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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數(shù)學 第二章 推理與證明 學業(yè)分層測評3 合情推理 新人教A版選修1-2 (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．(2016鄭州高二檢測)下列說法正確的是(　　) A．由合情推理得出的結論一定是正確的 B．合情推理必須有前提有結論 C．合情推理不能猜想 D．合情推理得出的結論無法判定正誤 【解析】　合情推理得出的結論不一定正確，故A錯；合情推理必須有前提有結論，故B對；合情推理中類比推理是根據(jù)兩個或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理，可進行猜想，故C錯；合情推理得出的結論可以進行判定正誤，故D錯． 【答案】　B 2．下面使用類比推理恰當?shù)氖?　　) A．“若a3＝b3，則a＝b”類比推出“若a0＝b0，則a＝b” B．“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“(ab)c＝acbc” C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“＝＋(c≠0)” D．“(ab)n＝anbn”類比推出“(a＋b)n＝an＋bn” 【解析】　由實數(shù)運算的知識易得C項正確． 【答案】　C 3．(2016大連高二檢測)用火柴棒擺“金魚”，如圖217所示， 圖217 按照上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為(　　) A．6n－2　 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2 【解析】　從①②③可以看出，從第②個圖開始每個圖中的火柴棒都比前一個圖中的火柴棒多6根，故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列，第一個圖中火柴棒為8根，故可歸納出第n個“金魚”圖需火柴棒的根數(shù)為6n＋2. 【答案】　C 4．對命題“正三角形的內切圓切于三邊中點”可類比猜想：正四面體的內切球切于四面體各正三角形的(　　) A．一條中線上的點，但不是中心 B．一條垂線上的點，但不是垂心 C．一條角平分線上的點，但不是內心 D．中心 【解析】　由正四面體的內切球可知，內切球切于四個面的中心． 【答案】　D 5．(2016南昌調研)已知整數(shù)對的序列為(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，則第57個數(shù)對是(　　) A．(2,10) B．(10,2) C．(3,5) D．(5,3) 【解析】　由題意，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)對有如下規(guī)律： (1,1)的和為2，共1個； (1,2)，(2,1)的和為3，共2個； (1,3)，(2,2)，(3,1)的和為4，共3個； (1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和為5，共4個； (1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和為6，共5個． 由此可知，當數(shù)對中兩個數(shù)字之和為n時，有n－1個數(shù)對．易知第57個數(shù)對中兩數(shù)之和為12，且是兩數(shù)之和為12的數(shù)對中的第2個數(shù)對，故為(2,10)． 【答案】　A 二、填空題 6．把正數(shù)排列成如圖218甲的三角形數(shù)陣，然后擦去偶數(shù)行中的奇數(shù)和奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖218乙的三角形數(shù)陣，現(xiàn)把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個數(shù)列{an}，若an＝2 017，則n＝__________. 【導學號：19220014】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 甲　 1 2 4 5 7 9 10 12 14 16 乙 圖218 【解析】　圖乙中第k行有k個數(shù)，第k行最后的一個數(shù)為k2，前k行共有個數(shù)，由4444＝1 936,4545＝2 025知an＝2 017出現(xiàn)在第45行，第45行第一個數(shù)為1 937，第＋1＝41個數(shù)為2 017，所以n＝＋41＝1 031. 【答案】　1 031 7．(2016日照高二檢測)二維空間中圓的一維測度(周長)l＝2πr，二維測度(面積)S＝πr2，觀察發(fā)現(xiàn)S′＝l；三維空間中球的二維測度(表面積)S＝4πr2，三維測度(體積)V＝πr3，觀察發(fā)現(xiàn)V′＝S.已知四維空間中“超球”的三維測度V＝8πr3，猜想其四維測度W＝________. 【解析】　因為V＝8πr3，所以W＝2πr4，滿足W′＝V. 【答案】　2πr4 8．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結論為________． 【解析】　結合等差數(shù)列的特點，類比等比數(shù)列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an}中，若a5＝2，則有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29. 【答案】　a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29 三、解答題 9．已知數(shù)列，，…，，…，Sn為其前n項和，計算S1，S2，S3，S4，觀察計算結果，并歸納出Sn的公式． 【解】　S1＝＝＝＝， S2＝＋＝＝＝， S3＝＋＝＝＝， S4＝＋＝＝＝， 由此歸納猜想Sn＝. 10．(2016咸陽高二檢測)在平面幾何中，研究正三角形內任意一點與三邊的關系時，我們有真命題：邊長為a的正三角形內任意一點到各邊的距離之和是定值a.類比上述命題，請你寫出關于正四面體內任意一點與四個面的關系的一個真命題，并給出簡要的證明． 【解】　類比所得的真命題是：棱長為a的正四面體內任意一點到四個面的距離之和是定值a. 證明：設M是正四面體PABC內任一點，M到平面ABC，平面PAB，平面PAC，平面PBC的距離分別為d1，d2，d3，d4.由于正四面體四個面的面積相等，故有： VPABC＝VMABC＋VMPAB＋VMPAC＋VMPBC＝S△ABC(d1＋d2＋d3＋d4)，而S△ABC＝a2，VPABC＝a3，故d1＋d2＋d3＋d4＝a(定值)． [能力提升] 1．根據(jù)給出的數(shù)塔，猜測123 4569＋7等于(　　) 19＋2＝11； 129＋3＝111； 1239＋4＝1 111； 1 2349＋5＝11 111； 12 3459＋6＝111 111； A．1 111 110 B．1 111 111 C．1 111 112 D．1 111 113 【解析】　由前5個等式知，右邊各位數(shù)字均為1，位數(shù)比前一個等式依次多1位，所以123 4569＋7＝1 111 111，故選B. 【答案】　B 2．已知結論：“在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點，G是三角形ABC的重心，則＝2”．若把該結論推廣到空間，則有結論：“在棱長都相等的四面體ABCD中，若△BCD的中心為M，四面體內部一點O到四面體各面的距離都相等”，則＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　如圖，設正四面體的棱長為1，即易知其高AM＝，此時易知點O即為正四面體內切球的球心，設其半徑為r，利用等體積法有4r＝?r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝∶＝3∶1. 【答案】　C 3．(2016溫州高二檢測)如圖219所示，橢圓中心在坐標原點，F(xiàn)為左焦點，當⊥時，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于_________________________． 【導學號：19220015】 圖219 【解析】　如圖所示，設雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)， 則F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)， 所以＝(c，b)，＝(－a，b)． 又因為⊥， 所以＝b2－ac＝0， 所以c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0， 所以e＝或e＝(舍去)． 【答案】　 4．某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)： ①sin213＋cos217－sin 13cos 17； ②sin215＋cos215－sin 15cos 15； ③sin218＋cos212－sin 18cos 12； ④sin2(－18)＋cos248－sin(－18)cos 48； ⑤sin2(－25)＋cos255－sin(－25)cos 55. (1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結論． 【解】　(1)選擇②式，計算如下： sin215＋cos215－sin 15cos 15＝1－sin 30＝1－＝. (2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α) ＝sin2α＋(cos 30cos α＋sin 30sin α)2－sin α(cos 30cos α＋sin 30sin α) ＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α ＝sin2α＋cos2α＝.