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第13講角、相交線和平行線,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)一線段、射線和直線1.直線的基本事實(shí):經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線,簡稱:兩點(diǎn)確定一條直線.2.線段的基本事實(shí):兩點(diǎn)之間,線段最短.3.兩點(diǎn)間的距離:連接兩點(diǎn)之間線段的長度叫做兩點(diǎn)間的距離.4.線段的中點(diǎn):把一條線段分成兩條相等的線段的點(diǎn).,,,,,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)二角1.(1)靜態(tài)定義:有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形.(2)動(dòng)態(tài)定義:角可以看作是一條射線繞著端點(diǎn)從起始位置(角的始邊)旋轉(zhuǎn)到終止位置(角的終邊)所形成的圖形.2.度量:角的度量單位為度、分、秒,并且1=60,1=60″;一周角=2平角=4直角=360.3.角的平分線:從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線,把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角,這條射線叫做這個(gè)角的平分線.4.(1)互余:如果兩個(gè)角的和為90,則這兩個(gè)角互為余角,簡稱互余,其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角.(2)互補(bǔ):如果兩個(gè)角的和為180,則這兩個(gè)角互為補(bǔ)角,簡稱互補(bǔ),其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角.(3)互余與互補(bǔ)的角性質(zhì):同角或等角的余角相等;同角或等角的補(bǔ)角相等.,,,,,,,,,,,,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)三相交線1.對頂角:(1)定義:兩條直線相交組成的四個(gè)角中,有公共頂點(diǎn)且沒有公共邊的兩個(gè)角叫做對頂角.(2)性質(zhì):對頂角相等.2.鄰補(bǔ)角:(1)定義:兩條直線相交組成的四個(gè)角中,有公共邊的兩個(gè)角叫鄰補(bǔ)角.(2)性質(zhì):鄰補(bǔ)角互補(bǔ).3.同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角:如圖,在同一平面內(nèi),兩條直線被第三條直線所截得到八個(gè)角,(1)其中是同位角的有∠1和∠5,∠2和∠6,∠3和∠7,∠4和∠8;(2)其中是內(nèi)錯(cuò)角的有∠2和∠8,∠3和∠5;(3)其中是同旁內(nèi)角的有∠2和∠5,∠3和∠8.,,,,,,,,,,,,,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,4.垂直的定義:兩直線相交所組成的四個(gè)角中,如果有一個(gè)角是直角,那么這兩條直線互相垂直,其中一條直線是另一條直線的垂線.5.垂線段的定義:如圖,A,B為直線l上的兩點(diǎn),P為直線l外一點(diǎn),PO⊥l,垂足為O,線段PO叫做垂線段,線段PA,PB叫做斜線段.6.(1)垂線段的事實(shí):過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直;(2)垂線段的性質(zhì):過直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中,垂線段最短.7.點(diǎn)到直線的距離:從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度,叫做點(diǎn)到直線的距離.,,,,,,,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)四平行線1.定義:在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫做平行線.用符號(hào)“∥”表示.2.位置關(guān)系:在同一平面內(nèi),兩條直線的位置關(guān)系有兩種(不考慮重合):相交和平行.3.(1)平行的基本事實(shí):經(jīng)過已知直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與已知直線平行.(2)平行的傳遞性:如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線互相平行.,,,,,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,4.平行線的判定方法:(1)平行線的定義;(2)平行線的傳遞性;(3)同位角相等,兩直線平行;(4)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行;(5)同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行.5.平行線的性質(zhì):(1)兩直線平行,同位角相等;(2)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;(3)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).,,,,,,,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)五命題、定理與證明1.命題:判斷一件事情的語句,叫做命題.命題由條件和結(jié)論兩部分組成.2.真、假命題:如果題設(shè)成立,那么結(jié)論一定成立,這樣的命題叫做真命題.如果題設(shè)成立,結(jié)論不成立,這樣的命題叫做假命題.3.證明:一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過推理作出判斷,這個(gè)推理過程叫做證明.4.基本事實(shí)、定理:從實(shí)踐中總結(jié)出來的真命題叫做基本事實(shí),經(jīng)過證明的并且常作為推理依據(jù)的真命題叫做定理.,,,,,,,,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,5.互逆命題與互逆定理:(1)在兩個(gè)命題中,如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè),那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題;(2)如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題,那么它也是一個(gè)定理,這兩個(gè)定理稱為互逆定理.,,,,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,線段的有關(guān)計(jì)算常要結(jié)合圖形,借助于圖形的直觀形象,從圖中看出各線段之間的關(guān)系或利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍數(shù)關(guān)系.例1已知點(diǎn)O在直線AB上,且線段OA的長度為4cm,線段OB的長度為6cm,E,F分別為線段OA,OB的中點(diǎn),則線段EF的長度為.答案1cm或5cm解析本題有兩種情況,如圖所示.根據(jù)中點(diǎn)的定義有:圖(1)中OE=2cm,OF=3cm,所以EF=OE+OF=5cm;圖(2)中OE=2cm,OF=3cm,所以EF=OF-OE=1cm.因此線段EF的長度為1cm或5cm.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,方法點(diǎn)撥常用的線段的長度計(jì)算方法技巧利用幾何的直觀性,尋找所求量與已知量的關(guān)系;利用線段中點(diǎn)的性質(zhì),進(jìn)行線段長度轉(zhuǎn)化;根據(jù)圖形及已知條件,利用解方程的方法求解;分類討論圖形的多樣性,注意所求結(jié)果的完整性.