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第十一章　三角形 1.理解三角形及三角形的有關線段(邊、高、中線、角平分線)的概念,證明三角形兩邊的和大于第三邊,了解三角形的重心的概念,了解三角形的穩(wěn)定性. 2.理解三角形的內角、外角的概念,探索并證明三角形內角和定理,探索并掌握直角三角形的兩個銳角互余,掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形,掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和. 3.了解多邊形的相關概念(邊、內角、外角、對角線、正多邊形),探索并掌握多邊形的內角和與外角和公式. 1.在學習三角形的有關線段時,要掌握好三角形的高、中線、角平分線的定義,最主要的是它們的性質以及利用它們解決實際問題. 2.三角形的內角和是學生學過的知識,可以借助復習舊知識,達到學生學習新知識的目的,不僅起到復習的作用,也可以靈活地掌握好新知識. 3.掌握多邊形內角和的公式,并能利用它解決有關多邊形的問題. 4.指導學生掌握好多邊形內角和與外角和之間的聯(lián)系,并能利用它們解決一些數學問題. 1.三角形的這部分知識在小學階段已經學習,通過復習,可提高學生的學習興趣,也可增加學生學習的自信心. 2.在教學中,通過同學之間的互相提問,小組的交流、研討,提高同學們的合作精神. 3.在學習多邊形的內外角和中,通過一些實物的圖片,感知到數學來源于實際,也應用于實際. 三角形是一種基本的幾何圖形,是構建多邊形知識體系的基礎,也是學習各種特殊三角形,如等腰三角形、直角三角形與平行四邊形等圖形知識的基礎,在解決實際問題中有著廣泛的應用.本章在線段與角、相交線與平行線的基礎上介紹三角形的概念與性質,進而研究多邊形的概念與性質.在本章中,學生將進一步學習通過推理得出數學結論的方法,提高推理能力. 本章首先介紹三角形的有關概念和性質,分為三節(jié): 11.1節(jié)研究與三角形有關的線段.首先結合引言中的實際例子給出三角形的概念,進而研究三角形的分類.對于三角形的邊,證明了三角形兩邊的和大于第三邊,然后給出三角形的高、中線與角平分線的概念,同時結合三角形的中線介紹了三角形的重心概念,最后結合實際例子介紹三角形的穩(wěn)定性. 11.2節(jié)研究與三角形有關的角.對于三角形的內角,證明了三角形內角和定理;然后由這個定理推出直角三角形的性質“直角三角形的兩個銳角互余”;最后給出三角形的外角的概念,并由三角形內角和定理推出“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”. 11.3節(jié)接著介紹多邊形的有關概念與多邊形的內角和、外角和公式.三角形是多邊形的一種,本章借助三角形介紹多邊形的有關概念,如多邊形的邊、內角、外角、內角和都由三角形的有關概念推廣而來. 【重點】 1.掌握好三角形的高、中線、角平分線的定義,并能畫出這三種線段. 2.知道三角形具有穩(wěn)定性,并能利用這種性質解釋生活中的一些現象. 3.知道三角形及多邊形的內角和計算方法與外角和度數,并能利用它們求解出有關三角形度數的問題. 【難點】 1.對于鈍角三角形的三條高線,能準確畫出. 2.能利用多邊形的內角和公式或外角和,求解出有關多邊形的問題,如求邊數、角度等問題. 3.能解決有關三角形及多邊形的綜合性問題. 在認識三角形的過程中,要注意讓學生理解三角形的基本元素和各類三角形的特征,要鼓勵學生自主探索,大膽猜想,讓學生通過剪一剪、拼一拼、做一做等活動探索發(fā)現有關結論.與三角形有關的一些概念在本章中只要求達到理解的程度,進一步要求可通過后續(xù)學習達到.如對于三角形的角平分線,在本章中只要知道它的定義,能夠從定義得出角相等就可以了.學生畫角平分線時發(fā)現三條角平分線交于一點,可直接肯定這個結論,同樣,三角形的三條中線交于一點的結論也可直接點明. 要讓學生在操作的過程中探索三角形的內角和與外角和.對于三角形的穩(wěn)定性,要讓學生通過實踐去感受;待以后學過“三邊分別相等的兩個三角形全等”,可進一步明白其中的道理.對于多邊形的內角和與外角和,要讓學生在觀察和類比中總結結論,培養(yǎng)學生的數學推理能力,做到合情推理和演繹推理的有機結合. 鑲嵌作為數學活動的內容安排在本章的最后,學習這個內容要用到多邊形的內角和公式,通過這個數學活動,學生可以經歷從實際問題抽象出數學問題,建立數學模型,綜合應用已有知識解決問題的過程,從而加深對相關知識的理解,提高思維能力. 11.1 　與三角形有關的線段 11.1.1　三角形的邊(1課時) 11.1.2　三角形的高、中線與角平分線(1課時) 11.1.3　三角形的穩(wěn)定性(1課時) 3課時 11.2　與三角形有關的角 11.2.1　三角形的內角(2課時) 11.2.2　三角形的外角(1課時) 3課時 11.3　多邊形及其內角和 11.3.1　多邊形(1課時) 11.3.2　多邊形的內角和(1課時) 2課時 單元復習 1課時 11.1　與三角形有關的線段 1.能正確地利用三角形的三邊關系,判斷所給的三條線段能否組成三角形. 2.掌握好三角形的高、中線、角平分線的定義,能畫出這三條線段,并能靈活準確地應用這三條線段的性質解決問題. 3.掌握好三角形的穩(wěn)定性在實際生活中的運用. 1.