高考數(shù)學(xué)(精講+精練+精析)專(zhuān)題10_1 橢圓試題 理(含解析)
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專(zhuān)題10.1 橢圓 【三年高考】 1. 【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),是橢圓:的左焦點(diǎn),分別為的左,右頂點(diǎn).為上一點(diǎn),且軸.過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與線(xiàn)段交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn).若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的中點(diǎn),則的離心率為( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】A 2. 【2016高考江蘇卷】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,是橢圓 的右焦點(diǎn),直線(xiàn) 與橢圓交于兩點(diǎn),且,則該橢圓的離心率是 . 【答案】 3.【2016高考山東理數(shù)】平面直角坐標(biāo)系中,橢圓C:的離心率是,拋物線(xiàn)E:的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn). (I)求橢圓C的方程; (II)設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn),且位于第一象限,E在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與C交與不同的兩點(diǎn)A,B,線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為D,直線(xiàn)OD與過(guò)P且垂直于x軸的直線(xiàn)交于點(diǎn)M. (i)求證:點(diǎn)M在定直線(xiàn)上;(ii)直線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)G,記的面積為,的面積為,求 的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo). 【解析】(Ⅰ)由題意知,可得:.因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)為,所以, 所以橢圓C的方程為. (Ⅱ)(i)設(shè),由可得,所以直線(xiàn)的斜率為,因此直線(xiàn)的方程為,即.設(shè),聯(lián)立方程,得,由,得且,因此,將其代入得,因?yàn)?,所以直線(xiàn)方程為.聯(lián)立方程,得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,即點(diǎn)在定直線(xiàn)上. 4.【2016年高考北京理數(shù)】已知橢圓C: ()的離心率為 ,,,,的面積為1. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)的橢圓上一點(diǎn),直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)M,直線(xiàn)PB與軸交于點(diǎn)N.求證:為定值. 【解析】(1)由題意得解得.所以橢圓的方程為. (2)由(Ⅰ)知,,設(shè),則.當(dāng)時(shí),直線(xiàn)的方程為.令,得.從而.直線(xiàn)的方程為.令,得.從而.所以. 當(dāng)時(shí),,所以.上,為定值. 5.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,是的左頂點(diǎn),斜率為的直線(xiàn)交于兩點(diǎn),點(diǎn)在上,. (Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的面積; (Ⅱ)當(dāng)時(shí),求的取值范圍. (II)由題意,,.將直線(xiàn)的方程代入得.由得,故.由題設(shè),直線(xiàn)的方程為,故同理可得,由得,即.當(dāng)時(shí)上式不成立,因此.等價(jià)于,即.由此得,或,解得.因此的取值范圍是. 6. 【2015高考新課標(biāo)1,理14】一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓的三個(gè)頂點(diǎn),且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . 【答案】 7.【2015高考安徽,理20】設(shè)橢圓E的方程為,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)B的坐標(biāo)為,點(diǎn)M在線(xiàn)段AB上,滿(mǎn)足,直線(xiàn)OM的斜率為. (I)求E的離心率e; (II)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為,N為線(xiàn)段AC的中點(diǎn),點(diǎn)N關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,求E的方程. 【解析】(I)由題設(shè)條件知,點(diǎn)的坐標(biāo)為,又,從而,進(jìn)而得,故. (II)由題設(shè)條件和(I)的計(jì)算結(jié)果可得,直線(xiàn)的方程為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則線(xiàn)段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.又點(diǎn)在直線(xiàn)上,且,從而有解得,所以,故橢圓的方程為. 8.【2015高考重慶,理21】如題(21)圖,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn),且 (1)若,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (2)若求橢圓的離心率 (2)解法一:如圖(21)圖,設(shè)點(diǎn)P在橢圓上,且,則,求得由,得,從而由橢圓的定義,,從而由,有,又由,知,因此,于是解得. 9.【2015高考陜西,理20】已知橢圓()的半焦距為,原點(diǎn)到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn), 的直線(xiàn)的距離為. (I)求橢圓的離心率; (II)如圖,是圓的一條直徑,若橢圓經(jīng)過(guò),兩點(diǎn),求橢圓的方程. 