8Cx＋16C2－64＝0， 令判別式Δ＝(8C)2－47(16C2－64) ＝－256C2＋2864＝0， 解得C＝ ＝ . ∴L與AB的最大距離為 ＝， ∴△PAB面積的最大值為 ＝(2＋)． 題型三　利用“點(diǎn)差法，設(shè)而不求思想”解題 例3　已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0,4)，離心率e＝，直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)． (1)若直線l的方程為y＝x－4，求弦|MN|的長(zhǎng)； (2)如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，求直線l方程的一般式． 解　(1)由已知得b＝4，且＝，即＝， ∴＝，解得a2＝20， ∴橢圓方程為＋＝1. 則4x2＋5y2＝80與y＝x－4聯(lián)立， 消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝， ∴所求弦長(zhǎng)|MN|＝|x2－x1|＝. (2)如圖，橢圓右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)，設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q(x0，y0)， 由三角形重心的性質(zhì)知 ＝2， 又B(0,4)， ∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)， 故得x0＝3，y0＝－2， 即得Q的坐標(biāo)為(3，－2)． 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4， 且＋＝1，＋＝1， 以上兩式相減得 ＋＝0， ∴kMN＝＝－＝－＝， 故直線MN的方程為y＋2＝(x－3)， 即6x－5y－28＝0. 點(diǎn)評(píng)　當(dāng)涉及平行弦的中點(diǎn)軌跡，過(guò)定點(diǎn)的弦的中點(diǎn)軌跡，過(guò)定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦所在直線方程時(shí)，用“點(diǎn)差法”來(lái)求解． 變式訓(xùn)練3　已知橢圓＋＝1(a>b>0)，焦點(diǎn)在直線x－2y－2＝0上，且離心率為. (1)求橢圓方程； (2)過(guò)P(3,1)作直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程． 解　(1)∵橢圓＋＝1(a>b>0)， 焦點(diǎn)在直線x－2y－2＝0上， ∴令y＝0，得焦點(diǎn)(2,0)，∴c＝2， ∵離心率e＝＝，∴＝， 解得a＝4，∴b2＝16－4＝12， ∴橢圓方程為＋＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵過(guò)P(3,1)作直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)， P為線段AB的中點(diǎn)， ∴由題意，x1＋x2＝6，y1＋y2＝2， ∴＋＝0， ∴kl＝＝－， ∴l(xiāng)的方程為y－1＝－(x－3)，即9x＋4y－31＝0. 高考題型精練 1．(2016課標(biāo)全國(guó)乙)直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的，則該橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　如圖，由題意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b， OD＝2b＝b. 在Rt△OFB中，|OF||OB|＝|BF||OD|， 即cb＝ab，代入解得a2＝4c2， 故橢圓離心率e＝＝，故選B. 2．已知橢圓＋＝1，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，則|PA|＋|PF1|的最大值是(　　) A．6 B．6＋2 C．6－ D．6＋ 答案　D 解析　|PA|＋|PF1|＝|PA|＋2a－|PF2|≤2a＋|AF2|＝6＋， 當(dāng)P，A，F(xiàn)2共線時(shí)取最大值，故選D. 3．已知橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)為F，P是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)A(0,2)，當(dāng)△APF的周長(zhǎng)最大時(shí)，直線AP的方程為(　　) A．y＝－x＋2 B．y＝x＋2 C．y＝－x＋2 D．y＝x＋2 答案　D 解析　橢圓＋＝1中a＝3，b＝，c＝＝2， 由題意，設(shè)F′是左焦點(diǎn)， 則△APF周長(zhǎng)＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF′| ＝4＋6＋|PA|－|PF′|≤10＋|AF′| (A，P，F(xiàn)′三點(diǎn)共線，且P在AF′的延長(zhǎng)線上時(shí)，取等號(hào))， 直線AP的方程為＋＝1， 即y＝x＋2，故選D. 4．如果橢圓＋＝1的弦被點(diǎn)(4,2)平分，則這條弦所在的直線方程是(　　) A．x－2y＝0 B．x＋2y－4＝0 C．2x＋3y－14＝0 D．x＋2y－8＝0 答案　D 解析　設(shè)這條弦的兩端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 斜率為k，則 兩式相減再變形得＋k＝0， 又弦中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2)，故k＝－， 故這條弦所在的直線方程為y－2＝－(x－4)， 整理得x＋2y－8＝0，故選D. 5．設(shè)F1、F2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，若∠PF1F2＝30，則橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　∵線段PF1的中點(diǎn)在y軸上， 設(shè)P的橫坐標(biāo)為x，F(xiàn)1(－c,0)，∴－c＋x＝0， ∴x＝c，∴P與F2的橫坐標(biāo)相等， ∴PF2⊥x軸， ∵∠PF1F2＝30，∴|PF2|＝|PF1|， ∵|PF2|＋|PF1|＝2a，∴|PF2|＝a， tan ∠PF1F2＝＝＝， ∴＝，∴e＝＝. 6．過(guò)點(diǎn)M(0,1)的直線l交橢圓C：＋＝1于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)，當(dāng)△ABF1周長(zhǎng)最大時(shí)，直線l的方程為_(kāi)_____________． 