高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2_2_2 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 第1課時(shí) 橢圓的簡單幾何性質(zhì)高效測評 新人教A版選修2-1
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第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 第1課時(shí) 橢圓的簡單幾何性質(zhì)高效測評 新人教A版選修2-1 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－，0)，(，0)，離心率是，則橢圓C的方程為( ) A.＋y2＝1 B.x2＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析： 因?yàn)椋?，且c＝，所以a＝，b＝＝1.所以橢圓C的方程為＋y2＝1.故選A. 答案： A 2．曲線＋＝1與曲線＋＝1(k<9)的( ) A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等 解析： 可知兩個(gè)方程均表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，前者焦距為2c＝2＝8，后者焦距為2c＝2＝8.故選D. 答案： D 3．過橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若∠F1PF2＝60，則橢圓的離心率為( ) A. B. C. D. 解析： 因?yàn)镻，再由∠F1PF2＝60， 有＝2a，從而可得e＝＝，故選B. 答案： B 4．已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為，且橢圓G上一點(diǎn)到其兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為( ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析： 依題意設(shè)橢圓G的方程為＋＝1(a>b>0)， ∵橢圓上一點(diǎn)到其兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12， ∴2a＝12，∴a＝6. ∵橢圓的離心率為，∴＝，∴＝， 解得b2＝9，∴橢圓G的方程為＋＝1. 答案： C 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1的焦點(diǎn)，在C上滿足PF1⊥PF2的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為________． 解析： 當(dāng)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，∠F1PF2為直角，從而在橢圓上存在2個(gè)位置使PF1⊥PF2. 答案： 2 6．在△ABC中，|AB|＝|BC|，cos B＝－，若以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C，則該橢圓的離心率e＝________. 解析： 設(shè)|AB|＝|BC|＝1，又cos B＝－， 則|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB||BC|cos B＝， 所以|AC|＝，則2a＝1＋＝，2c＝1，e＝＝. 答案： 三、解答題(每小題10分，共20分) 7．求橢圓25x2＋y2＝25的長軸和短軸的長及其焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)． 解析： 橢圓方程可化為x2＋＝1，∴橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且a2＝25，b2＝1，∴c2＝a2－b2＝24， ∴c＝2，a＝5，b＝1， ∴長軸長為10，短軸長為2，焦點(diǎn)為(0，2)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，(0，5)． 8．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)長軸長是6，離心率是； (2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)，與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6. 解析： (1)設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0) 或＋＝1(a＞b＞0)． 由已知得2a＝6，∴a＝3. 又e＝＝，∴c＝2. ∴b2＝a2－c2＝9－4＝5. ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1或＋＝1. (2)由題意知焦點(diǎn)在x軸上， 故可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)，且兩焦點(diǎn)為F′(－3,0)，F(xiàn)(3,0)． 如圖所示，△A1FA2為等腰直角三角形， OF為斜邊A1A2的中線， 且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝3. ∴a2＝b2＋c2＝18. ∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 9．(10分)設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，若在橢圓上存在一點(diǎn)P，使∠F1PF2＝60，求橢圓離心率e的取值范圍． 解析： 由余弦定理得 cos 60＝ ＝ ＝. 解得|PF1||PF2|＝4a2－2|PF1||PF2|－4c2， 即|PF1||PF2|＝， ∵|PF1||PF2|≤2＝a2， ∴3a2≥4(a2－c2)，解得≥. 又∵橢圓中0下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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