【解析】(I)過(guò)點(diǎn),的直線(xiàn)方程為,則原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,由,得,解得離心率. 10. 【2014全國(guó)大綱理 6】已知橢圓C:的左、右焦點(diǎn)為、,離心率為,過(guò)的直線(xiàn)交C于A、B兩點(diǎn),若的周長(zhǎng)為,則C的方程為 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因?yàn)椤鰽F1B的周長(zhǎng)為4,所以|AF1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4,所以a=.又因?yàn)闄E圓的離心率e==,所以c=1,b2=a2-c2=3-1=2,所以橢圓C的方程為+=1,故選A. 11. 【2014江西,理15】過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)與橢圓:相交于,若是線(xiàn)段的中點(diǎn),則橢圓的離心率為 【答案】 12. 【2014全國(guó)課標(biāo)Ⅱ,理 20】設(shè),分別是橢圓:的左,右焦點(diǎn),是上一點(diǎn)且與軸垂直.直線(xiàn)與的另一交點(diǎn)為. (Ⅰ)若直線(xiàn)的斜率為,求的離心率; (Ⅱ)若直線(xiàn)在軸上的截距為2,且,求, 【解析】(Ⅰ)由題意得:,,∵的斜率為, ∴,又,解之:或(舍), 故:直線(xiàn)的斜率為時(shí),的離心率為 (Ⅱ)由題意知:點(diǎn)在第一象限,,,∴直線(xiàn)的斜率為:,則:;∵在直線(xiàn)上,∴,得……① ∵,∴,且,∴,∴,又∵在橢圓上,∴……② 聯(lián)立①、②解得:, 【三年高考命題回顧】 縱觀(guān)前三年各地高考試題, 對(duì)橢圓的考查,重點(diǎn)考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,高考中以選擇題、填空、解答題的第一小題的形式考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的幾何性質(zhì),為容易題或中檔題,以解答題的第二問(wèn)的形式考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,一般是難題,分值一般為5-12分. 【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測(cè)】 由前三年的高考命題形式可以看出 , 橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系是高考考試的熱點(diǎn),考查方面離心率是重點(diǎn),其它利用性質(zhì)求橢圓方程,求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積,求弦長(zhǎng),求橢圓的最值或范圍問(wèn)題,過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,定值問(wèn)題等.預(yù)測(cè)2017年高考,對(duì)橢圓的考查,仍重點(diǎn)考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,仍以選擇題、填空、解答題的第一小題的形式考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的幾何性質(zhì),難度仍為容易題或中檔題,以解答題的第二問(wèn)的形式考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,難度仍難題,分值保持在5-12分.在備戰(zhàn)2017年高考中,要熟記橢圓的定義,會(huì)利用定義解決橢圓上一點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問(wèn)題,會(huì)根據(jù)題中的條件用待定系數(shù)法、定義法等方法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,會(huì)根據(jù)條件研究橢圓的幾何性質(zhì),會(huì)用設(shè)而不求思想處理直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,重點(diǎn)掌握與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題、定點(diǎn)與定值問(wèn)題、范圍問(wèn)題的處理方法,注意題中向量條件的轉(zhuǎn)化與向量方法應(yīng)用. 【2017年高考考點(diǎn)定位】 高考對(duì)橢圓的考查有三種主要形式:一是直接考查橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程;二是考查橢圓的幾何性質(zhì);三是考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,從涉及的知識(shí)上講,常平面幾何、直線(xiàn)方程與兩直線(xiàn)的位置關(guān)系、圓、平面向量、函數(shù)最值、方程、不等式等知識(shí)相聯(lián)系,字母運(yùn)算能力和邏輯推理能力是考查是的重點(diǎn). 【考點(diǎn)1】橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 【備考知識(shí)梳理】 1.橢圓的定義:把平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓,這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)之間的距離叫焦距,符號(hào)表述為:(). 注意:(1)當(dāng)時(shí),軌跡是線(xiàn)段.(2)當(dāng)時(shí),軌跡不存在. 2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1) 焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.給定橢圓,要根據(jù)的大小判定焦點(diǎn)在那個(gè)坐標(biāo)軸上,焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)坐標(biāo)軸上.(2)橢圓中關(guān)系為:. 【規(guī)律方法技巧】 1.利用橢圓的定義可以將橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化,對(duì)橢圓上一點(diǎn)與其兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問(wèn)題,常用橢圓的定義與正余弦定理去處理. 2.