《高考數(shù)學基礎突破 導數(shù)與積分 第8講 構造函數(shù)求導與“二次求導”問題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學基礎突破 導數(shù)與積分 第8講 構造函數(shù)求導與“二次求導”問題（16頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

2017年高考數(shù)學基礎突破——導數(shù)與積分 第8講 構造函數(shù)求導與“二次求導” 【知識梳理】 構造輔助函數(shù)是高中數(shù)學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，設法建立起目標函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，屬于難題． 二次求導的原因是導函數(shù)無法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導可以化解很多一次求導函數(shù)零點“求之不得”的問題。 【基礎考點突破】 考點1.構造函數(shù)求導 【例1】【2015高考新課標2，理12】設函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（ ） A． 　　　B． C． 　　　D． 變式訓練1.【2015高考福建，理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導函數(shù) 滿足 ，則下列結論中一定錯誤的是（ ） A． B． C． D． 考點2.利用導數(shù)構造函數(shù)證明不等式 【例2】【2015高考福建，文22】已知函數(shù)． (Ⅰ)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間； （Ⅱ）證明：當時，； （Ⅲ）確定實數(shù)的所有可能取值，使得存在，當時，恒有． 變式訓練2.【2016高考新課標Ⅲ文數(shù)】設函數(shù). （1）討論的單調性；（2）證明當時，；（3）設，證明當時，. 考點3.構造函數(shù)與二次求導 【例3】設函數(shù)(其中). (Ⅰ) 當時,求函數(shù)的單調區(qū)間；(Ⅱ) 當時,求函數(shù)在上的最大值. 【歸納總結】二次求導的原因是導函數(shù)無法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導可以化解很多一次求導函數(shù)零點“求之不得”的問題。 變式訓練3.（2012年全國卷）設函數(shù)． （1）求的單調區(qū)間；（2）若，為整數(shù)，且當時，，求的最大值． 變式訓練4.（2014年山東卷）設函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）． （1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間； （2）若函數(shù)在內存在兩個極值點，求的取值范圍． 【基礎練習鞏固】 1．設函數(shù)滿足，，則時，（ ） A．有極大值，無極小值 　B．有極小值，無極大值 C．既有極大值又有極小值　　　　　D．既無極大值也無極小值 2．設函數(shù)，其中． （1）當時，證明不等式；（2）設的最小值為，證明． 3． 已知函數(shù)，證明: 當且時． 4.【2016高考新課標2理數(shù)】 (Ⅰ)討論函數(shù)的單調性，并證明當時，； (Ⅱ)證明：當時，函數(shù)有最小值.設的最小值為，求函數(shù)的值域． 2017年高考數(shù)學基礎突破——導數(shù)與積分 第1講 構造函數(shù)求導與“二次求導”（學生版，后附教師版） 【知識梳理】 構造輔助函數(shù)是高中數(shù)學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，設法建立起目標函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，屬于難題． 二次求導的原因是導函數(shù)無法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導可以化解很多一次求導函數(shù)零點“求之不得”的問題。 【基礎考點突破】 考點1.構造函數(shù)求導 【例1】【2015高考新課標2，理12】設函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（ ） A． 　　　B． C． 　　　D． 【答案】A 解析：記函數(shù)，則，因為當時，，故當時，，所以在上單調遞減；又因為函數(shù)是奇函數(shù)，故函數(shù)是偶函數(shù)，所以在上單調遞減，且.當時，，則；當時，，則，綜上所述，使得成立的的取值范圍是，故選A. 變式訓練1.【2015高考福建，理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導函數(shù) 滿足 ，則下列結論中一定錯誤的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知條件，構造函數(shù)，則，故函數(shù)在上單調遞增，且，故，所以，，所以結論中一定錯誤的是C，選項D無法判斷；構造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調遞增，且，所以，即，，選項A,B無法判斷，故選C． 考點2.