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3.2　古典概型 學習目標 重點難點 1．知道基本事件的特點． 2．理解古典概型的定義． 3．會應用古典概型的概率公式解決實際問題. 重點：理解古典概型的定義． 難點：會用古典概型的概率公式解決實際問題. 1．基本事件 (1)在1次試驗中可能出現的每一個基本結果稱為基本事件．(2)若在1次試驗中，每個基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件． 預習交流1 在擲一枚質地均勻的硬幣2次的試驗中，其基本事件是什么？每個事件出現的可能性相同嗎？ 提示：該試驗的基本事件是“出現正面向上，正面向上”、“出現正面向上，反面向上”、“出現反面向上，正面向上”、“出現反面向上，反面向上”．每個事件出現的可能性相同． 2．古典概型 (1)所有的基本事件只有有限個；(2)每個基本事件的發(fā)生都是等可能的．我們將滿足上述條件的隨機試驗的概率模型稱為古典概型．古典概型的特征是有限性和等可能性． 預習交流2 “在區(qū)間[0,5]上，任取一個數，求這個數恰好為1的概率”．這個概率模型是古典概型嗎？ 提示：不是．因為在區(qū)間[0,5]上任取一個數，其試驗結果有無限個，故其基本事件有無限個，所以不是古典概型． 3．古典概型的概率計算公式 如果1次試驗的等可能基本事件共有n個，那么每一個等可能基本事件發(fā)生的概率都是.如果某個事件A包含了其中m個等可能基本事件，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)＝. 預習交流3 古典概型的概率計算公式與隨機事件頻率的計算公式有什么區(qū)別？ 提示：古典概型的概率公式P(A)＝，與隨機事件A發(fā)生的頻率有本質的區(qū)別，其中P(A)＝是一個定值，且對同一試驗的同一事件，m，n均為定值，而頻率中的m，n均隨試驗次數的變化而變化，但頻率總接近于P(A)． 預習交流4 (1)袋中裝白球和黑球各3個，從中任取2個，則取出的全是白球的概率是__________． (2)在兩個袋內，分別裝著寫有0,1,2,3,4,5六個數字的6張卡片．今從每個袋中各任取一張卡片，則兩數之和等于5的概率為__________． (3)擲一枚骰子，觀察擲出的點數，則擲得奇數點的概率為__________． 提示：(1)　(2)　(3) 一、古典概型概念的理解 下列試驗是否屬于古典概型？ (1)一個盒子中有三個除顏色外完全相同的球，其中紅球、黃球、黑球各一個，從中任取一球，“取出的是紅球”、“取出的是黃球”、“取出的是黑球”； (2)向一個圓內隨機的投一個點，該點落在圓內任意一點都是等可能的． 思路分析：由題目可獲取以下主要信息：①給出兩個具體的試驗模型；②判斷兩試驗是否屬于古典概型．解答本題可根據古典概型的兩個特征進行判斷． 解：(1)中給出三個隨機事件，由于球除顏色外完全相同，因此這三個事件是等可能的，且試驗結果個數是有限的，因此屬于古典概型． (2)試驗的所有可能結果是圓內的所有點，是無限的，因此這個試驗不屬于古典概型． 1．下列屬于古典概型的是__________． ①任意拋擲兩枚骰子，所得點數之和作為基本事件； ②求任意一個正整數平方的個位數字是1的概率，將取出的正整數作為基本事件； ③從甲地至乙地共有n條路線，求某人正好選中最短路線的概率； ④拋擲一枚質地均勻的硬幣到首次出現正面為止的次數． 答案：③ 解析：①中兩枚骰子的點數之和出現的機會不均等，不滿足等可能性；②中的基本事件數是無限的；④中到首次出現正面是不確定的，有可能一直拋下去不出現正面，不滿足有限性． 2．擲一枚質地均勻的骰子，觀察擲出的點數，寫出所有的基本事件，并判斷其是否是古典概型． 解：有6個基本事件，分別是“出現1點”、“出現2點”…“出現6點”．因為骰子的質地均勻，所以每個基本事件的發(fā)生是等可能的，故它是古典概型． 3．一個袋子中裝有10個大小、形狀都相同的球，其中3個黑球，7個白球，從中隨機取一個球，求這個球是黑球的概率．這樣的問題可以用古典概型來處理嗎？請說明理由． 解：可以．滿足古典概型的兩個基本特征： (1)可以摸出的球的結果只有10個，即10個球中的任意一個； (2)每個球被摸到的可能性是相同的．所以可以用古典概型來處理． 