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方法 (1)定義法:若某曲線(xiàn)(或軌跡)上任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)(常數(shù)大于兩點(diǎn)之間的距離),符合橢圓的定義,該曲線(xiàn)是以這兩定點(diǎn)為焦點(diǎn),定值為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓,從而求出橢圓方程中的參數(shù),寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)待定系數(shù)法,用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,一般分三步完成,①定性-確定它是橢圓;②定位判定中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上;③定量-建立關(guān)于基本量的關(guān)系式,解出參數(shù)即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 3.若若橢圓的焦點(diǎn)位置不定,應(yīng)分焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上,也可設(shè)橢圓方程為,可避免分類(lèi)討論和繁瑣的計(jì)算. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016屆淮南市高三第二次模】以雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)為焦點(diǎn),離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意得,雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,即,又離心率為,即,解得,所以,所以橢圓的方程為,故選C. 2. 【2016屆廣西柳州高中高三4月高考模擬】已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且的面積為,則 . 【答案】. 【考點(diǎn)2】橢圓的幾何性質(zhì) 【備考知識(shí)梳理】 1.橢圓的幾何性質(zhì) 焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn) (c,0) (0,c) 焦距 |F1F2|=2c(c2=a2-b2) 范圍 |x|≤a;|y|≤b |x|≤b;|y|≤a 頂點(diǎn) 長(zhǎng)軸頂點(diǎn)(a,0),短軸頂點(diǎn)(0,b) 長(zhǎng)軸頂點(diǎn)(0,a),短軸頂點(diǎn)(b,0) 對(duì)稱(chēng)性 曲線(xiàn)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 曲線(xiàn)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 離心率 e=∈(0,1),其中c= 2.點(diǎn)與橢圓關(guān)系(1)點(diǎn)在橢圓內(nèi);(2)點(diǎn)在橢圓上;(3)點(diǎn)在橢圓外. 【規(guī)律方法技巧】 1.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖像進(jìn)行分析,即使不畫(huà)圖形,思考時(shí)也要聯(lián)想到圖像.當(dāng)涉及到頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí),要理清它們之間的關(guān)系,挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系. 2.橢圓取值范圍實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)是橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的取值范圍,在求解一些最值、取值范圍以及存在性、判斷性問(wèn)題中有著重要的應(yīng)用. 3.求離心率問(wèn)題,關(guān)鍵是先根據(jù)題中的已知條件構(gòu)造出的等式或不等式,結(jié)合化出關(guān)于的式子,再利用,化成關(guān)于的等式或不等式,從而解出的值或范圍.離心率與的關(guān)系為:=. 4.橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離的取值范圍為[]. 4.橢圓的通徑(過(guò)焦點(diǎn)垂直于焦點(diǎn)所在對(duì)稱(chēng)軸的直線(xiàn)被橢圓截得的弦叫通徑)長(zhǎng)度為,是過(guò)橢圓焦點(diǎn)的直線(xiàn)被橢圓所截得弦長(zhǎng)的最小值. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016屆湖北省級(jí)示范高中聯(lián)盟高三模擬】橢圓的左焦點(diǎn)為為上頂點(diǎn),為長(zhǎng)軸上任意一點(diǎn),且在原點(diǎn)的右側(cè),若的外接圓圓心為,且,橢圓離心率的范圍為( ) A. B. C. D. 【答案】A 2. 【2016屆福建福州三中高三最后模擬】橢圓的左、右焦點(diǎn)為,過(guò)作直線(xiàn)垂直于軸,交橢圓C于A,B兩點(diǎn),若若為等腰直角三角形,且,則橢圓C的離心率為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵ 軸,∴ .∵ 為等腰直角三角形,∴ ,∴ ,化為 .解得 .故選:A. 【考點(diǎn)3】直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系 【備考知識(shí)梳理】 直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立,消元后得到一元二次方程,若判別式Δ>0,則直線(xiàn)與橢圓交;若△=0,則直線(xiàn)與橢圓相切;若△<0,則直線(xiàn)與橢圓相離. 【規(guī)律方法技巧】 1. 直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立,消元后得到一元二次方程,則一元二次方程的根是直線(xiàn)和橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo),常設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo),用根與系數(shù)關(guān)系將橫坐標(biāo)之和與之積表示出來(lái),這是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ). 