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山西省朔州市平魯區(qū)李林中學(xué)高一數(shù)學(xué)下學(xué)期練習(xí) 間接證明 一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過程、特點 二、導(dǎo)學(xué)： 1．兩類基本的證明方法: 和 ． 2． 是間接證明的一種基本方法． 3．一般地，假設(shè)原命題 ，經(jīng)過正確的推理，最后得出 ，因此說明假設(shè) ， 從而證明了原命題 .這種證明方法叫 。 1、反證法是間接證明問題的一種常用方法，其證明問題的一般步驟為： （1）反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面（否定命題）成立；（否定結(jié)論） （2）歸廖：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與已知條件、已知的公理、定義、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾；（推導(dǎo)矛盾） （3）結(jié)論：因為推理正確，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的廖誤。既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立。（結(jié)論成立） 注：用反證法證明問題時要注意以下三點： （1）必須否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面，當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時，必須羅列出各種可能結(jié)論，缺少任何一種可能，反證都是不完全是； （2）反證法必須從否定結(jié)論進行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進行推證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進行推理，就不是反證法； （3）推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與事實矛盾等，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的。 2、常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如下： 原結(jié)論詞 反設(shè)詞 原結(jié)論詞 反設(shè)詞 至少有一個 一個也沒有 對所有成立 存在某個不成立 至多有一個 至少有兩個 對任意不成立 存在某個成立 至少有個 至多有個 或 且 至多有個 至多有個 且 或 三、導(dǎo)練： 1．求證：是無理數(shù). 2．已知,證明的方程有且只有一個根 3．求證：一個三角形中，至少有一個內(nèi)角不少于. 4．如圖，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M,N分別為AB、DF的中點． (1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值； (2)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線． 5．已知，證明方程沒有負(fù)數(shù)根 . 四、當(dāng)堂檢測 1．用反證法證明命題“如果，那么”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是(　　) A. B. C. 且 D. 或 2．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至少有一個不大于”時，反設(shè)正確的是（ ）. A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于 B．假設(shè)三內(nèi)角都大于 C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于 D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于 3．實數(shù)不全為0等價于為（ ）. A．均不為0 B．中至多有一個為0 C．中至少有一個為0 D．中至少有一個不為0 4．設(shè)都是正數(shù)，則三個數(shù)（ ）. A．都大于2 B.至少有一個大于2 C.至少有一個不小于2 D.至少有一個不大于2 5．某個命題與正整數(shù)有關(guān)，若時該命題成立，那么可推得時該命題也成立，現(xiàn)在已知當(dāng)時該命題不成立，那么可推得 A．當(dāng)時，該命題不成立 B．當(dāng)時，該命題成立 C．當(dāng)時，該命題不成立 D．當(dāng)時，該命題成立 6．用反證法證明命題“自然數(shù)中恰有一個偶數(shù)”的反設(shè)為 7．已知,且.試證:中至少有一個小于2 8．已知成等差數(shù)列且公差，求證：、、不可能成等差數(shù)列