高中數(shù)學 第一章 統(tǒng)計 1_2_2 分層抽樣與系統(tǒng)抽樣 第1課時 系統(tǒng)抽樣教案 北師大版必修31
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2.2 分層抽樣與系統(tǒng)抽樣 教學分析 教科書通過實例介紹了分層抽樣與系統(tǒng)抽樣及其步驟.分層抽樣是高考的熱點,其抽樣過程中,在每一層常用簡單隨機抽樣和系統(tǒng)抽樣,因此建議改變教科書的順序,先學習系統(tǒng)抽樣,再學習分層抽樣. 值得注意的是在教學過程中,教師適當介紹當不是整數(shù)時,應如何實施系統(tǒng)抽樣. 三維目標 1.理解系統(tǒng)抽樣,會用系統(tǒng)抽樣從總體中抽取樣本,了解系統(tǒng)抽樣在實際生活中的應用,提高學生學習數(shù)學的興趣. 2.理解分層抽樣,掌握其實施步驟,培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力. 3.掌握分層抽樣與簡單隨機抽樣和系統(tǒng)抽樣的區(qū)別與聯(lián)系,提高學生的總結(jié)和歸納能力,讓學生領會到客觀世界的普遍聯(lián)系性. 重點難點 教學重點:實施系統(tǒng)抽樣的步驟,分層抽樣及其步驟. 教學難點:當不是整數(shù)時,如何實施系統(tǒng)抽樣,確定各層的入樣個體數(shù)目,以及根據(jù)實際情況選擇正確的抽樣方法. 課時安排 2課時 第1課時 系統(tǒng)抽樣 導入新課 思路1.上一節(jié)我們學習了簡單隨機抽樣,那么簡單隨機抽樣的特點是什么?簡單隨機抽樣是最簡單和最基本的抽樣方法,當總體中的個體較少時,常采用簡單隨機抽樣.但是如果總體中的個體較多時,怎樣抽取樣本呢?教師點出課題:系統(tǒng)抽樣. 思路2.某中學有5 000名學生,打算抽取200名學生,調(diào)查他們對奧運會的看法,采用簡單隨機抽樣時,無論是抽簽法還是隨機數(shù)法,實施過程很復雜,需要大量的人力和物力,那么有沒有更為方便可行的抽樣方法呢?這就是今天我們要學習的內(nèi)容:系統(tǒng)抽樣. 推進新課 1.某學校為了了解高一年級學生對教師教學的意見,打算從高一年級500名學生中抽取50名進行調(diào)查,除了用簡單隨機抽樣獲取樣本外,你能否設計其他抽取樣本的方法? 2.請歸納系統(tǒng)抽樣的定義和步驟. 3.系統(tǒng)抽樣有什么特點? 討論結(jié)果: 1.可以將這500名學生隨機編號1~500,分成50組,每組10人,第1組編號是1~10,第二組編號是11~20,依次分下去,然后用簡單隨機抽樣在第1組抽取1人,比如號碼是2,然后每隔10個號抽取一個,得到2,12,22,…,492. 這樣就得到一個容量為50的樣本. 這種抽樣方法稱為系統(tǒng)抽樣. 2.一般地,要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本,可將總體分成均衡的若干部分,然后按照預先制定的規(guī)則,從每一部分抽取一個個體,得到所需要的樣本,這種抽樣方法叫作系統(tǒng)抽樣. 其步驟是: (1)采用隨機抽樣的方法將總體中的N個個體編號; (2)將整體按編號進行分段,確定分段間隔k(k∈N); (3)在第1段用簡單隨機抽樣確定起始個體的編號l(l∈N,l≤k); (4)按照一定的規(guī)則抽取樣本,通常是將起始編號l加上間隔k得到第2個個體編號(l+k),再加上k得到第3個個體編號(l+2k),這樣繼續(xù)下去,直到獲取整個樣本. 說明:從系統(tǒng)抽樣的步驟可以看出,系統(tǒng)抽樣是把一個問題劃分成若干部分分塊解決,從而把復雜問題簡單化,體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想. 3.