2.直線(xiàn)y=kx+b(k≠0)與圓錐曲線(xiàn)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則弦長(zhǎng)|AB|= |x1-x2|= =|y1-y2|=. 3.對(duì)中點(diǎn)弦問(wèn)題常用點(diǎn)差法和參數(shù)法. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016屆廣東省華南師大附中高三5月測(cè)試】已知橢圓,直線(xiàn)與橢圓交于,兩點(diǎn),點(diǎn),且,則直線(xiàn)的方程為 . 【答案】或 2. 【2016屆湖北省八校高三二聯(lián)】定義:在平面內(nèi),點(diǎn)到曲線(xiàn)上的點(diǎn)的距離的最小值稱(chēng)為點(diǎn)到曲線(xiàn)的距離.在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓:及點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)到圓的距離與到點(diǎn)的距離相等,記點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn). (Ⅰ)求曲線(xiàn)的方程; (Ⅱ)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)(不與坐標(biāo)軸重合)與曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn),點(diǎn)在曲線(xiàn)上,且,直線(xiàn)與軸交于點(diǎn),設(shè)直線(xiàn)的斜率分別為,求 【解析】(Ⅰ)由分析知:點(diǎn)在圓內(nèi)且不為圓心,故,所以點(diǎn)的軌跡為以、為焦點(diǎn)的橢圓, 設(shè)橢圓方程為,則,所以,故曲線(xiàn)的方程為 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 1.焦點(diǎn)三角形問(wèn)題的求解技巧 (1)所謂焦點(diǎn)三角形,就是以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),另一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓上的三角形. (2)解決此類(lèi)問(wèn)題要注意應(yīng)用三個(gè)方面的知識(shí):①橢圓的定義;②勾股定理或余弦定理;③基本不等式與三角形的面積公式. 2.離心率的求法 橢圓的離心率就是的值,有些試題中可以直接求出的值再求離心率,在有些試題中不能直接求出的值,由于離心率是個(gè)比值,因此只要能夠找到一個(gè)關(guān)于或的方程,通過(guò)這個(gè)方程解出或,利用公式求出,對(duì)雙曲線(xiàn)來(lái)說(shuō),,對(duì)橢圓來(lái)說(shuō),. 3. 有關(guān)弦的問(wèn)題 (1)有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題,應(yīng)注意運(yùn)用弦長(zhǎng)公式及根與系數(shù)的關(guān)系,“設(shè)而不求”;有關(guān)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題,要重視橢圓定義的運(yùn)用,以簡(jiǎn)化運(yùn)算. ①斜率為的直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)交于兩點(diǎn),,則所得弦長(zhǎng)或,其中求與時(shí)通常使用根與系數(shù)的關(guān)系,即作如下變形: ,. ②當(dāng)斜率不存在時(shí),可求出交點(diǎn)坐標(biāo),直接運(yùn)算(利用兩點(diǎn)間距離公式). (2)弦的中點(diǎn)問(wèn)題 有關(guān)弦的中點(diǎn)問(wèn)題,應(yīng)靈活運(yùn)用“點(diǎn)差法”,“設(shè)而不求法”來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算. 4.直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系 在直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題中,一類(lèi)是直線(xiàn)和橢圓關(guān)系的判斷,利用判別式法.另一類(lèi)常與“弦”相關(guān):“平行弦”問(wèn)題的關(guān)鍵是“斜率”、“中點(diǎn)弦”問(wèn)題關(guān)鍵是“韋達(dá)定理”或“小小直角三角形”或“點(diǎn)差法”、“長(zhǎng)度(弦長(zhǎng))”問(wèn)題關(guān)鍵是長(zhǎng)度(弦長(zhǎng))公式.在求解弦長(zhǎng)問(wèn)題中,要注意直線(xiàn)是否過(guò)焦點(diǎn),如果過(guò)焦點(diǎn),一般可采用焦半徑公式求解;如果不過(guò),就用一般方法求解.要注意利用橢圓自身的范圍來(lái)確定自變量的范圍,涉及二次方程時(shí)一定要注意判別式的限制條件. 5.避免繁復(fù)運(yùn)算的基本方法 可以概括為:回避,選擇,尋求.所謂回避,就是根據(jù)題設(shè)的幾何特征,靈活運(yùn)用曲線(xiàn)的有關(guān)定義、性質(zhì)等,從而避免化簡(jiǎn)方程、求交點(diǎn)、解方程等繁復(fù)的運(yùn)算.所謂選擇,就是選擇合適的公式,合適的參變量,合適的坐標(biāo)系等,一般以直接性和間接性為基本原則.因?yàn)閷?duì)普通方程運(yùn)算復(fù)雜的問(wèn)題,用參數(shù)方程可能會(huì)簡(jiǎn)單;在某一直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問(wèn)題,通過(guò)移軸可能會(huì)簡(jiǎn)單;在直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問(wèn)題,在極坐標(biāo)系下可能會(huì)簡(jiǎn)單“所謂尋求”. 6.注意橢圓的范圍,在設(shè)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),則,這往往在求與點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題中特別有用,也是容易忽略導(dǎo)致求最值錯(cuò)誤的原因. 7.注意橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)范圍,特別是把橢圓上某一點(diǎn)坐標(biāo)視為某一函數(shù)問(wèn)題求解,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,最值有重要意義. 