古典概型是最簡單而又最基本的概率模型，判斷一個隨機試驗是否為古典概型，關鍵在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征：一是對于每次隨機試驗來說，只可能出現有限個不同的試驗結果；二是對于上述所有不同試驗結果而言，它們出現的可能性是相等的．基本事件是試驗中不能再分的最簡單的隨機事件，其他事件可以用它們來表示．在等可能基本事件中每個基本事件的發(fā)生的可能性都相同，并且在同一個試驗中任意兩個基本事件都不可能同時發(fā)生． 二、基本事件的計數問題 一只口袋內裝有大小相同的5個球，其中3個白球，2個黑球，從中一次摸出兩個球． (1)共有多少個基本事件？ (2)事件“兩個都是白球”包含幾個基本事件？ 思路分析：解答本題可先列出摸出兩球的所有基本事件，再數出“兩個均為白球”的基本事件數． 解：(1)方法一：采用列舉法分別記白球為1,2,3號，黑球為4,5號，有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10個基本事件(其中(1,2)表示摸到1號、2號球)． 方法二：采用列表法 設5個球的編號為：a，b，c，d，e，其中a，b，c為白球，d，e為黑球． 列表如下： 由于每次取兩個球，每次所取兩個球不相同，而(b，a)與(a，b)是相同的事件，故共有10個基本事件． (2)方法一中“兩個都是白球”包括(1,2)，(1,3)，(2,3),3個基本事件． 方法二中，包括(a，b)，(b，c)，(c，a),3個基本事件． 1．某校高一年級要組建數學、計算機、航空模型三個興趣小組，某學生只選報其中的2個，則基本事件共有__________個． 答案：3 解析：該學生選數學、計算機，或數學、航空模型，或計算機、航空模型，共有3個基本事件． 2．從分別寫有字母A，B，C，D，E的5張卡片中任取2張，“這2張卡片上的字母恰好是按字母順序相鄰”這一事件包含的基本事件是__________． 答案：取到的是AB、取到的是BC、取到的是CD、取到的是DE 解析：由題意知，取到的2張卡片上的字母可能為：AB，BC，CD，DE. 3．一個不透明的口袋中裝有大小、形狀都相同的1個白球和3個編有不同號碼的黑球，從中任意摸出2個球． (1)寫出所有的基本事件； (2)求事件“摸出的2個球是黑球”包含多少個基本事件？ 解：4個球的大小、形狀都相同，摸出每個球的可能性是相等的．記3個黑球分別為1,2,3號． (1)從裝有4個球的口袋中摸出2個球，基本事件共有6個：(白，黑1)，(白，黑2)，(白，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)． (2)摸出的2個球是黑球，有如下3個基本事件：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)． 求基本事件個數的方法： (1)列舉法或列表法，此法適合于較簡單的試驗題目； (2)樹狀圖法，樹狀圖是進行列舉的一種常用方法，適合較復雜問題中基本事件的求法． 不論用哪種方法，要注意不重復不遺漏． 三、古典概型概率的求法 袋中有6個球，其中4個白球，2個紅球，從袋中任意取出兩球，求下列事件的概率： (1)A：取出的兩球都是白球； (2)B：取出的兩球1個是白球，另1個是紅球． 思路分析：按求古典概型的概率的計算步驟，先用列舉法列舉出所有的基本事件及事件A，B所包含的基本事件，再由公式P(A)＝求出概率． 解：設4個白球的編號為1,2,3,4,2個紅球的編號為5,6.從袋中的6個小球中任取兩個球的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15種． (1)從袋中的6個球中任取兩個，所取的兩球全是白球的取法總數，即是從4個白球中任取兩個的取法總數，共有6種，為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)． ∴取出的兩個球全是白球的概率為P(A)＝＝； (2)從袋中的6個球中任取兩個，其中一個是紅球，而另一個是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)共8種． ∴取出的兩個球一個是白球，一個是紅球的概率為P(B)＝. 1．有100張卡片(從1號到100號)，從中任取1張，取到卡號是7的倍數的概率為__________． 