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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 學業(yè)分層測評11 排序不等式 新人教A版選修4-5
(建議用時：45分鐘)
[學業(yè)達標]
一、選擇題
1．設a≥b>0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，則P與Q的大小關系是( )
A．P>Q B．P≥Q C．P
0，∴a2≥b2>0.
因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)，
則P≥Q.
【答案】 B
2．設a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn為兩組實數(shù)，在排序不等式中，順序和，反序和，亂序和的大小關系為( )
A．反序和≥亂序和≥順序和
B．反序和＝亂序和＝順序和
C．反序和≤亂序和≤順序和
D．反序和、亂序和、順序和大小關系不確定
【答案】 C
3．設正實數(shù)a1，a2，a3的任一排列為a′1，a′2，a′3，則＋＋的最小值為( )
A．3 B．6
C．9 D.12
【解析】 設a1≥a2≥a3＞0，則≥≥＞0，由亂序和不小于反序和知，
＋＋≥＋＋＝3，
∴＋＋的最小值為3，故選A.
【答案】 A
4．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正數(shù)，則A與B的大小關系為( )
A．A＞B B．A＜B
C．A≥B D.A≤B
【解析】 依序列{xn}的各項都是正數(shù)，不妨設0＜x1≤x2≤…≤xn，則x2，x3，…，xn，x1為序列{xn}的一個排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.故選C.
【答案】 C
5．已知a，b，c為正實數(shù)，則a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正負情況是( )
A．大于零 B．大于等于零
C．小于零 D.小于等于零
【解析】 設a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3，
根據(jù)排序原理，得a3a＋b3b＋c3c≥a3b＋b3c＋c3a.
又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab，
∴a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，
即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.
【答案】 B
二、填空題
6．若a，b，c∈R＋，則＋＋________a＋b＋c.
【解析】 不妨設a≥b≥c＞0，則bc≤ca≤ab，≤≤，
∴＋＋≥＋＋＝a＋b＋c.
【答案】 ≥
7．有4人各拿一只水桶去接水，設水龍頭注滿每個人的水桶分別需要5 s,4 s,3 s,7 s，每個人接完水后就離開，則他們總的等候時間最短為________s.
【解析】 等候的最短時間為：34＋43＋52＋71＝41(s)．
【答案】 41
8．設a1，a2，a3為正數(shù)，且a1＋a2＋a3＝1，則＋＋的最小值為________.
【導學號：32750058】
【解析】 不妨設a3>a1>a2>0，則<<，
所以a1a20，
則a2≥b2≥c2>0，
∴a3＋b3＝a2a＋b2b≥a2b＋b2a，
∴a3＋b3≥ab(a＋b)．
(2)由(1)知，同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)，
所以＋＋
≤＋
＋
＝
＝＝.
故原不等式得證．
10．已知a，b，c都是正數(shù)，求＋＋的最小值．
【解】 由對稱性，不妨設0＜c≤b≤a，則有a＋b≥a＋c≥b＋c＞0，所以0＜≤≤.
由排序不等式得
＋＋
≥＋＋，①
＋＋≥＋＋.②
由①②知2≥3，
∴＋＋≥.
當且僅當a＝b＝c時，＋＋取最小值.
[能力提升]
1．銳角三角形中，設P＝，Q＝acos C＋bcos B＋ccos A，則P，Q的關系為( )
A．P≥Q B．P＝Q
C．P≤Q D.不能確定
【解析】 不妨設A≥B≥C，則a≥b≥c，
cos A≤cos B≤cos C，則由排序不等式有Q＝acos C＋bcos B＋ccos A≥acos B＋bcos C＋ccos A
＝R(2sin Acos B＋2sin Bcos C＋2sin Ccos A)
≥R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]
＝R(sin C＋sin A＋sin B)＝＝P.
【答案】 C
2．已知a＋b＋c＝1，a，b，c為正數(shù)，則＋＋的最小值是________．
【解析】 不妨設a≥b≥c，∴≥≥，
∴＋＋≥＋＋，①
＋＋≥＋＋，②
①＋②得＋＋≥，
∴＋＋≥.
【答案】
3．在Rt△ABC中，∠C為直角，A，B所對的邊分別為a，b，則aA＋bB與(a＋b)的大小關系為________.
【導學號：32750059】
【解析】 不妨設a≥b＞0，
則A≥B＞0，由排序不等式
?2(aA＋bB)≥a(A＋B)＋b(A＋B)
＝(a＋b)，
∴aA＋bB≥(a＋b)．
【答案】 aA＋bB≥(a＋b)
4．已知0<α<β<γ<，求證：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
【證明】 ∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在上為增函數(shù)，y＝cos x在上為減函數(shù)，
∴0cos β>cos γ>0.
根據(jù)排序不等式得：亂序和>反序和．
∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α
>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ
＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
故原不等式得證．
高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 學業(yè)分層測評11 排序不等式 新人教A版選修4-5
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