利用導數(shù)構造函數(shù)證明不等式 【例2】【2015高考福建，文22】已知函數(shù)． (Ⅰ)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間； （Ⅱ）證明：當時，； （Ⅲ）確定實數(shù)的所有可能取值，使得存在，當時，恒有． 【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）． 【解析】（I），． 由得解得． 故的單調遞增區(qū)間是． （II）令，．則有． 當時，，所以在上單調遞減，故當時，，即當時，． （III）由（II）知，當時，不存在滿足題意． 當時，對于，有，則，從而不存在滿足題意． 當時，令，，則有． 由得，． 解得，． 當時，，故在內單調遞增． 從而當時，，即， 綜上，的取值范圍是． 變式訓練2.【2016高考新課標Ⅲ文數(shù)】設函數(shù). （1）討論的單調性；（2）證明當時，；（3）設，證明當時，. 解析：（Ⅰ）由題設，的定義域為，，令，解得. 當時，，單調遞增；當時，，單調遞減. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在處取得最大值，最大值為，所以當時，. 故當時，，，即. （Ⅲ）由題設，設，則，令，解得. 當時，，單調遞增；當時，，單調遞減. 由（Ⅱ）知，，故，又，故當時，. 所以當時，. 考點3.構造函數(shù)與二次求導 【例3】設函數(shù)(其中). (Ⅰ) 當時,求函數(shù)的單調區(qū)間；(Ⅱ) 當時,求函數(shù)在上的最大值. 解析：(Ⅰ) 當時, , 令,得, 當變化時,的變化如下表: 極大值 極小值 右表可知,函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,. (Ⅱ) ,令,得,, 令,則,所以在上遞增, 所以,從而,所以 所以當時,；當時,； 所以， 令,則,令,則， 所以在上遞減,而， 所以存在使得,且當時,,當時,,所以在上單調遞增,在上單調遞減. 因為,. 所以在上恒成立,當且僅當時取得“”. 綜上,函數(shù)在上的最大值. 【歸納總結】二次求導的原因是導函數(shù)無法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導可以化解很多一次求導函數(shù)零點“求之不得”的問題。 變式訓練3.（2012年全國卷）設函數(shù)． （1）求的單調區(qū)間；（2）若，為整數(shù)，且當時，，求的最大值． 解 （1）的定義域為，． 若，則，在上單調遞增；若，則當時，；當時，．故在上單調遞減，在上單調遞增． （2）由于，所以． 故當時，等價于① 令，則，由（1）知函數(shù)在上單調遞增．而，，所以在內存在唯一的零點，故在內存在唯一的零點，設此零點為，則． 當時，；當時，，所以在內的最小值為．又由，可得，所以． 由于①式等價于，故整數(shù)的最大值為2． 變式訓練4.（2014年山東卷）設函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）． （1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間； （2）若函數(shù)在內存在兩個極值點，求的取值范圍． 解 （1）函數(shù)的定義域為，．由可得，所以當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，函數(shù)單調遞增．所以的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為． （2）由（Ⅰ）知，時，函數(shù)在內單調遞減，即函數(shù)在在內不存在極點，故． 因為， 記．若函數(shù)在內存在兩個極值點，則有兩個零點． 因為，當時，在內成立，為單調遞增函數(shù)，在內不存在兩個極值點．當時，在內成立，為單調遞減函數(shù)，在內成立，為單調遞增函數(shù)．所以函數(shù)的最小值為． 若在內存在兩個極值點，當且僅當，解得． 綜上，在內存在兩個極值點時，的取值范圍為． 【基礎練習鞏固】 1．設函數(shù)滿足，，則時，（ ） A．有極大值，無極小值 　B．有極小值，無極大值 C．既有極大值又有極小值　　　　　D．既無極大值也無極小值 解析：由題意,令,則,且， 因此． 令，則， 所以時，；時，．從而有，即，所以當時，是單調遞增的，既無極大值也無極小值．答案D． 2．設函數(shù)，其中． （1）當時，證明不等式； （2）設的最小值為，，證明． 證明：（1）設，則． 當 時，，在上是增函數(shù)． 所以當時，，即．所以成立． 同理可證．所以． （2）由已知得函數(shù)的定義域為，且，令，得．當時，，函數(shù)在上單調遞減； 當時，，函數(shù)在上單調遞增． 所以的最小值， 將代入，得，即. 所以，即． 3． 已知函數(shù)，證明: 當且時． 解析: 設，構造函數(shù)，則 ． 當時可得，而，故當 時，遞減． 所以得． 當 時，，而，故當時，遞減． 所以，可得． 綜上， 當且時． 4.【2016高考新課標2理數(shù)】 (Ⅰ)討論函數(shù)的單調性，并證明當時，； (Ⅱ)證明：當時，函數(shù)有最小值.設的最小值為，求函數(shù)的值域． 解析：（Ⅰ）的定義域為. 且僅當時，，所以在單調遞增，因此當時，所以 （II） 由（I）知，單調遞增，對任意因此，存在唯一使得即，當時，單調遞減；當時，單調遞增. 因此在處取得最小值，最小值為 于是，由單調遞增 所以，由得 因為單調遞增，對任意存在唯一的 使得所以的值域是 綜上，當時，有，的值域是