二年模擬 1. 【2016屆海南省農(nóng)墾中學(xué)高三第九次月考】設(shè)斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若點(diǎn)P、Q在x軸上的射影恰好為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),則該橢圓的離心率為( ) A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】設(shè)點(diǎn)在軸上的射影分別為焦點(diǎn),,從而,得. 2. 【2016屆河南省新鄉(xiāng)衛(wèi)輝一中高考押題一】已知某橢圓的方程為,上頂點(diǎn)為,左頂點(diǎn)為,設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn),且面積的最大值為,若已知,,點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn),則的最小值為( ) A.2 B. C.3 D. 【答案】B 3. 【2016屆河北省衡水中學(xué)高三下練習(xí)五】橢圓的離心率是,則實(shí)數(shù)為( ) A. B. C.或 D.或 【答案】C 【解析】由橢圓,(1)當(dāng)時(shí),,得;(2)當(dāng)時(shí),,得,故選項(xiàng)為C. 4. 【2016屆福建省廈門(mén)市高三5月月考】已知點(diǎn),是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),且,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】B 5.【2016屆湖南省郴州市高三第四次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理】 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)是橢圓與圓在第一象限的交點(diǎn), 且點(diǎn)到的距離等于.若橢圓上一動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之差的最大值為,則橢圓的離心率為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】設(shè)點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),則.當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),取得最大值,此時(shí).又,所以點(diǎn)是線(xiàn)段上靠近的一個(gè)三等分點(diǎn),所以,代入橢圓方程,得,即,解得,即,故選B. 6. 【2016屆河南省鄭州一中高三考前沖刺四】若P為橢圓上任意一點(diǎn),EF為圓的任意一條直徑,則的取值范圍是______. 【答案】 【解析】因?yàn)?.又因?yàn)闄E圓的,為橢圓的右焦點(diǎn),∴∴.故答案為:. 7. 【2016屆河南省禹州市名校高三三模】已知為橢圓的右焦點(diǎn), 點(diǎn),點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn), 且的最小值為,則 . 【答案】 8. 【2016屆廣西來(lái)賓高中高三5月模擬理】如圖,橢圓,圓,橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,過(guò)橢圓上一點(diǎn)和原點(diǎn)作直線(xiàn)交圓于兩點(diǎn),若,則的值為_(kāi)__________. 【答案】 【解析】由已知, ,所以.故答案為. 9. 【2016屆湖北省黃岡中學(xué)高三5月一模】已知橢圓的左焦點(diǎn)為,離心率為,直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn),當(dāng)軸時(shí),的周長(zhǎng)最大值為8. (1)求橢圓的方程; (2)若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn),求當(dāng)面積最大時(shí)直線(xiàn)的方程. 10. 【2016屆陜西省黃陵中學(xué)高三下第六次模擬理】已知點(diǎn)與都在橢圓上,直線(xiàn)交軸于點(diǎn). (Ⅰ)求橢圓的方程,并求點(diǎn)的坐標(biāo); (Ⅱ)設(shè)為原點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),直線(xiàn)交軸于點(diǎn).問(wèn):軸上是否存在點(diǎn),使得?若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由. 11.【2015屆湖北省襄陽(yáng)市第五中學(xué)高三第一學(xué)期11月質(zhì)檢】若橢圓的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為(0,2),直線(xiàn)y=3x+7與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,則這個(gè)橢圓的方程為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】橢圓的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為(0,2),所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上,且,故能排除A,B,C答案為D. 12.【2015屆黑龍江省哈爾濱市三中高三第四次模擬】設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn),若,且軸,則( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意,,軸,∴,∴A點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè), 則,∴,∴,代入橢圓方程可得,∵,∴. 13. 【江蘇省啟東中學(xué)2015屆高三下學(xué)期期初調(diào)研】已知點(diǎn)是橢圓 上的一點(diǎn),是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),若的內(nèi)切圓的半徑為,則此橢圓的離心率為 . 【答案】; 14.