經歷擺三角形,畫三角形、測量三角形的三邊長度的過程,培養(yǎng)學生自主、合作、探索的學習方式,并鍛煉其發(fā)現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力. 2.在學習三角形的穩(wěn)定性時,可結合實際情況,讓學生感受到數學與生活實際的聯(lián)系. 3.三角形的重心在教學中可結合實際物體,讓 學生通過觀察與實踐找到物體重心. 聯(lián)系學生的生活環(huán)境,創(chuàng)設情景,使學生通過觀察、操作、交流、歸納,獲得必需的數學知識,讓學生體會用數學思想方法解決生活中的實際問題的意義,激發(fā)學生的學習興趣. 【重點】 1.三角形三邊關系和高、中線、角平分線的運用. 2.三角形穩(wěn)定性的應用. 【難點】 1.在具體的圖形中不重復且不遺漏地識別所有三角形. 2.用三角形三邊不等關系判定三條線段可否組成三角形. 3.鈍角三角形高的畫法. 11.1.1　三角形的邊 1.掌握三角形的定義,并能正確地表示出三角形,以及三角形的邊、角、頂點等表示方法. 2.能正確地進行三角形的分類. 3.掌握三角形的三邊關系,并能利用此關系判定已知三條線段能否構成三角形. 1.通過復習以前的知識,讓學生更加容易接受新知識,并能提高學習的積極性,增加學習數學的信心. 2.在講解三角形的分類時,可結合圖形,讓同學們更直觀地接受新知識. 3.在利用三角形的三邊關系解答問題時,要注意讓學生有分類討論的思想,這也是數學思想中的一個很重要的思想. 1.通過三角形三邊關系的教學,培養(yǎng)學生的探索精神及分類討論的思想. 2.通過本課的教學,能夠讓學生們知道數學知 識體系的連貫性及繼承性. 3.在教學的過程中,培養(yǎng)學生勇于探索,敢于質疑的精神. 【重點】　掌握三角形的分類及三角形的三邊關系. 【難點】　利用三角形的三邊關系解答綜合性問題. 【教師準備】　三根有刻度的小棒. 【學生準備】　有刻度的直尺. 導入一: 同學們,你們看這個圖案美麗嗎?這個圖案主要是由什么圖形構成的?(學生議論后)我們本節(jié)課要繼續(xù)學習三角形的相關知識.　　　　 導入二: (老師拿出三根不能拼成三角形的小棒)同學們請看,老師手中的三根小棒能首尾相搭組成一個三角形嗎? [設計意圖]　學生此時對三角形三邊關系的認識還是粗淺的,容易誤認為任意長度的三根小棒都能按照要求拼出三角形.同時老師強調首尾相搭,也暗示了對三角形定義的啟發(fā),這就為學生認識和探索三角形三邊關系做了鋪墊. 　　[過渡語]　在小學的時候,我們僅僅是從形狀和角的方面去認識了三角形.如果有人問,什么是三角形?三角形又怎么表示呢?你能做出回答嗎?希望大家在接下來的學習中能夠解決這些問題. 一、三角形的相關概念 1.三角形的概念. 【學生活動一】　(1)在一張紙上任意畫三條線段;(2)在同一條直線上任意畫三條線段. 【問題思考】　任意畫的三條線段都能組成三角形嗎?怎樣才能組成一個三角形? [設計意圖]　幫助學生初步領會構成三角形的基本條件之一,即不在同一條直線上的三條線段才能組成三角形. 【學生活動二】　判斷下列由三條線段組成的圖形是不是三角形. [設計意圖]　三角形概念的獲得,要讓學生經歷其描述的過程,借此培養(yǎng)學生的語言表述能力,加深學生對三角形概念的理解. 三角形定義:由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形. [知識拓展]　 三角形的特征:三條線段;不在同一條直線上;首尾順次相接.這三點表明三角形是一個封閉的圖形. 2.三角形的表示方法. “三角形”可用符號“Δ”表示,如圖所示,頂點(相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點)是A,B,C的三角形,記作ΔABC,讀作“三角形ABC”.∠A,∠B,∠C是ΔABC的三個角(相鄰兩邊組成的、位于三角形內部的角叫做三角形的內角,簡稱三角形的角);ΔABC的三邊(組成三角形的線段叫做三角形的邊)分別是AB,BC,CA,有時也可用小寫字母來表示,頂點A,B,C所對的邊分別可用a,b, c來表示,即AB可用c表示,BC可用a表示,CA可用b表示. 二、三角形的分類 　　[過渡語]　三角形的形狀多種多樣,對多種多樣的三角形,怎樣進行分類呢? 思路一 【生】　銳角三角形,鈍角三角形,直角三角形. 【師】　剛才大家的分類是按照三角形角的特點劃分的,大家還有什么別的分類方法嗎? 【生】　可以按照三角形的邊長進行分類. 【師】　是根據不同的三角形邊的長度進行分類,還是同一個三角形的邊長特點進行分類? 【生】　在同一個三角形之內. 【師】　按照邊長進行分類,你想的分類標準是什么呢? 【生】　根據是否有相等的邊. 【師】　按照這種分類方法,可以把三角形分為哪兩大類? 【生】　三邊都不相等的三角形和等腰三角形. 【師】　在等腰三角形中,什么樣的邊是腰呢?等腰三角形的邊和角有什么特殊的稱呼嗎? 【生】　在等腰三角形中,相等的兩邊都叫做腰,另一邊叫做底邊,兩腰的夾角叫做頂角,腰和底邊的夾角叫做底角. 【師】　按照有沒有相等的邊對三角形進行分類,等邊三角形應該劃到哪一類當中? 【生】　等腰三角形. 【師】　根據剛才的討論,大家整理下三角形的分類吧! [設計意圖]　三角形的分類,在小學階段已經學習過,只不過是比較淺顯的內容,所以這里在復習以前知識的基礎上進一步深入,特別要強調的是等邊三角形是特殊的等腰三角形. 