系統(tǒng)抽樣的特點是: (1)當總體容量N較大時,采用系統(tǒng)抽樣. (2)將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段,分段的間隔要求相等,因此,系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣,這時間隔一般為k=. (3)預先制定的規(guī)則指的是:在第1段內(nèi)采用簡單隨機抽樣確定一個起始編號,在此編號的基礎上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號. 思路1 例1 某工廠平均每天生產(chǎn)某種機器零件大約10 000件,要求產(chǎn)品檢驗員每天抽取50件零件,檢查其質(zhì)量狀況.假設一天的生產(chǎn)時間中生產(chǎn)機器零件的件數(shù)是均勻的,請你設計一個調(diào)查方案. 解:我們可以采用系統(tǒng)抽樣,按照下面的步驟設計方案. 第一步 按生產(chǎn)時間將一天分為50個時間段,也就是說,每個時間段大約生產(chǎn)=200件產(chǎn)品.這時,抽樣距就是200. 第二步 將一天中生產(chǎn)出的機器零件按生產(chǎn)時間進行順序編號.比如,第一個生產(chǎn)出的零件就是0號,第二個生產(chǎn)出的零件就是1號等. 第三步 從第一個時間段中按照簡單隨機抽樣的方法,抽取一件產(chǎn)品,比如是k號零件. 第四步 順序地抽取編號分別為下面數(shù)字的零件:k+200,k+400,k+600,…,k+9 800.這樣總共就抽取了50個樣本. 點評:系統(tǒng)抽樣與簡單隨機抽樣一樣,每個個體被抽到的概率都相等,從而說明系統(tǒng)抽樣是等概率抽樣,它是公平的.系統(tǒng)抽樣是建立在簡單隨機抽樣的基礎之上的,將總體均分后對每一部分進行抽樣時,采用的是簡單隨機抽樣. 變式訓練 1.下列抽樣不是系統(tǒng)抽樣的是( ). A.從標有1~15號的15個小球中任選3個作為樣本,按從小號到大號排序,隨機確定起點i,以后為i+5, i+10(超過15則從1再數(shù)起)號入樣 B.工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品,用傳送帶將產(chǎn)品送入包裝車間前,檢驗人員從傳送帶上每隔五分鐘抽一件產(chǎn)品檢驗 C.搞某一市場調(diào)查,規(guī)定在商場門口隨機抽一個人進行詢問,直到調(diào)查到事先規(guī)定的調(diào)查人數(shù)為止 D.電影院調(diào)查觀眾的某一指標,通知每排(每排人數(shù)相等)座位號為14的觀眾留下來座談 解析:C中,因為事先不知道總體,抽樣方法不能保證每個個體按事先規(guī)定的概率入樣,所以不是系統(tǒng)抽樣. 答案:C 2.某校高中三年級的295名學生已經(jīng)編號為1,2,…,295,為了了解學生的學習情況,要按1∶5的比例抽取一個樣本,請你用系統(tǒng)抽樣的方法進行抽取,并寫出過程. 分析:按1∶5分段,每段5人,共分59段,每段抽取一人,關鍵是確定第1段的編號. 解:抽樣過程是: (1)按照1∶5的比例,應該抽取的樣本容量為2955=59,我們把259名同學分成59組,每組5人,第一組是編號為1~5的5名學生,第2組是編號為6~10的5名學生,依次下去,第59組是編號為291~295的5名學生; (2)采用簡單隨機抽樣的方法,從第一組5名學生中抽出一名學生,不妨設編號為l(l≤5); (3)按照一定的規(guī)則抽取樣本,抽取的學生編號為l+5k(k=0,1,2,…,58),得到59個個體作為樣本,如當k=3時的樣本編號為3,8,13,…,288,293. 3.為了了解參加某種知識競賽的1 000名學生的成績,應采用什么抽樣方法較恰當?簡述抽樣過程. 解:適宜選用系統(tǒng)抽樣,抽樣過程如下: (1)隨機地將這1 000名學生編號為1,2,3,…,1 000; (2)將總體按編號順序均分成50部分,每部分包括20個個體; (3)在第一部分的個體編號1,2,3,…,20中,利用簡單隨機抽樣抽取一個號碼,比如18; (4)以18為起始號碼,每間隔20抽取一個號碼,這樣得到一個容量為50的樣本:18,38,58,…,978,998. 