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考點一點、直線與圓的位置關(guān)系(5年0考)例1(2018泰安中考)如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標為(3，4)，點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA，PB與x軸分別交于A，B兩點，若點A，點B關(guān)于原點O對稱，則AB的最小值為()A．3B．4C．6D．8,【分析】通過作輔助線得OP為Rt△APB斜邊上的中線，再通過勾股定理進行求解可得．,【自主解答】如圖，連接OP，則OP為Rt△APB斜邊上的中線，∴AB＝2OP.連接OM，則當點P為OM與⊙M的交點時，OP最短，則AB也最短．根據(jù)勾股定理得OM＝＝5，∴OP＝OM－PM＝5－2＝3，∴AB＝2OP＝6，即AB的最小值為6.,1．已知在平面直角坐標系內(nèi)，以點P(－2，3)為圓心，2為半徑的圓P與x軸的位置關(guān)系是()A．相離B．相切C．相交D．相離、相切、相交都有可能,A,2．已知∠BAC＝45，一動點O在射線AB上運動(點O與點A不重合)，設(shè)OA＝x，如果半徑為1的⊙O與射線AC有公共點，那么x的取值范圍是()A．0＜x≤1B．1≤x＜C．0＜x≤D．x＞,C,考點二切線的性質(zhì)與判定(5年4考)命題角度?切線的性質(zhì)例2(2018泰安中考)如圖，BM與⊙O相切于點B，若∠MBA＝140，則∠ACB的度數(shù)為()A．40B．50C．60D．70,【分析】連接OA，OB，由切線的性質(zhì)知∠OBM＝90，從而得∠BAO＝∠ABO＝50，由內(nèi)角和定理知∠AOB＝80，根據(jù)圓周角定理可得答案．,【自主解答】如圖，連接OA，OB，則OB⊥BM，∴∠BAO＝∠ABO＝∠MBA－∠OBM＝140－90＝50，∴∠AOB＝180－502＝80，∴∠ACB＝∠AOB＝40.故選A.,利用切線的性質(zhì)解決問題時，常連接切點與圓心，構(gòu)造垂直，然后通過勾股定理、解直角三角形或相似解題．,3．已知圓O的半徑為R，AB是圓O的直徑，D是AB延長線上一點，DC是圓O的切線，C是切點，連接AC，若∠CAB＝30，則BD的長為(),C,4．(2018東營中考)如圖，CD是⊙O的切線，點C在直徑AB的延長線上．(1)求證：∠CAD＝∠BDC；(2)若BD＝AD，AC＝3，求CD的長．,(1)證明：如圖，連接OD.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90.又∵CD是⊙O的切線，∴∠ODC＝90，,∴∠BDC＋∠ODB＝90，∠1＋∠ODB＝90，∴∠1＝∠BDC.又∵OA＝OD，∴∠1＝∠CAD，∴∠CAD＝∠BDC.,命題角度?切線的判定例3(2017濱州中考)如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線交BC于點F，交△ABC的外接圓⊙O于點D；連接BD，過點D作直線DM，使∠BDM＝∠DAC.(1)求證：直線DM是⊙O的切線；(2)求證：DE2＝DFDA.,【分析】(1)連接DO，并延長交⊙O于點G，連接BG，利用內(nèi)心的定義及圓周角定理即可證明；(2)連接BE，先證明DB＝DE，再通過△DBF∽△DAB得出結(jié)論．,【自主解答】(1)如圖1，連接DO，并延長交⊙O于點G，連接BG.∵點E是△ABC的內(nèi)心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠G＝∠BAD，∠BDM＝∠DAC，∴∠BDM＝∠G.,∵DG為⊙O的直徑，∴∠GBD＝90，∴∠G＋∠BDG＝90，∴∠BDM＋∠BDG＝90，∴直線DM是⊙O的切線．,(2)如圖2，連接BE.∵點E是△ABC的內(nèi)心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠CAD，∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE.,∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，即BD2＝DFDA.∴DE2＝DFDA.,切線的判定方法(1)“連半徑，證垂直”：若直線與圓有公共點，則連接圓心與交點得到半徑，證明半徑與直線垂直．