思路二 　　[過渡語]　我們知道,按照三個內角的大小,可以將三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形,如果要按照邊的大小關系對三角形進行分類,又應該如何分呢?小組之間進行交流,并說說你們的想法. 【師生活動】　通過討論,學生類比按角的分類方法按邊對三角形進行分類,接著引出等腰三角形及等邊三角形的概念,引導學生了解等腰三角形與等邊三角形的聯(lián)系,強化學生對三角形按邊分類的理解. 在等腰三角形中,相等的兩邊都叫腰,另一邊叫底,兩腰的夾角叫頂角,腰與底邊的夾角叫底角. 三角形按邊分類: 三 [設計意圖]　通過這一活動的設計,提高學生分類討論和歸納概括的能力,加深學生對三角形按邊分類的理解. 三、三角形三邊之間的關系 　　[過渡語]　我們在前面把三角形按照邊進行分類,其實也是在研究三角形的三邊關系.現在我們換個角度,研究三角形兩條邊的和與第三條邊的關系. 探究一:三角形兩邊之和與第三邊之間的關系. 【情境引入】　如右圖三角形中,假設你要從點B出發(fā)沿著三角形的邊到點C,有幾條路線可選擇?各條路線的長一樣嗎? 【師生活動】　引導學生討論分析,得到兩條路線: (1)B直接到C,即BC. (2)先由B到A再到C,即BA+AC. 顯然,路線(1)中的BC要短一些,即BCAB-AC, BC>AC-AB,這就是說,三角形兩邊的差小于第三邊. [設計意圖]　引導學生用推導的方法驗證相關的結論,事實上探究二是對探究一的進一步深化,培養(yǎng)學生嚴密思維的習慣. 　　[過渡語]　學習了三角形三邊之間的關系問題,我們就可以利用它解決一些生活實際問題. 　(教材例題)用一條長為18 cm的細繩圍成一個等腰三角形. (1)如果腰長是底邊長的2倍,那么各邊的長是多少? (2)能圍成有一邊的長為4 cm的等腰三角形嗎?為什么? 〔解析〕　(1)設底邊長為x cm,則腰長為2x cm,根據周長列出一元一次方程,解方程即可求得各邊的長;(2)題中沒有指明4 cm是底邊長還是腰長,故應該分情況進行分析,同時注意利用三角形三邊關系進行檢驗. 解:(1)設底邊長為x cm, 則腰長為2x cm. 2x+2x+x=18,解得x=3.6. 所以三邊長分別為3.6 cm ,7.2 cm,7.2 cm. (2)①當4 cm為底邊長時,腰長為7 cm,任意兩邊之和都大于第三邊,故可以構成三角形. ②當4 cm為腰長時,底邊長為18-4-4=10(cm), ∵4+4<10,∴不能構成三角形,故舍去. ∴能構成底邊長為4 cm的等腰三角形,不能構成腰長為4 cm的等腰三角形. [知識拓展]　三角形兩邊之和是指任意兩邊之和.理論依據:兩點之間線段最短. 推論:由a+b>c,根據不等式的基本性質,得c-b4,而三條線段d=2 cm,e=3 cm,f=5 cm就不能組成三角形,因為2+3=5. [解題策略]　一般地,判斷三條線段能否組成一個三角形時,只需判斷兩條短的線段之和是否大于最長的線段即可,無需再從任意兩邊之和大于第三邊的角度進行判斷. 1.由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形. 2.三角形的分類:三邊都不相等的三角形和等腰三角形. 3.在一個三角形中,兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊. 注意:三角形任意兩邊和與第三邊的關系不包括等于這種關系.等邊三角形也是等腰三角形,等腰三角形的范圍要大于等邊三角形,且包含等邊三角形. 1.下列各組數可能是一個三角形的邊長的是(　　) 　　A.1,2,4 B.4,5,9 C.4,6,8 D.5,5,11 解析:以最長邊為第三邊,看其他兩邊之和是否大于最長邊,若大于則能構成三角形;若小于或等于則不能構成三角形.∵1+2<4,∴1,2,4不可能是一個三角形的三邊長;∵4+5=9,∴4,5,9不可能是一個三角形的三邊長;∵4+6>8,∴4,6,8能構成一個三角形的三邊長;∵5+5<11,∴5,5,11不可能構成一個三角形的三邊長.故選C. 2.如果一個三角形的兩邊長分別是2和4,則第三邊長可能是 (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:本題考查了三角形的三邊關系.選項A中2+2=4,不能構成三角形;選項C中2+4=6,不能構成三角形;選項D中2+4<8,不能構成三角形;只有選項B能構成三角形.本題也可以根據三角形的三邊關系先確定第三邊長x的取值范圍是24,能構成三角形.故選D.) 2.D(解析:∵已知三角形兩邊的長分別是1和2,∴第三邊長x的范圍是14,∴2 cm,3 cm,4 cm長的線段能組成三角形,選項A正確;∵2+3=5,∴2 cm,3 cm,5 cm長的線段不能構成三角形,選項B錯誤;∵2+5<10,∴2 cm,5 cm,10 cm長的線段不能構成三角形,選項C錯誤;∵4+4=8,∴8 cm,4 cm,4 cm長的線段不能構成三角形,選項D錯誤.故選A.) 4.C(解析:因為三角形的兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,所以第三邊長的取值范圍在2與8之間,注意不能等于2和8,根據選項在此之間的偶數只能是4,所以選擇C.) 5.解:①若2.5為腰長,則2.5+2.5=5,兩邊之和等于第三邊,所以不能構成三角形.②若5為腰長,則2.5+5=7.5>5,兩邊之和大于第三邊,所以能構成三角形.所以三角形的周長為2.5+5+5=12.5. 