【2015屆黑龍江省哈爾濱市三中高三第四次模擬】如圖,已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)為(0,),且離心率等于,過(guò)點(diǎn)(0,2)的直線(xiàn)與橢圓相交于,不同兩點(diǎn),點(diǎn)在線(xiàn)段上. (Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (Ⅱ)設(shè),試求的取值范圍. 15.【2015屆甘肅省天水市一中高三高考信息卷一理】如圖,、為橢圓的左、右焦點(diǎn),、是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn),橢圓的離心率,.若在橢圓上,則點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn)的一個(gè)“好點(diǎn)”.直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn),、兩點(diǎn)的“好點(diǎn)”分別為、,已知以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn). (Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (Ⅱ)的面積是否為定值?若為定值,試求出該定值;若不為定值,請(qǐng)說(shuō)明理由. (Ⅱ)設(shè)、,則、. ①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí),即,,由以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)可得, 即,解得,又點(diǎn)在橢圓上,所以,解得,所以. ②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為.由,消得,, 由根與系數(shù)的關(guān)系可得, ,由以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)可得,即,即. 故,,整理得,即.所以. ,而,故 , 而點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,所以. 綜合①②可知的面積為定值1. 拓展試題以及解析 1. 已知橢圓的離心率為,直線(xiàn)與以的長(zhǎng)軸為直徑的圓交于兩點(diǎn),且曲線(xiàn)恰好將線(xiàn)段三等分,則的值為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【入選理由】本題考查橢圓的方程、直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.以及運(yùn)算求解能力,直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,是高考考查的熱點(diǎn),故選此題. 2.如圖,已知橢圓上有一個(gè)點(diǎn),它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn),且滿(mǎn)足,當(dāng)時(shí),橢圓的離心率為_(kāi)__________. 【答案】 【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1,連接AF1,BF1,由對(duì)稱(chēng)性及可知,四邊形AFBF1是矩形,所以|AB=|F1F|=2c,所以在Rt△ABF中,,,由橢圓定義得,即. 【入選理由】本題考查橢圓的方程,橢圓的定義,解直角三角形,三角恒等變形,橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,以及運(yùn)算求解能力,橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),是高考考查的熱點(diǎn),故選此題. 3.已知橢圓的離心率為,長(zhǎng)軸上個(gè)等分點(diǎn)從左到右依次為點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn),交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)在軸上方;過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn),交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)在軸上方;以此類(lèi)推,過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn),交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)在軸上方,則條直線(xiàn)的斜率乘積為 【答案】 【入選理由】本題考查橢圓的方程,直線(xiàn)的斜率,橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,以及運(yùn)算求解能力,本題初看似乎很難,細(xì)細(xì)分析,利用橢圓的對(duì)稱(chēng)性很容易解出,本題構(gòu)思巧妙,是一個(gè)好題,故選此題. 4.設(shè)橢圓,定義橢圓的“隱圓”方程為,若拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),且橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形. (Ⅰ)求橢圓的方程和“隱圓”的方程; (Ⅱ)過(guò)“隱圓”上任意一點(diǎn)作“隱圓”的切線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn). (i)證明:為定值; (ii)連接并延長(zhǎng)交“隱圓”于點(diǎn),求面積的取值范圍. 【解析】(Ⅰ)由拋物線(xiàn)得的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=1,因?yàn)檫^(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),所以,又因?yàn)闄E圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形,所以,故橢圓的方程為, “隱圓”的方程為 ; (ii)由于是“隱圓”的直徑,所以,所以要求面積的取值范圍,只需求弦長(zhǎng)的取值范圍,當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí),由(i)知 ,因?yàn)? , ① 時(shí)為所以,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=” ②當(dāng)時(shí),.|AB |的取值范圍為,面積的取值范圍是. 