例2 某裝訂廠平均每小時大約裝訂圖書362冊,要求檢驗員每小時抽取40冊圖書,檢查其質(zhì)量狀況.請你設計一個調(diào)查方案. 解:我們可以采用系統(tǒng)抽樣,按照下面的步驟設計方案. 第一步 把這些圖書分成40個小組,由于的商是9,余數(shù)是2,所以每個組有9冊書,還剩2冊書.這時,抽樣距就是9. 第二步 先用簡單隨機抽樣的方法從這些書中抽取2冊書,不進行檢驗. 第三步 將剩下的書進行編號,編號分別為0,1,…,359. 第四步 從第一組(編號分別為0,1,…,8)的書中按照簡單隨機抽樣的方法,抽取1冊書,比如說,其編號為k. 第五步 順序地抽取編號分別為下面數(shù)字的書:k+9,k+18,k+27,…,k+399.這樣總共抽取了40個樣本. 點評:如果遇到不是整數(shù)的情況,可以先從總體中隨機地剔除幾個個體,使得總體中剩余的個體數(shù)能被樣本容量整除. 變式訓練 1.某校高中三年級有1 242名學生,為了了解他們的身體狀況,準備按1∶40的比例抽取一個樣本,那么( ). A.剔除指定的4名學生 B.剔除指定的2名學生 C.隨機剔除4名學生 D.隨機剔除2名學生 解析:為了保證每名學生被抽到的可能性相等,必須是隨機剔除學生,由于的余數(shù)是2,所以要剔除2名學生.故選D. 答案:D 2.從2 008個編號中抽取20個號碼,采用系統(tǒng)抽樣的方法,則抽樣的分段間隔為( ). A.99 B.99.5 C.100 D.100.5 答案:C 3.為了了解參加某種知識競賽的1 003名學生的成績,請用系統(tǒng)抽樣抽取一個容量為50的樣本. 分析:由于不是整數(shù),所以先從總體中隨機剔除3個個體. 解:(1)隨機地將這1 003個個體編號為1,2,3,…,1003. (2)利用簡單隨機抽樣,先從總體中剔除3個個體(可利用隨機數(shù)表),剩下的個體數(shù)1 000能被樣本容量50整除,然后再重新編號為1,2,3,…,1000. (3)確定分段間隔.=20,則將這1 000名學生分成50組,每組20人,第1組編號是1,2,3,…,20;第2組編號是21,22,23,…,40;依次下去,第50組編號是981,982,…,1000. (4)在第1組中用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l(l≤20). (5)按照一定的規(guī)則抽取樣本.抽取的學生編號為l+20k (k=0,1,2,…,19),得到50個個體作為樣本,如當k=2時的樣本編號為2,22,42,…,982. 思路2 例 從已編號為1~50的50枚最新研制的某種型號導彈中隨機抽取5枚來進行發(fā)射試驗,若采用系統(tǒng)抽樣方法,則所選取5枚導彈的編號可能是( ). A.5,10,15,20,25 B.3,13,23,33,43 C.1,2,3,4,5 D.2,4,6,16,32 解析:用系統(tǒng)抽樣的方法抽取到的導彈編號應該為k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d,其中d==10,k是1到10中用簡單隨機抽樣方法得到的數(shù),因此只有選項B滿足要求. 答案:B 點評:系統(tǒng)抽樣抽取的樣本的個體編號按從小到大的順序排起來,從第2個號碼開始,每一個號碼與前一個號碼的差都等于同一個常數(shù),這個常數(shù)就是分段間隔. 變式訓練 某小禮堂有25排座位,每排20個座位,一次心理學講座,禮堂中坐滿了學生,會后為了了解有關情況,留下座位號是15的所有25名學生進行測試,這里運用的是________抽樣方法. 答案:系統(tǒng) 1.從學號為0~50的高一某班50名學生中隨機選取5名同學參加數(shù)學競賽,采用系統(tǒng)抽樣的方法,則所選5名學生的學號不可能是( ). A.1,2,3,4,5 B.5,15,25,35,45 C.2,12,22,32,42 D.9,19,29,39,49 答案:A 2.