6.解:根據構成三角形的條件得:第三邊長的范圍為 3 cm<第三邊長<11 cm,則此三角形的周長范圍是14 cm<周長<22 cm. 7.解:由三角形三邊的大小關系可得3x+4x>21,且4x-3x<21,可解得3c,則a+b-c>0;ba,則c-a+b>0.根據正數的絕對值等于它的本身,負數的絕對值等于它的相反數,得原式=a+b-c-[-(b-a-c)]-(c-a+b)=a+b-c+b-a-c-c+a-b=a+b-3c. 本課是由日常生活情景引入的,這樣有利于增強學生的學習興趣,也能讓學生知道數學來源于實際,又反作用于實際. 本節(jié)的重點與難點均是三角形的三邊關系,要求學生能利用此定理判定所給的三條線段能否組成三角形,如果老師直接給出定理,學生的理解會不深.教案的設計思路是讓學生通過自己的思考得出結論,不是直接去接受結論,而是讓學生親自實踐,這樣既增強了學生的動手能力,也能讓他們更加深刻地理解三角形三邊關系定理:三角形兩邊的和大于第三邊,兩邊的差小于第三邊,還能讓他們在解答問題時,更加游刃有余. 在剛開始階段引入三角形的定義時,學生在畫三條線段的環(huán)節(jié)中,應該對所畫的線段提出不同的要求,這樣更有利于學生給三角形做出嚴密的定義.還有此處應該添加一些簡單的練習,讓學生即時練習,能讓他們更加深刻地接受三角形的有關定義,并能熟練地運用它們,為后續(xù)的學習打下良好的基礎. 在引入三角形的定義時,要更加嚴謹,如“由不在同一條直線上”這句話,老師要讓學生思考這樣說的原因,另外在定義教學后,即時給出一些練習,讓學生鞏固所學的知識,在講解三角形的分類時,也要這樣,給出些練習,讓學生鞏固,并加深對它們的理解. 在講解三角形的三邊關系時,可讓學生自己也準備一些這樣的帶刻度的小棒,讓每一位學生都參與進來,這次參與的學生少,只起到演示的作用了,還是多多給學生參與的機會為好. 練習(教材第4頁) 1.解:圖中有5個三角形,分別是ΔABC,ΔBCD,ΔBCE,ΔABE,ΔCDE. 2.解:(1)不能組成三角形,因為3+4<8,即兩條線段的和小于第三條線段,所以不能組成三角形.　(2)不能組成三角形,因為5+6=11,即兩條線段的和等于第三條線段,所以不能組成三角形.　(3)能組成三角形,因為任意兩條線段的和都大于第三條線段. 中學數學學習的是數學學科的基礎知識,而數學作為研究數量關系和空間形式的科學,是人們實踐中出現的種種數學現實的反映,也是人們不斷研究、創(chuàng)造的知識體系,是人們在各類科研和生產實踐中的有力工具,具有廣泛的應用性.數學教學必須重視揭示數學與客觀現實的密切聯(lián)系,揭示數學結論的真理性和真實性,揭示數學理論是怎么從現實世界中得到并不斷發(fā)展的,必須重視數學知識體系的條理性、邏輯性,也應該重視數學在實踐中的巨大作用. 　長為9,6,5,4的四根木條,選其中三根組成三角形,選法有 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　A.1種 B.2種 C.3種 D.4種 〔解析〕　四根木條中的三根的所有組合:9,6,5;9,6,4;9,5,4;6,5,4.根據三角形的三邊關系,得能組成三角形的有9,6,5;9,6,4和6,5,4.故選C. 〔方法指導〕　要把四根木條中的三根的所有組合列出來,再根據三角形的三邊關系判斷能組成三角形的組數. 11.1.2　三角形的高、中線與角平分線 1.讓學生了解三角形的高、中線、角平分線等有關概念. 2.掌握任意三角形的高、中線、角平分線的畫法. 3.能利用三角形的高、中線、角平分線的性質解決問題. 1.經歷畫、折等實踐操作活動過程,發(fā)展學生的空間觀念、推理能力及創(chuàng)新精神. 2.學會用數學知識解決實際問題,發(fā)展應用和自主探究意識,并培養(yǎng)學生的動手實踐能力. 1.鼓勵學生主動參與,感受成功的樂趣,體驗幾何知識在現實生活中的真實性,激發(fā)學生熱愛生活、勇于探索的思想感情. 2.通過對問題的解決,使學生有成就感,培養(yǎng)學生的合作精神,樹立學好數學的信心. 【重點】 1.了解三角形的高、中線與角平分線的概念,會用工具準確地畫出三角形的高、中線與角平分線. 2.了解三角形的三條高、三條中線與三條角平分線所在直線分別交于一點. 【難點】 1.三角形的角平分線與角平分線的區(qū)別,三角形的高與垂線的區(qū)別. 2.鈍角三角形高的畫法. 3.不同的三角形三條高的位置關系. 【教師準備】　三角板、直尺、量角器、本節(jié)課的課件. 【學生準備】　三角板、直尺、量角器、三角形紙片. 導入一: 如下圖,圖中右側支撐太陽能電池板的三角形支架有多高呢?這就涉及我們本節(jié)課所學的三角形高的問題. 導入二: 同學們,我們以前學習過了“過一點畫已知直線的垂線”,誰能說一說是怎樣畫的?(同學們紛紛發(fā)言,老師可讓幾名同學到黑板上演示一下,然后讓其他學生都拿出本來,過一點畫已知直線的垂線,注意畫法的規(guī)范性) 你們知道過三角形的一個頂點如何畫三角形的高嗎?這節(jié)課我們就來研究這個問題.(老師書寫板書) [設計意圖]　本節(jié)的知識與以前學習過的“過一點畫已知直線的垂線”的畫法有著非常大的聯(lián)系,此導入不僅復習了舊知識,也能對以后要學習的三角形的高起到預熱的作用. 導入三: (1)復習提問三角形的定義.(由三條線段首尾相接組成的圖形) (2)三角形的面積公式是什么? SΔ=ah. (3)你還記得三角形的高是怎么作出來的嗎?