答案： 解析：有100張卡片(從1號到100號)，從中任取1張，有100種取法，而卡號是7的倍數的有14種，所以所求概率為. 2．某國際科研合作項目由兩個美國人、一個法國人和一個中國人共同開發(fā)，現從中隨機選出兩人作為成果發(fā)布人，則選出的兩人中有中國人的概率是__________． 答案： 解析：兩個美國人分別用a1和a2表示，法國人用b表示，中國人用c表示．這個試驗的基本事件共有6個：(a1，a2)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(b，c)．記事件A＝“選出的兩人中有中國人”，則P(A)＝＝. 3．(2012天津高考)某地區(qū)有小學21所，中學14所，大學7所，現采用分層抽樣的方法從這些學校中抽取6所學校對學生進行視力調查． (1)求應從小學、中學、大學中分別抽取的學校數目； (2)若從抽取的6所學校中隨機抽取2所學校做進一步數據分析， ①列出所有可能的抽取結果； ②求抽取的2所學校均為小學的概率． (1)解：從小學、中學、大學中分別抽取的學校數目為3,2,1. (2)①解：在抽取到的6所學校中，3所小學分別記為A1，A2，A3,2所中學分別記為A4，A5，大學記為A6，則抽取2所學校的所有可能結果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15種． ②解：從6所學校中抽取的2所學校均為小學(記為事件B)的所有可能結果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3種． 所以P(B)＝＝. (1)求古典概型的概率可按下面四個步驟進行： 第一，仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意． 第二，判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件A. 第三，分別求出基本事件的個數n與所求事件A中所包含的基本事件個數m. 第四，利用公式P(A)＝求出事件A的概率． (2)求基本事件個數的基本方法是列舉法．基本事件的特點：①是不能再分的最簡單的隨機事件；②不同的基本事件在同一試驗中不能同時發(fā)生．因此求基本事件時，一定要從可能性入手，對照基本事件的含義及特征，將所有可能的基本事件一一列舉出來，做到不重不漏． 1．某小組共9人，分得一張演出的入場券，組長將一張寫有“得票”字樣和八張寫有“不得票”字樣的紙簽混合后讓大家依次各抽取一張，以決定誰得入場券，則下列說法正確的序號是______． ①第一個抽簽者得票的概率最大 ②第五個抽簽者得票的概率最大 ③每個抽簽者得票的概率相同 ④最后抽簽者得票的概率最小 答案：③ 解析：根據古典概型的特征可知，“每個抽簽者得票的概率相同”，此即抽簽具有公平性原則．因為抽簽法是簡單隨機抽樣，所以是等概率抽樣，故③正確． 2．同時投擲兩枚大小相同的骰子，用(x，y)表示結果，記A為“所得點數之和小于5”，則事件A包含的基本事件總數是______． 答案：6 解析：由題意知1≤x≤6,1≤y≤6，x＋y＜5且x∈Z，y∈Z，所以事件A包含的基本事件為：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(1,3)，(3,1)共6個． 3．利用簡單隨機抽樣的方法抽查了某校200名學生，其中戴眼鏡的同學有123人，若在這個學校隨機調查一名學生，則他戴眼鏡的概率是______． 答案：0.615 解析：因為簡單隨機抽樣是等可能抽樣，所以每個個體被抽到的概率相同，即＝0.615. 4．從1,2,3,4這四個數中一次隨機地取兩個數，則其中一個數是另一個數的兩倍的概率是________． 答案： 解析：四個數任取兩個數包含6個基本事件，一數是另一個數的兩倍，只有1,2與2,4兩種情況，即包含2個基本事件．由古典概型的概率公式知P＝＝＝. 5．判斷下列試驗是否是古典概型，并說明理由： (1)從6名同學中，選出4人參加數學競賽，每人被選中的可能性的大??； (2)同時擲兩顆骰子，點數和為7的概率； (3)近三天中有一天降雨的概率； (4)10個人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率． 解：(1)(2)(4)是古典概型．因為符合古典概型的定義和特點——有限性和等可能性；(3)不是古典概型．因為不符合等可能性，受多方面因素影響．