中考數學 知識點聚焦 第二章 實數
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第二章 實數 高頻考點 考查頻率 所占分值 1.實數的有關概念 ★★ 2.實數的運算 ★★ 3.實數與數軸 ★ 3~5分 4.無理數的估算 ★ 5.無理數的識別 ★★★ 知能圖譜 平方根與立方根 平方根 立方根 實數與數軸的關系→實數與數軸上的點一一對應 有理數 正有理數 0 實數 實數的分類 負有理數 無理數無限不循環(huán)小數 實數的運算及運算律 實數的大小比較 第3講 平方根與立方根 知識能力解讀 知能解讀 (一)算術平方根、平方根的定義及性質 1.算術平方根的定義、表示及性質 (1)定義:一般地,如果一個正數的平方等于,即,那么這個正數叫作的算術平方根.規(guī)定:0的算術平方根是0. (2)表示方法:的算術平方根記作,讀作“根號”,叫作被開方數. (3)性質:一個非負數的算術平方根的平方等于它本身,即. 注意:與的區(qū)別與聯(lián)系 (1)區(qū)別:①是先開方再求平方;是先求平方再開方,兩者運算順序不同.②中 的取值范圍是,中 取正數、零、負數都可以. (2)聯(lián)系:當時,. 2.平方根的定義及性質 (1)定義:一般地,如果一個數的平方等于,那么這個數叫作的平方根或二次方根.這就是說,如果,那么叫作的平方根. (2)表示方法:正數的平方根表示為,讀作“正、負根號”. (3)性質:正數有兩個平方根,它們互為相反數;0的平方根是0;負數沒有平方根. 3.開平方運算 求一個數的平方根的運算,叫作開平方.平方與開平方互為逆運算.根據這種互逆關系,可以求一個數的平方根.如的平方為,所以,16的平方根為,即. 4.平方根與算術平方根的區(qū)別及聯(lián)系 (1)區(qū)別: ①定義不同:“一個正數”與“一個數”含義不同. ②個數不同:一個正數有兩個平方根,而一個正數的算術平方根只有一個. ③表示方法不同:正數的平方根表示為,正數的算術平方根表示為. (2)聯(lián)系: ①具有包含關系:平方根包含算術平方根,算術平方根是平方根中的一種. ②存在條件相同:平方根和算術平方根都只有非負數才有. ③0的平方根、算術平方根均為0. ④可以利用平方和開平方的互逆關系求一個非負數的算術平方根和平方根. 5.平方根(或算術平方根)的幾個結論 (1)式子有意義的條件為; (2)表示的算術平方根,是非負數,即. (二)立方根的定義及性質 (1)定義:一般地,如果一個數的立方等于,那么這個數叫作的立方根或三次方根.這就是說,如果,那么叫作的立方根. (2)表示方法:的立方根(或三次方根)表示為,其中 為被開方數,“”中的3為根指數(根指數3不能省略);讀作“三次根號”或“ 的立方根”. (3)性質:正數的立方根是正數,負數的立方根是負數,0的立方根是0. (4)有關立方根的補充說明和公式: ①在中,被開方數可為正數、零、負數,且的正負與一致;②;③. (5)開立方:求一個數的立方根的運算,叫作開立方. 開立方與立方是互為逆運算的關系,負數(在實數范圍內)不能開平方,但可以進行開立方運算.如的立方為,即,反過來,的立方根為,即;3的立方為27,即,反過來,27的立方根為3,即. (6)平方根與立方根的區(qū)別與聯(lián)系: 名稱 內容 平方根 立方根 表示方法 區(qū)別個數 正數有兩個平方根,0的平方根是0,負數沒有平方根 任意數都只有一個立方根 被開方數 非負數 任意數 聯(lián)系 ①都是開方運算的結果;②0的平方根、立方根都是0 (三)用計算器求平方根或立方根 (1)利用計算器求一個非負數的算術平方根時,只需要直接按書寫順序按鍵即可;求一個非負數的平方根時,則先求出它的算術平方根,再在前面添加符號.(不同計算器有不同的按鍵順序) 注意:(1)用計算器求一個非負數的負的平方根時,一般先求出算術平方根,然后再求其相反數,即負的平方根. (2)被開方數是分數時應化為小數;被開方數后面的0或小數點后的0比較多時,可先寫成科學記數法的形式,再根據將被開方數化簡. (2)利用計算器求一個數的立方根時,只需要直接按書寫頃序按鍵即可,若遇到被開方數是負數時,“-”的輸入可按,也可以按. 方法技巧歸納 方法技巧 (一)平方根與立方根的求法 我們知道,平方與開平方、立方與開立方都互為逆運算,根據這種互逆關系,可以求一個數的平方根和立方根. (二)平方根與立方根性質的應用 平方根的性質:一個正數有兩個平方根,0的平方根是0,負數沒有平方根,即只有非負數才有平方根. 立方根的性質:一個正數有一個正的立方根,一個負數有一個負的立方根,0的立方根是0. (三)算術平方根與立方根的綜合應用 (四)用計算器求算術平方根、立方根 (五)根據一個數的平方根求這個數 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.混淆與. 表示的算術平方根,可以取任意實數;表示的算術平方根的平方,只能取非負數. 2.混淆平方根與立方根的性質. 性質 名稱 正數 負數 0 平方根 有兩個平方根 沒有平方根 0 立方根 一個正的立方根 一個負的立方根 0 注意:開平方時,被開方數要大于或等于0;開立方時,被開方數可以是任意實數. 3.誤認為負數沒有立方根. 