引出課題. [設計意圖]　直接從學生已有的知識出發(fā),既達到了復習舊知識的目的,也引入了本節(jié)的內容,此設計自然、簡捷. 　　[過渡語]　過三角形的一個頂點,你能畫出它的對邊的垂線嗎?(引出三角形的高) 一、 三角形的高 【學生活動一】　讓學生動手畫出一個銳角三角形的高,然后找學生描述三角形的高的畫法與定義. [設計意圖]　借助學生對問題的解決,喚醒學生對三角形的高的認識,有助于新知識的理解,并且發(fā)展學生的觀察力與語言表述能力. (教師總結三角形的高的定義并板書)從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線,頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線,簡稱為三角形的高. 如圖所示,在ΔABC中,AD⊥BC,點D是垂足,所以AD是ΔABC的一條高. 引導學生注意垂直符號的書寫. 　　[過渡語]　現在同學們已經會畫三角形的高了,用折紙的方法也可作出三角形的高,快拿出你們的三角形紙片,動手做一做. 【學生活動二】　讓學生拿出事先準備好的三角形紙片,用直尺與三角板作出這個三角形的三條高,然后用折紙的方法,觀察這三條高的位置關系,你有什么發(fā)現?如果已知三角形的一條高,你知道它是哪一條邊上的高嗎? [設計意圖]　同學們動手作出三角形的高,既培養(yǎng)了他們的動手操作能力,也能很方便地觀察到三角形的高相交于一點的事實. 【師生共同總結】　銳角三角形的三條高相交于一點,此點在銳角三角形的內部.如圖所示. 　　[過渡語]　銳角三角形的高我們可以畫出了,現在試試直角三角形的高怎么畫. 【學生活動三】　在紙上畫出一個直角三角形或通過折紙的方法,畫出它的三條高,它們有怎樣的位置關系? 將你的結果與同桌進行交流. [設計意圖]　通過同學們自己動手探索、研討,可以使他們對直角三角形的三條高有更深刻的認識,并提高同學們的合作意識. 【師生共同總結】　直角三角形的三條高交于一點,即是直角三角形的直角頂點.如圖所示. 　　[過渡語]　就差鈍角三角形的高了,同學們快試試吧! 【學生活動四】　畫一個鈍角三角形,讓學生嘗試畫出它的三條高,或通過折紙的方法找到它的三條高.觀察三條高,看它們有什么樣的位置關系. 為強調作圖,可進行投影.將BC與頂點A調節(jié)成閃爍的效果,且把底邊用虛線延長,引導學生自己作出不同三角形的高.在同學們發(fā)現作一條高時,一條邊不夠長的時候,教師要提示學生們,可以把所在邊的線段進行延長. [設計意圖]　鈍角三角形的三條高,對同學們來說,畫法是一個難點,為了突破難點,把幻燈片中的邊與對應頂點調節(jié)成閃爍的效果,且把底邊用虛線延長,幫助同學們畫出外面的兩條高線. 【師生共同總結】　鈍角三角形的三條高中,有兩條在外面,一條在內部,且它們所在直線交于一點. 如圖所示.　　 表述:如圖,因為AD是ΔABC的高(已知),所以AD⊥BC于D(或∠ADB=∠ADC=90). 因為AD⊥BC于D(或∠ADB=∠ADC=90)(已知),所以AD是ΔABC的邊BC上的高.(高的定義) [知識拓展]　鈍角三角形、銳角三角形、直角三角形都有三條高.銳角三角形的三條高在三角形的內部,相交于一點;直角三角形有兩條高與直角邊重合,另一條高在三角形內部,它們的交點是直角頂點;鈍角三角形有兩條高在三角形的外部,一條高在三角形內部,三條高不相交,但三條高所在的直線相交于三角形外一點. 二、三角形的中線 　　[過渡語]　你能畫一條線將三角形的面積平分嗎? (學生思考,嘗試,引出定義)下面我們就引入三角形的另一條特殊的線段——三角形的中線. 思路一 【學生活動一】　學生們動手畫圖,之后同桌之間研討,并且要同學們說出所畫出的線的特點?為什么它就能把三角形分成面積相等的兩部分呢?它是線段嗎? 【師生共同總結】　三角形中線的定義:連接三角形頂點和對邊中點的線段叫做三角形的中線. [設計意圖]　讓同學們自己動腦思考,這樣得出的結論,學生印象更深刻,對于知識的理解與掌握更全面. 【學生活動二】　讓學生任意畫出一個三角形,畫出這個三角形的三條中線,然后分析這三條中線的位置關系,同桌之間互相研討. (老師可多讓幾名同學發(fā)言,分別指出他們畫出的是什么樣的三角形,這樣三角形的任意性就有了)　　　　 【師生共同總結】　任意三角形的三條中線都交于一點,三角形三條中線的交點叫做三角形的重心. [設計意圖]　讓同學們自己得出三角形的三條中線交于一點的結論,并且在與同桌的研討中,體驗學習的樂趣與分享的快樂. 思路二 指導學生閱讀教材第4~5頁的內容,思考如下問題: (1)什么是三角形的中線? (2)三角形的中線有幾條? (3)三角形的三條中線是否相交于一點? (4)什么是三角形的重心? (5)一塊三角形的玻璃,利用圓規(guī)的尖腳,你能讓三角形玻璃平衡在圓規(guī)上面嗎? 表述:如圖,AD是ΔABC的邊BC上的中線(已知),所以BD=DC=BC或BC=2BD=2DC或D為BC的中點. 因為BD=DC=BC或BC=2BD=2DC或D為BC的中點(已知),所以線段AD為BC上的中線(中線定義). [知識拓展]　(1)一個三角形有三條中線,并且都在三角形內部,相交于一點. (2)三角形的中線是一條線段. (3)三角形的一條中線把三角形分成面積相等的兩個三角形. 三、三角形的角平分線 　　[過渡語]　三角形中除了三角形的高,三角形的中線之外還有沒有特殊的線段呢?答案是肯定的,還有一類線段就是三角形的角平分線.