(2)“作垂直，證等徑”：若未給出直線與圓的公共點，則過圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長等于半徑．在判定時，必須說明“是半徑”或“點在圓上”，這是最容易犯錯的地方．,5．(2018濰坊中考)如圖，BD為△ABC外接圓⊙O的直徑，且∠BAE＝∠C.(1)求證：AE與⊙O相切于點A；(2)若AE∥BC，BC＝2，AC＝2，求AD的長．,(1)證明：如圖，連接OA交BC于點F，則OA＝OD，∴∠D＝∠DAO.∵∠D＝∠C，∴∠C＝∠DAO.∵∠BAE＝∠C，∴∠BAE＝∠DAO.∵BD是⊙O的直徑，∴∠DAB＝90，即∠DAO＋∠OAB＝90，∴∠BAE＋∠OAB＝90，即∠OAE＝90，∴AE⊥OA，∴AE與⊙O相切于點A.,6.(2018濱州中考)如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，AD⊥CD于點D，且AC平分∠DAB.求證：(1)直線DC是⊙O的切線；(2)AC2＝2ADAO.,證明：(1)如圖，連接OC.∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC.由題意可知OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD.又∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90，∴∠ADC＝∠OCD＝90，∴直線DC是⊙O的切線．,(2)如圖，連接BC.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90，∴∠ACB＝∠ADC＝90，∠DAC＝∠BAC，∴△ADC∽△ACB，∴∴AC2＝ADAB，∴AC2＝2ADAO.,考點三三角形的內(nèi)切圓(5年0考)例4(2018威海中考)如圖，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足為D，⊙E是△ACD的內(nèi)切圓，連接AE，BE，則∠AEB的度數(shù)為．,【分析】連接EC.首先證明∠AEC＝135，再證明△EAC≌△EAB即可解決問題．,【自主解答】如圖，連接EC.∵E是△ADC的內(nèi)心，∴∠AEC＝90＋∠ADC＝135.在△AEC和△AEB中，∴△EAC≌△EAB，∴∠AEB＝∠AEC＝135.故答案為135.,7．(2017武漢中考)已知一個三角形的三邊長分別為5，7，8，則其內(nèi)切圓的半徑為(),C,8．(2018婁底中考)如圖，P是△ABC的內(nèi)心，連接PA，PB，PC，△PAB，△PBC，△PAC的面積分別為S1，S2，S3.則S1___S2＋S3.(填“＜”“＝”或“＞”),＜,考點四圓的綜合題百變例題(2018廣西中考)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠CBG＝∠A，CD為直徑，OC與AB相交于點E，過點E作EF⊥BC，垂足為F，延長CD交GB的延長線于點P，連接BD.(1)求證：PG與⊙O相切；(2)若，求的值；(3)在(2)的條件下，若⊙O的半徑為8，PD＝OD，求OE的長．,【分析】(1)要證PG與⊙O相切只需證明∠OBG＝90，由∠A與∠BDC是同弧所對圓周角，∠BDC＝∠DBO可得∠CBG＝∠DBO，結(jié)合∠DBO＋∠OBC＝90即可得證；,【自主解答】(1)如圖，連接OB，則OB＝OD，∴∠BDC＝∠DBO.∵∠BAC＝∠BDC，∠BAC＝∠GBC，∴∠GBC＝∠BDC.∵CD是⊙O的直徑，∴∠DBO＋∠OBC＝90，∴∠GBC＋∠OBC＝90，∴∠GBO＝90，∴PG與⊙O相切．,變式1：若CD＝6，∠PCB＝30.(1)求證：△PBD∽△PCB；(2)點Q在半圓DAC上運動，填空：①當DQ＝時，四邊形DQCB的面積最大；②當DQ＝時，△DBC與△DQC全等．,(1)證明：如圖，連接OB.∵PB是⊙O的切線，OB是半徑，∴OB⊥PB，∴∠PBO＝90，∴∠PBD＋∠DBO＝90.∵CD是直徑，∴∠DBC＝90，∴∠BCD＋∠BDC＝90.,∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠BDC，∴∠BCD＋∠DBO＝90，∴∠PBD＝∠BCD.又∵∠P＝∠P，∴△PBD∽△PCB.,(2)解：①3.提示：當點Q運動到OQ⊥CD時，四邊形BDQC的面積最大．如圖，連接DQ，CQ.∵OD＝OC，OQ⊥CD，∴DQ＝CQ.∵CD是直徑，∴∠DQC＝90，∴△DQC是等腰直角三角形，,變式2：若BD＝BC，PC＝3，求PB的長．,