答案　x＋y－1＝0 解析　設(shè)右焦點(diǎn)為F2(1,0)，則|AF1|＝4－|AF2|， |BF1|＝4－|BF2|， 所以|AF1|＋|BF1|＋|AB| ＝8＋|AB|－(|AF2|＋|BF2|)， 顯然|AF2|＋|BF2|≥|AB|， 當(dāng)且僅當(dāng)A，B，F(xiàn)2共線時(shí)等號(hào)成立， 所以當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)F2時(shí)，△ABF1的周長(zhǎng)取最大值8， 此時(shí)直線方程為y＝－x＋1，即x＋y－1＝0. 7．(2016江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)，直線y＝與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且∠BFC＝90，則該橢圓的離心率是________． 答案　 解析　聯(lián)立方程組 解得B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)為 B，C，又F(c,0)， 則＝，＝， 又由∠BFC＝90， 可得＝0，代入坐標(biāo)可得： c2－a2＋＝0，① 又因?yàn)閎2＝a2－c2. 代入①式可化簡(jiǎn)為＝， 則橢圓離心率為e＝＝＝. 8．(2016淮北一中高三最后一卷)P為橢圓＋＝1上的任意一點(diǎn)，AB為圓C：(x－1)2＋y2＝1的任一條直徑，則的取值范圍是________． 答案　[3,15] 解析　圓心C(1,0)為橢圓的右焦點(diǎn)， ＝(＋)(＋) ＝(＋)(－) ＝2－2＝||2－1， 顯然||∈[a－c，a＋c]＝[2,4]， 所以＝||2－1∈[3,15]． 9．設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，上頂點(diǎn)為A(0,2)，離心率為. (1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)B1(－2,0)，B2(2,0)，過(guò)B1作直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使PB2⊥QB2，求直線l的方程． 解　(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)， ∵＝，∴1－＝，即＝， 又∵b2＝4，∴a2＝20，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)由題意知直線l的傾斜角不為0， 故可設(shè)直線l的方程為：x＝my－2. 代入橢圓方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0， 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 則y1＋y2＝，y1y2＝－， 又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)， 所以＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2 ＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2 ＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16 ＝－－＋16 ＝－， 由PB2⊥QB2得＝0， 即16m2－64＝0，解得m＝2， ∴直線l的方程為x＝2y－2，即x2y＋2＝0. 10．(2016課標(biāo)全國(guó)乙)設(shè)圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E. (1)證明|EA|＋|EB|為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程； (2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍． 解　(1)因?yàn)閨AD|＝|AC|，EB∥AC， 故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|， 故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|. 又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋y2＝16，從而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4. 由題設(shè)得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為：＋＝1(y≠0)． (2)當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0. 則x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|MN|＝|x1－x2|＝. 過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與l垂直的直線m：y＝－(x－1)， 點(diǎn)A到m的距離為， 所以|PQ|＝2＝4. 故四邊形MPNQ的面積 S＝|MN||PQ|＝12. 可得當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8)． 當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，其方程為x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四邊形MPNQ的面積為12. 綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,8)． 11．(2015安徽)設(shè)橢圓E的方程為＋＝1(a>b>0)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，點(diǎn)M在線段AB上，滿足|BM|＝2|MA|，直線OM的斜率為. (1)求橢圓E的離心率e； (2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，－b)，N為線段AC的中點(diǎn)， 證明：MN⊥AB. (1)解　由題設(shè)條件知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為， 又kOM＝，從而＝. 進(jìn)而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝. (2)證明　由N是AC的中點(diǎn)知，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，可得＝， 又＝(－a，b)， 從而有＝－a2＋b2＝(5b2－a2)． 由(1)的計(jì)算結(jié)果可知a2＝5b2， 所以＝0，故MN⊥AB.