角的平分線同學們都已經會畫了,那你能不能畫出一個三角形的三個角的平分線呢?同學們快動手試試吧! 【學生活動】　同學們先畫出一個任意三角形,分別畫出一個三角形中的三個角的平分線,同時觀察這三條角平分線的位置有哪些特點. (要提醒學生三角形形狀的多樣性,同時要注意作圖的規(guī)范性,可用量角器量) 【師生共同總結】　三角形的角平分線定義:連接三角形頂點與該頂點內角平分線與對邊交點的線段叫三角形的角平分線. (最后老師要強調三角形的角平分線是三條線段,而一個角的平分線是一條射線) [設計意圖]　通過與以往角的平分線的畫法比較,學生會比較容易接受此定義,既復習了舊知識,也能促進對新知識的理解. 表述:如圖,因為BD是ΔABC的角平分線(已知),所以∠ABD=∠CBD=∠ABC. 因為∠ABD=∠CBD或∠CBD=∠ABC,或∠ABD=∠ABC(已知),所以線段BD是ΔABC的角平分線.(三角形的角平分線定義) [知識拓展]　(1)一個三角形有三條角平分線,并且都在三角形內部,相交于一點. (2)三角形的角平分線是線段,而角的平分線是一條射線. 　如圖,等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中線BD將這個等腰三角形的周長分成15和6兩部分,求這個三角形的腰長及底邊長. 〔解析〕　由題意可知,中線BD將ΔABC的周長分成AB+AD和BC+CD兩部分(注意不是AB+AD+BD和BC+CD+BD兩部分),故有兩個可能:(1)AB+AD=15且BC+CD=6;(2)AB+AD=6且BC+CD=15.再由AB=AC=2AD=2CD及三角形三邊關系知(1)成立,(2)不成立. 解:設AB=AC=2x,則AD=CD=x. (1)當AB+AD=15,BC+CD=6時, 有2x+x=15, 所以x=5,2x=10,BC=6-5=1. (2)當AB+AD=6,BC+CD=15時, 有2x+x=6. 所以x=2,2x=4,所以BC=13. 因為4+4<13,所以不能組成三角形. 答:三角形的腰長為10,底邊長為1. [解題策略]　涉及等腰三角形邊的問題時,常要分情況討論,然后看它們是否滿足三邊關系,不滿足的要舍去. [知識拓展]　(1)三角形三條高線所在直線交于一點,這一點常被稱為這個三角形的垂心. (2)三角形三條中線交于三角形內的一點,這一點叫做三角形的重心,取一塊質地均勻的三角形木板,用手指向上頂住三角形重心,木板會保持平衡. (3)三角形三條角平分線交點在三角形內部,它被稱為三角形內心. 1.三角形的高、中線、角平分線都是線段. 2.三角形的高(所在直線)、中線、角平分線都相交于一點,鈍角三角形的高線所在直線相交于三角形外一點. 1.如果一個三角形的三條高的交點恰好是三角形的一個頂點,那么這個三角形是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.等邊三角形 解析:銳角三角形三條高交于三角形的內部,鈍角三角形三條高所在直線交于三角形外部,只有直角三角形的高的交點在直角頂點.故選C. 2.在ΔABC中,已知點D,E,F分別是BC,AD,CE的中點,且SΔABC=4 cm2,則SΔAEF的值為(　　) A.2 cm2 B.1 cm2 C. cm2 D. cm2 解析:利用中線平分三角形的面積來做.故選C. 3.如圖所示,在ΔABC中,D,E是BC,AC上的兩點,連接BE,AD交于F. (1)圖中有幾個三角形?并表示出來. (2)ΔBDF的三個頂點是什么?三條邊是什么? (3)AB邊是哪些三角形的邊? (4)F點是哪些三角形的頂點? 解:(1)圖中共有8個三角形,分別是ΔBDF,ΔBDA,ΔBFA,ΔAEF,ΔAEB,ΔADC,ΔBCE,ΔABC. (2)ΔBDF的三個頂點是B,D,F,三條邊是BD,DF,BF.　(3)AB邊是ΔABF,ΔABD,ΔABE,ΔABC的邊.　(4)F點是ΔBDF,ΔABF,ΔAEF的頂點. 4.在ΔABC中,AB=AC,AC上的中線BD把三角形的周長分為24和30兩個部分,求三角形的三邊長. 解析:分兩種情況討論:AB+AD=30,BC+DC=24或AB+AD=24,BC+DC=30,所以根據等腰三角形的兩腰相等和中線的性質可求得三邊長. 解:設三角形的腰AB=AC=x,若AB+AD=24,則:x+x=24,所以x=16.又三角形的周長為24+30=54,所以三邊長分別為16,16,22.若AB+AD=30,則:x+x=30,所以x=20.因為三角形的周長為24+30=54,所以三邊長分別為20,20,14.因此,三角形的三邊長為16,16,22或20,20,14. 11.1.2　三角形的高、中線與角平分線 一、三角形的高 二、三角形的中線 三、三角形的角平分線 一、教材作業(yè) 【必做題】 教材第5頁練習第1,2題. 【選做題】 教材第8頁習題11.1第3,4題. 二、課后作業(yè) 【基礎鞏固】 1.下面判斷正確的有 (　　 ) ①平分三角形內角的射線是三角形的角平分線;②三角形的中線、角平分線、高都是線段;③一個三角形有三條角平分線和三條中線;④直角三角形只有一條高;⑤三角形的中線、角平分線、高都在三角形的內部. A.2個 B.3個 C.4個 D.5個 2.如圖所示,在ΔABC中,D是BC邊上的任意一點,AH⊥BC于H.圖中以AH為高的三角形個數為 (　　) A.3個 　　B.4個 C.5個 　　D.6個 3.如圖所示,下列說法正確的是 (　　) A.如圖甲,由AB,BC,DE三條線段組成的圖形是三角形 B.