任何數都有立方根,正數的立方根是正數,負數的立方根是負數,0的立方根是0. 易混易錯 (一)審題不認真,忽視語言敘述中含有的運算 (二)混淆平方根與算術平方根 (三)在求形如“”的等式中的值時易漏掉為負值的情況 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講是中考的熱點內容,注重考查對概念、性質和意義的理解,如平方根、算術平方根的概念以及它們的性質和意義,另外對算術平方根非負性的考查也是重中之重,題型以填空題、選擇題為主,有時也與其他知識點綜合以解答題的形式出現. 中考試題 (一)平方根、立方根、算術平方根的概念、性質 (二)算術平方根的非負性 第4講 實數 知識能力解讀 知能解讀 (一)無理數、實數的定義及分類 1.無理數的定義 無限不循環(huán)小數叫作無理數. 點撥:判斷一個數是不是無理數,應看這個數是否滿足“小數”“無限”和“不循環(huán)”這三個條件. 2.實數的定義及分類 有理數和無理數統(tǒng)稱實數,實數分類如下: (1)按定義分類 實數 (2)按性質分類 正實數 正有理數 實數 正無理數 零 負實數 負有理數 負無理數 (二)實數的有關性質 數的范圍從有理數擴充到實數以后,實數范圍內的相反數、絕對值的意義和有理數范圍內的相反數、絕對值的意義完全一樣. (1)實數的相反數為;0的相反數是其本身;若與互為相反數,則,反之亦然. (2)實數的絕對值表示為;一個正實數的絕對值是它本身,一個負實數的絕對值是它的相反數,0的絕對值是0,即. (3)實數與數軸上的點是一一對應的,每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示;反過來,數軸上的每一個點都表示一個實數. 點撥:已知實數,在數軸上對應的點分別為,,則用,分別表示點、點到原點的距離;表示點到點的距離.這是絕對值的幾何意義. 與規(guī)定有理數的大小一樣,對于數軸上的兩個點,右邊的點表示的實數總比左邊的點表示的實數大. (三)實數的運算 實數和有理數一樣,可進行加、減、乘、除、乘方、開方運算;有理數范圍內的運算律、運算法則在實數范圍內仍適用. 交換律:,; 結合律:,; 分配律:. (四)實數的大小比較 (1)數軸比較法: (2)代數比較法; (3)差值比較法; (4)商值比較法; (5)倒數比較法:若,,,則; (6)平方比較法:若,,,則; (7)開方比較法:若,,,則; (8)估算法:在實數的大小比較中,當遇到無理數時,可以按照所要求的精確度用相應的近似有限小數去代替,再進行比較. 方法技巧歸納 方法技巧 (一)無理數的識別 識別無理數,常常與有理數綜合在一起進行辨析,主要把握“無限”和“不循環(huán)”兩個特點. 初中所學的無理數歸納起來有三類: (1)開方開不盡的數的方根,如;(2)化簡后含有的數,如;(3)特殊結構的無限不循環(huán)小數(構造型的無理數),如(相鄰兩個2之間依次多一個0). (二)實數大小比較的方法 實數的大小比較包括有理數的大小比較和無理數的大小比較,另外還包括有理數與無理數的大小比較.有時綜合多個知識點進行考查.常用的方法有特殊值法、平方法等. (三)實數與數軸的關系 所有的有理數都可以用數軸上的點來表示,但數軸上的點不全表示有理數,因此有理數與數軸上的點之間不是一一對應關系;所有的無理數都能用數軸上的點來表示,但數軸上的點并不都表示無理數,所以無理數與數軸上的點也不是一一對應關系;數軸上的每一個點都表示實數,且所有的實數都能用數軸上的點來表示,所以實數與數軸上的點是一一對應關系. 拓展:有序實數對與坐標平面上的點之間也是一一對應關系. (四)實數的運算 當數的范圍從有理數擴充到實數以后,實數之間不僅可以進行加、減、乘、除(除數不為0)、乘方運算,而且正數及0可以進行開平方運算,任意一個實效可以進行開立方運算.在進行實數運算時,有理數的運算法則及運算律等同樣適用. (五)實數性質的應用 (六)借助數軸化簡 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.對無理數的概念理解不透徹,只看表面形式. (1)帶根號的不一定都是無理數,如是有理數; (2)不帶根號的不一定不是無理數,如是無理數. 2.誤認為有分數線的數就是分數,導致判斷失誤,如不是分數,它是無理數. 3.混淆有理數與數軸和實數與數軸的關系,誤認為有理數和數軸上的點也是一一對應的. 易混易錯 混淆無理數與有理數 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講主要考查實數的概念、性質及計算,尤其是實數的大小比較、實數與數軸的關系、實數中的新定義運算及規(guī)律探究等,是中考熱點,無理數的估算是近幾年中考的熱點題目.題型以填空題、選擇題為主. 中考試題 (一)實數的大小比較 (二)無理數的估算 (三)無理數的識別 (四)實數的運算 (五)實數中的新定義題 (六)實數運算中的規(guī)律探究問題(探究性考點)- 配套講稿:
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- 中考數學 知識點聚焦 第二章 實數 中考 數學 知識點 聚焦 第二
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