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學(xué)業(yè)分層測評(二) (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、填空題 1．下列說法正確的是________． ①平行于圓錐某一母線的截面是等腰三角形； ②平行于圓臺某一母線的截面是等腰梯形； ③過圓錐頂點與底面圓心的截面是等腰三角形； ④過圓臺上底面中心的截面是等腰梯形． 【解析】　由圓柱、圓錐、圓臺的性質(zhì)知③正確． 【答案】?、? 2．正方形繞其一條對角線所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是________． 【解析】　連結(jié)正方形的兩條對角線知對角線互相垂直，故繞對角線旋轉(zhuǎn)一周形成兩個圓錐的組合體． 【答案】　兩個圓錐的組合體 3．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一個組合體，其結(jié)構(gòu)特征是________． 圖1124 【解析】　一個六棱柱中挖去一個等高的圓柱． 【答案】　一個六棱柱中挖去一個圓柱 4．線段y＝2x(0≤x≤2)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的圖形是________． 【解析】　由線段y＝2x(0≤x≤2)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的圖形是圓錐的側(cè)面． 【答案】　圓錐的側(cè)面 5．如圖1125所示，將梯形ABCD繞底邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，由此形成的幾何體是由簡單幾何體__________構(gòu)成的. 【導(dǎo)學(xué)號：60420008】 圖1125 【解析】　旋轉(zhuǎn)體要注意旋轉(zhuǎn)軸，可以想象一下旋轉(zhuǎn)后的幾何體，由旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征知它中間是圓柱，兩頭是圓錐． 【答案】　圓錐、圓柱 6．一個正方體內(nèi)接于一個球，過球心作一截面，則截面可能的圖形是________． ①　　　?、凇　　　、邸　　　、? 圖1126 【解析】　當(dāng)截面平行于正方體的一個側(cè)面時得③，當(dāng)截面過正方體的體對角線時得②，當(dāng)截面不平行于任何側(cè)面也不過對角線時得①，但無論如何都不能截出④. 【答案】　①②③ 7．已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側(cè)，且距離為1，那么這個球的半徑為________． 【解析】　如圖所示，∵兩個平行截面的面積分別為5π，8π，∴兩個截面圓的半徑分別為r1＝，r2＝2.∵球心到兩個截面的距離d1＝，d2＝，∴d1－d2＝－＝1，∴R2＝9，∴R＝3. 【答案】　3 8．若圓柱的軸截面是一個正方形，其面積為4S，則它的一個底面面積是__________． 【解析】　因為圓柱的軸截面的一邊是底面直徑，另一鄰邊為圓柱的高，所以應(yīng)滿足＝2r(r為底面圓半徑)，∴r＝，故底面面積為πS. 【答案】　πS 二、解答題 9．軸截面為正方形的圓柱叫做等邊圓柱．已知某等邊圓柱的軸截面面積為16 cm2，求其底面周長和高． 【解】　如圖所示，作出等邊圓柱的軸截面ABCD，由題意知，四邊形ABCD為正方形，設(shè)圓柱的底面半徑為r，則AB＝AD＝2r. 其面積S＝ABAD＝2r2r＝4r2＝16 cm2， 解得r＝2 cm. 所以其底面周長C＝2πr＝2π2＝4π(cm)，高2r＝4 cm. 10.從一個底面半徑和高都是R的圓柱中挖去一個以圓柱上底面為底，下底面中心為頂點的圓錐，得到如圖1127所示的幾何體，如果用一個與圓柱下底面距離等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面積． 圖1127 【解】　軸截面如圖所示，被平行于下底面的平面所截的圓柱的截面圓的半徑O1C＝R，設(shè)圓錐的截面圓的半徑O1D為x.因為OA＝AB＝R，所以△OAB是等腰直角三角形．又CD∥OA，則CD＝BC，所以x＝l，故截面面積S＝πR2－πl(wèi)2＝π(R2－l2)． [能力提升] 1．以鈍角三角形的較小邊所在的直線為軸，其他兩邊旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體是________． 【解析】　如圖以AB為軸所得的幾何體是一個大圓錐挖去一個同底的小圓錐． 【答案】　一個大圓錐挖去一個同底的小圓錐 2．邊長為5 cm的正方形EFGH是圓柱的軸截面，則從E點沿圓柱的側(cè)面到點G的最短距離是________cm. 【導(dǎo)學(xué)號：60420009】 【解析】　如圖所示，E′F＝2π＝π(cm)， ∴最短距離E′G＝＝(cm)． 【答案】　 3．在半徑為13的球面上有A，B，C三點，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，則球心到經(jīng)過這三個點的截面的距離為________． 【解析】　由線段的長度知△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，所以其外接圓的半徑r＝＝5，所以d＝＝12. 【答案】　12 4．如圖1128所示，已知圓錐SO中，底面半徑r＝1，母線長l＝4，M為母線SA上的一個點，且SM＝x，從點M拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點A.求： 圖1128 (1)繩子的最短長度的平方f(x)； (2)繩子最短時，頂點到繩子的最短距離； (3)f(x)的最大值． 【解】　將圓錐的側(cè)面沿SA展開在平面上，如圖所示，則該圖為扇形，且弧AA′的長度L就是圓O的周長， ∴L＝2πr＝2π. ∴∠ASM＝360＝360＝90. (1)由題意知繩子長度的最小值為展開圖中的AM，其值為AM＝(0≤x≤4)． f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)． (2)繩子最短時，在展開圖中作SR⊥AM，垂足為R，則SR的長度為頂點S到繩子的最短距離，在△SAM中， ∵S△SAM＝SASM＝AMSR， ∴SR＝＝(0≤x≤4)， 即繩子最短時，頂點到繩子的最短距離為(0≤x≤4)． (3)∵f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函數(shù)， ∴f(x)的最大值為f(4)＝32.