如圖乙,已知∠BAD=∠CAD,則射線AD是ΔABC的角平分線 C.如圖丙,已知點D為BC邊上的中點,則射線AD是ΔABC的中線 D.如圖丁,已知ΔABC中,AD⊥BC于D,則線段AD是ΔABC的高 4.如圖所示,在ΔABC中,EF∥AC,BD⊥AC于D,BD交EF于G,則下面說法中錯誤的是 (　　) A.BD是ΔABC的高 B.CD是ΔBCD的高 C.EG是ΔBEG的高 D.BE是ΔBEF的高 5.在ΔABC中,∠A=80,I是∠B,∠C的平分線的交點,則∠BIC=　　　　. 【能力提升】 6.如圖所示,BD是ΔABC的中線,AD=2,AB+BC=5,則ΔABC的周長是　　　　. 7.直角三角形中,兩銳角的平分線所夾的銳角是　　　　度. 【拓展探究】 8.如圖所示,AD為ΔABC的中線,BE為三角形ABD中線. (1)在ΔBED中作BD邊上的高; (2)若ΔABC的面積為60,BD=5,則點E到BC邊的距離為多少? 【答案與解析】 1.A 2.D 3.D(解析:A項錯在三角形是由三條線段首尾順次相接而成的,B項錯在三角形的角平分線應該是線段;C項錯在三角形中線應該是線段.故選D.) 4.D 5.130(解析:由∠A=80可知∠ABC+∠ACB=100,∠ABC與∠ACB的平分線交于點I,可求∠IBC+∠ICB的度數,再利用三角形內角和定理求∠BIC.∵∠A=80(已知),∴∠ABC+∠ACB=100(三角形內角和定理),又∵∠ABC與∠ACB的平分線交于點I,∴∠IBC+∠ICB =(∠ABC+∠ACB)=50,∴∠BIC=180-(∠IBC+∠ICB)=130.故填130.) 6.9(解析:∵BD是ΔABC的中線,∴D是AC的中點,∴DC=AD,∵AD=2,∴AC=AD+DC=4,∵AB+BC=5,∴ΔABC的周長=AB+BC+AC=5+4=9.) 7.45(解析:如圖所示,ΔACB為直角三角形,AD,BE分別是∠CAB和∠ABC的平分線,AD,BE相交于一點F.∵∠ACB=90,∴∠CAB+∠ABC=90.∵AD,BE分別是∠CAB和∠ABC的平分線,∴∠FAB+∠FBA=∠CAB+∠ABC=45.從而可知所求角為45.故填45.) 8.解:(1)如圖所示,EF即是ΔBED中BD邊上的高.　(2)∵AD為ΔABC的中線,BE為三角形ABD中線,∴SΔBED=SΔABC=60=15.∵BD=5,∴EF=2SΔBEDBD=2155=6,即點E到BC邊的距離為6. 本節(jié)的教學以定義為主,圖形是同學們非常熟悉的三角形.以前同學們都接觸過高線,鈍角三角形高線的畫法是本節(jié)的難點,為了突破難點,在教學設計上,以同學們思考、研討為主,老師利用課件中的圖形閃爍來提示同學們.這樣,比老師單純教要好得多,同學們可以對高線的畫法印象更深刻.在與同學們的交流中,也可得到認同感,提高學生學習數學的信心與興趣. 三角形的中線及角平分線的教學中,為了讓學生更能感覺到一個三角形中的三條高線(所在直線)、中線、角平分線都相交于一點,教師讓同學們用折紙的方法,實物驗證,從而讓學生在實際操作中感受到這些線的特點. 通過同學們的互動及老師的講解,同學們對三角形的中線、角平分線及高線的畫法都掌握得不錯,為了能對知識有更牢固的印象,應該在講授新課的同時,增加一些當堂小練習,讓同學們更加牢固地掌握. 為了讓同學們對三角形的中線、角平分線、高線的知識掌握得更深刻,增加一些小練習,即在每講完一個知識點后,給出一些基本的小練習.本節(jié)的難點是鈍角三角形高線的畫法,可多增加些時間,讓學生們多練習一下,教師可增加些判斷題、選擇題和操作題的題型,以增加學生對知識的鞏固和提高. 練習(教材第5頁) 1.解:(1)中∠B是銳角,高AD在ΔABC內部.　(2)中∠B是直角,高AD與邊AB重合.　(3)中∠B是鈍角,高AD的垂足在CB的延長線上,即高AD在ΔABC的外部.規(guī)律:當∠C是銳角時,如果∠B是銳角,高AD在ΔABC的內部,如果∠B是直角,高AD與邊AB重合,如果∠B是鈍角,高AD的垂足在CB的延長線上,即高AD在ΔABC的外部. 2.(1)AF(或BF)　CD　AC　(2)∠2　∠ABC　∠4(或∠ACF) 　如圖所示,在ΔABC中,AD是角平分線,∠B=60,∠C=45,求∠ADB和∠ADC的度數. 〔解析〕　在ΔABC中,由∠B與∠C的度數,利用三角形的內角和定理求出∠BAC的度數,由AD為∠BAC的平分線,利用角平分線定義求出∠BAD的度數,在ΔABD中,由∠B與∠BAD的度數求出∠ADB的度數,即可求出∠ADC的度數. 解:∵∠B=60,∠C=45, ∴∠BAC=180-60-45=75, ∵AD為∠BAC的平分線, ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=37.5, 在ΔABD中,∠ADB=180-∠BAD-∠B=82.5, 則∠ADC=180-∠ADB=97.5. 　如圖,在ΔABC中,AD是BC邊上的中線,ΔABD的周長比ΔACD的周長小5,你能求出AC與AB的邊長的差嗎? 〔解析〕　由AD是BC邊上的中線,可得BD=CD,分別求出ΔABD的周長和ΔACD的周長,根據ΔABD的周長比ΔACD的周長小5列方程求解. 解:能. ΔABD的周長=AB+BD+AD, ΔACD的周長=AC+CD+AD, 因為AD是BC邊上的中線, 所以BD=CD. 因為ΔABD的周長比ΔACD的周長小5, 所以AC+CD+AD-(AB+BD+AD)=AC-AB=5. 　