采用系統(tǒng)抽樣從個體數(shù)為83的總體中抽取一個樣本容量為10的樣本,那么每個個體入樣的可能性為( ). A. B. C. D. 答案:A 3.某單位的在崗工人為624人,為了調(diào)查工作上班時從家到單位的路上平均所用的時間,決定抽取10%的工人調(diào)查這一情況,如何采用系統(tǒng)抽樣的方法完成這一抽樣? 答案:先隨機剔除4人,再按系統(tǒng)抽樣抽取樣本. 4.某學校有學生3 000人,現(xiàn)在要抽取100人組成夏令營,怎樣抽取樣本? 分析:由于總體人數(shù)較多,且無差異,所以按系統(tǒng)抽樣的步驟來進行抽樣. 解:按系統(tǒng)抽樣抽取樣本,其步驟是: (1)將3 000名學生隨機編號1,2,…,3000; (2)確定分段間隔k==30,將整體按編號進行分100組,第1組編號是1~30,第2組編號是31~60,依次分下去,第100組編號是2971~3000; (3)在第1段用簡單隨機抽樣確定起始個體的編號l(l∈N,0≤l≤30); (4)按照一定的規(guī)則抽取樣本,通常是將起始編號l加上間隔30得到第2個個體編號l+30,再加上30,得到第3個個體編號l+60,這樣繼續(xù)下去,直到獲取整個樣本.比如l=15,則抽取的編號為15,45,75,…,2985. 這些號碼對應的學生組成樣本. 將參加數(shù)學競賽的1 000名學生編號如下000,001,002,…,999,打算從中抽取一個容量為50的樣本,按系統(tǒng)抽樣方法分成50個部分,第一組編號為000,002,…,019,如果在第一組隨機抽取的一個號碼為015,則抽取的第40個號碼為__________. 解析:利用系統(tǒng)抽樣抽取樣本,在第一組抽取號碼為l=015,分段間隔為k==20,則在第i組中抽取的號碼為015+20(i-1).故所抽取的第40個號碼為015+(40-1)20=795. 答案:795 通過本節(jié)的學習,應明確什么是系統(tǒng)抽樣,系統(tǒng)抽樣的適用范圍,如何用系統(tǒng)抽樣獲取樣本. 習題1—2 4. 系統(tǒng)抽樣中如何對總體中的每個個體進行合理分段? 這個問題的難點是不會對總體中的每個個體進行合理分段,其突破方法是結(jié)合實例操作體會.系統(tǒng)抽樣操作的要領是先將個體數(shù)較多的總體分成均衡的若干部分,然后按照預先制定的規(guī)則,從每一部分中抽取1個個體,得到所需樣本.由于抽樣的間隔相等,因此系統(tǒng)抽樣又稱為等距抽樣(或叫機械抽樣),所以系統(tǒng)抽樣中必須對總體中的每個個體進行合理分段. 若從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本,用系統(tǒng)抽樣時,應先將總體中的各個個體編號,再確定分段間隔k,以便對總體編號進行分段. 當是整數(shù)時,取k=為分段間隔即可,如N=100,n=20,則分段間隔k==5,也就是將100個個體平均分為5段(組); 當不是整數(shù)時,應先從總體中隨機剔除一些個體,使剩余個體數(shù)N′能被n整除,這時分段間隔k=,如N=101,n=20,則應先用簡單隨機抽樣從總體中剔除1個個體,使剩余的總體容量(即100)能被20整除,從而得出分段間隔k==5,也就是說,只需將100個個體平均分為5段(組). 一般地,用簡單隨機抽樣的方法從總體中剔除部分個體,其個數(shù)為總體中的個體數(shù)除以樣本容量所得的余數(shù).分段間隔=,所以分段間隔樣本容量=總體容量,每段僅抽一個個體. 上述過程中,總體中的每個個體被取出(或被剔除)的可能性相等,也就是每個個體不被選取(或不被剔除)的可能性也相等,所以在整個抽樣過程中每個個體被抽取的機會仍然都相等,這說明使用系統(tǒng)抽樣法抽取樣本的過程是公平的.- 配套講稿:
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