【入選理由】本題考查橢圓的方程,直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系,橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),新定義,圓的性質(zhì),焦三角等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,以及運(yùn)算求解能力,本題構(gòu)思巧妙,是一個(gè)好題,故選此題. 5.已知橢圓:的右焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,且橢圓的一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)與一個(gè)短軸端點(diǎn)間的距離為. (1)求橢圓的方程; (2)如圖,連接橢圓短軸端點(diǎn)與橢圓上不同于的兩點(diǎn),與以橢圓短軸為直徑的圓分別交于 兩點(diǎn),且恰好經(jīng)過(guò)圓心,求面積的最大值. (2)由題意知直線(xiàn)的斜率存在且不為0,,不妨設(shè)直線(xiàn)的斜率為,則:,由,得,或,∴.∴.用代替,且由得,∴,設(shè)(μ≥2,當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)),則.(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)). 【入選理由】本題考查橢圓的方程,直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系,橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,以及運(yùn)算求解能力,本題是一個(gè)常規(guī)題,直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,是高考考查的熱點(diǎn),故選此題. 6.已知橢圓的離心率為,直線(xiàn)與軸分別交于點(diǎn). (Ⅰ)求證:直線(xiàn)與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn); (Ⅱ)設(shè)為直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn),若,求橢圓的離心率; (Ⅲ)求證:直線(xiàn)上的點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)距離和的最小值為 (Ⅱ)由題意得,因?yàn)?,所? 因?yàn)椋? (Ⅲ)設(shè)為橢圓的左右焦點(diǎn),為直線(xiàn)上任意一點(diǎn).設(shè)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,則.由得,因此所以, 即直線(xiàn)上的點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)距離和的最小值為 【入選理由】本題考查橢圓的方程,直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系,橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì), 函數(shù)最值基礎(chǔ)知識(shí),意在考查數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,以及運(yùn)算求解能力,本題是一個(gè)常規(guī)題,第二問(wèn)出題形式新穎,故選此題. 7.已知、分別是離心率為的橢圓:的左、右焦點(diǎn),是橢圓上一點(diǎn),線(xiàn)段的中點(diǎn)為,△(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的周長(zhǎng)為3. (Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (Ⅱ)過(guò)作與軸不垂直的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn),,若,求實(shí)數(shù)的取值范圍. (Ⅱ)設(shè),的中點(diǎn)為,顯然直線(xiàn)的斜率不能為0,故設(shè)直線(xiàn)的方程為,代入橢圓方程,整理得,,∴,,∴,∴,∴,由知,,∴=,∴, ∵,∴,∴,∴,∴實(shí)數(shù)的取值范圍為. 【入選理由】本題考查橢圓的方程,橢圓的定義,直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系,橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)基礎(chǔ)知識(shí),意在考查數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,以及運(yùn)算求解能力,本題是一個(gè)常規(guī)題,求參數(shù)范圍是高考考試的重點(diǎn),故選此題. 8.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,為橢圓上任意一點(diǎn),的最大值4,離心率為. (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)已知過(guò)(0,1)作一條直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn),求△面積的取值范圍. (Ⅱ)可設(shè)直線(xiàn)的方程為,代入方程整理得,,設(shè)直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn),則,, 所以====,所以=,設(shè),則,且,∴ ===,設(shè),∴>0,∴在[3,+∞)上是增函數(shù),∴當(dāng)即,即時(shí),=,即,∴,∴,∴0<≤ 此時(shí)取值范圍為(0,]. 【入選理由】本題考查橢圓的方程,直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系,橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),三角形的面積,函數(shù)與導(dǎo)數(shù),函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值基礎(chǔ)知識(shí),意在考查數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,以及運(yùn)算求解能力,本題是一個(gè)常規(guī)題,但綜合性比較強(qiáng),特別是與導(dǎo)數(shù)結(jié)合出題,是一個(gè)好題,故選此題.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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