如圖所示,在ΔABC中,AD,BE,CF是三條中線,它們相交于同一點O,則ΔAOF的面積和ΔAOE的面積是否相等?為什么? 〔解析〕　三角形的中線可將三角形分成面積相等的兩部分,本題中除了AD,CF,BE可以看作中線外,OF,OE,OD也可以看作中線. 解:這兩個三角形的面積相等.理由如下: ∵AD,BE,CF是三條中線, ∴SΔABD=SΔADC=SΔACF=SΔBCF=SΔABE=SΔBCE=SΔABC, ∴SΔBOD=SΔAOE,SΔAFO=SΔCOD, ∵BD=CD,∴SΔBOD=SΔCOD, ∴SΔAOE=SΔAFO. 即ΔAOF的面積與ΔAOE的面積相等. 〔解題策略〕　尋找這兩個三角形面積的關系,需知面積公式,即三角形的面積=底高.這道題運用了“同高等底的兩個三角形的面積相等” .要知道這個結論,并且會運用它. 11.1.3　三角形的穩(wěn)定性 1.通過觀察、實踐、想象、推理、交流等活動,了解三角形具有穩(wěn)定性和四邊形不具有穩(wěn)定性. 2.能判斷一般的圖形是否具有穩(wěn)定性. 1.通過提問,讓學生通過小組交流等方式探究三角形的穩(wěn)定性. 2.在實物演示的過程中,激發(fā)學習興趣,活躍課堂氣氛. 1.引導學生通過實驗探究三角形的穩(wěn)定性和四 邊形的不穩(wěn)定性,培養(yǎng)其獨立思考的學習習慣和動手能力. 2.通過合作交流,使學生養(yǎng)成互助合作意識,提高數學交流表達能力. 【重點】　了解三角形穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性在生產、生活中的應用. 【難點】　能正確利用三角形的穩(wěn)定性解決實際問題. 【教師準備】　木條(用硬紙條代替)若干、小釘若干;劃分學習小組. 【學生準備】　復習三角形的相關知識. 導入一: 【問題】　通過觀察,你發(fā)現生活中哪些物體的形狀是三角形的? 【師生活動】　學生匯報觀察結果:房梁、建筑工地的腳手架、自行車車架、樂譜架、起重機的起重臂等. 【師】　生活中有很多物體的形狀是三角形的,為什么要把它們做成三角形呢?我們這節(jié)課就來研究三角形的穩(wěn)定性. [設計意圖]　通過實例,讓學生感受到三角形的穩(wěn)定性在實際中的應用,也盡量啟發(fā)學生,想到三角形的穩(wěn)定性. 導入二: 【師】　如圖,在窗框未安裝好之前,木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條,為什么要這樣做呢? 【生】　為了讓它更牢固. 【師】　這節(jié)課我們就來研究三角形的這種穩(wěn)定性. [設計意圖]　讓同學們產生好奇感,在下面的教學中,學生的精力會更專注,更愿意去探索問題,找到答案. 導入三: 教師拿出三根木條,用釘子把三個頂點固定好,讓同學們猜測,此三角形能不能變形?這說明什么問題呢? [設計意圖]　讓同學們體會到三角形具有穩(wěn)定性這個性質是真實存在的,是與我們的生活息息相關的. 　　[過渡語]　通過剛才的學習,同學們對三角形有沒有什么特殊的認識了呢? 一、三角形具有穩(wěn)定性 【學生活動一】　把同學們四人分成一組,發(fā)給3張硬紙條,3枚釘子,分組合作探究實驗.如圖所示,把三張硬紙條用釘子釘成一個三角形,然后扭動它,它的形狀會改變嗎?這說明什么問題? (教師巡回檢查并指導,指定個別同學歸納結論) 【師生共同總結】　如果一個三角形的三條邊固定了,那么三角形的形狀和大小也就完全確定了,在數學上把三角形的這個性質叫做三角形的穩(wěn)定性. 【學生活動二】　同學們想一想,在現實生活中,三角形的穩(wěn)定性有哪些方面的應用呢?舉例子說明.(對于學生的發(fā)言,只要符合實際,教師都要給予肯定) [設計意圖]　通過此活動,既讓學生掌握了三角形的穩(wěn)定性的性質,也讓學生感受到三角形的穩(wěn)定性在實際生活中的應用. 二、四邊形不具有穩(wěn)定性 　　[過渡語]　三角形具有穩(wěn)定性同學們都知道了,你們想知道四邊形是否具有穩(wěn)定性嗎?五邊形呢? 【學生活動一】　如圖所示,4張硬紙條,4枚釘子釘成一個四邊形,然后扭動它,看看它的形狀會不會改變.　　　　 [設計意圖]　讓同學們通過動手實驗,感受到四邊形的不穩(wěn)定性,通過小組合作,也能讓同學們借鑒好的學習方法,增加學習的信心與熱情. 　　[過渡語]　能不能讓不穩(wěn)定的四邊形變穩(wěn)定呢?假如利用四根小木條釘成了一個四邊形,想一想怎么辦?比一比哪組的學生最聰明? 【學生活動二】 學生以組來匯報討論結果,并展示其成果.可能出現多種方法: 方法一:在木條銜接處用粗釘子釘牢; 方法二:沿四邊形的對角線加一根木條,如圖①; 方法三:在對邊之間加一根木條,如圖②; 方法四:加兩根木條,如圖③. 學生自己評說各小組的加固方法. 教師適當引導,讓學生給“加固”后的四邊形框架施加較大外力,驗證其牢固程度. 說明:(1)當給四邊形加一根支架,出現了三角形時,四邊形就能穩(wěn)定.如方法二,但當四邊形沒有出現三角形時,還不會穩(wěn)固,如方法一、三. (2)方法四的四邊形雖然穩(wěn)定,但多加了木條,會浪費材料的. 【師生共同總結】　在四邊形木架上最少再釘上一根木條,將它的相對頂點連接起來,它的形狀就不會改變. 【學生活動三】　讓小組同學用5張硬紙條,5枚釘子釘成一個五邊形紙架,看看它的形狀會不會改變?如果能改變的話,至少要用幾張硬紙條能使它變