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,度、分、秒的換算與角的四則運(yùn)算1.度、分、秒是常用的角的度量單位.1度=60分,即1=60,1分=60秒,即1=60″.2.具體換算可類比時(shí)鐘上的時(shí)、分、秒來說明,角的度量單位度、分、秒之間也是60進(jìn)制,將高級(jí)單位化為低級(jí)單位時(shí),乘60,反之,將低級(jí)單位轉(zhuǎn)化為高級(jí)單位時(shí)除以60.同時(shí),在進(jìn)行度、分、秒的運(yùn)算時(shí),也應(yīng)注意借位和進(jìn)位的方法.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例2直接將結(jié)果填到下列橫線上:(1)56.28=″;(2)983018″=;(3)1232929″+694653″=;(4)141193″-1003812″=;(5)411637″5=;(6)973148″6=.答案(1)561648(2)98.505(3)1931622″(4)404051″(5)206235″(6)161518″,方法點(diǎn)撥進(jìn)行角度制的運(yùn)算時(shí),在進(jìn)位和借位的過程中,要始終注意度、分、秒都是60進(jìn)制,不要與十進(jìn)制和百進(jìn)制相混淆.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,余角與補(bǔ)角如果兩個(gè)角的和等于90(直角),就說這兩個(gè)角互為余角,即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角.如果兩個(gè)角的和等于180(平角),就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角,即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角,并且余角與補(bǔ)角具有性質(zhì):等角的補(bǔ)角相等,等角的余角相等.余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用,常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián).余角(補(bǔ)角)與這兩個(gè)角的位置沒有關(guān)系,只要度數(shù)之和滿足了定義,它們就具備相應(yīng)的關(guān)系.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例3一個(gè)角的余角是這個(gè)角的補(bǔ)角的,則這個(gè)角的度數(shù)是()A.30B.45C.60D.70答案B解析設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為x,則其余角是(90-x),其補(bǔ)角是(180-x).由題意,有90-x=(180-x),解得x=45.方法點(diǎn)撥兩角互余和為90,兩角互補(bǔ)和為180,據(jù)此列出關(guān)系式求解.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,相交線與垂線在相交直線中,一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè).鄰補(bǔ)角、對頂角都相對于兩個(gè)角而言,指的是兩個(gè)角的一種位置關(guān)系.它們都是在兩直線相交的前提下形成的.當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中,有一個(gè)角是直角時(shí),就說這兩條直線互相垂直,其中一條直線叫做另一條直線的垂線,它們的交點(diǎn)叫做垂足.垂線具有性質(zhì):過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.要注意的是“有且只有”中,“有”指“存在”,“只有”指“唯一”,“過一點(diǎn)”的點(diǎn)在直線上或直線外都可以.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例4如圖,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠BOD=25,求∠AOE和∠DOF的度數(shù).解∵OE⊥CD,OF⊥AB,∠BOD=25,∴∠AOE=90-25=65,∠DOF=90+25=115.方法點(diǎn)撥當(dāng)已知兩直線相交時(shí),就能得出兩對對頂角、四組鄰補(bǔ)角;當(dāng)已知兩直線垂直時(shí),就能得出四個(gè)直角.對照圖形、題意,可根據(jù)需要選用.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,平行線的判定與性質(zhì)判定兩直線平行的方法有:(1)同位角相等,兩直線平行;(2)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行;(3)同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行;(4)兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線平行;(5)在同一平面內(nèi),如果兩條直線同時(shí)垂直于同一條直線,那么這兩條直線平行.平行線具有性質(zhì):(1)兩直線平行,同位角相等;(2)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;(3)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例5已知:如圖,AD∥EF,∠1=∠2.求證:AB∥DG.證明∵AD∥EF(已知),∴∠1=∠BAD(兩直線平行,同位角相等).∵∠1=∠2(已知),∴∠2=∠BAD(等量代換).∴AB∥DG(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).方法點(diǎn)撥當(dāng)兩直線平行時(shí),根據(jù)“兩直線平行,同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)”會(huì)得到很多角的數(shù)量關(guān)系,靈活選用其中的數(shù)量關(guān)系,可以幫我們解決很多問題.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,命題、定理與證明命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言的.任何一個(gè)命題非真即假.要說明一個(gè)命題的正確性,一般需要推理、論證,而判斷一個(gè)命題是假命題,只需舉出一個(gè)反例即可.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例6下列說法中:,②已知∠α=27,則∠α的補(bǔ)角是153;③已知x=2是方程x2-6x+c=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根,則c的值為8;,其中真命題有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè),考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,答案:B,方法點(diǎn)撥命題是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成的.題設(shè)是已知事項(xiàng),結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).一般地,命題都可以寫成“如果……,那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是條件,“那么”引出的部分是結(jié)論.,1.(2017甘肅張掖)將一把直尺與一塊三角板如圖放置.若∠1=45,則∠2為(C)A.115B.120C.135D.145,解析:如圖,由三角形的外角性質(zhì)得,∠3=90+∠1=90+45=135,∵直尺的兩邊互相平行,∴∠2=∠3=135.故選C.,,2.(2016甘肅武威)如圖,AB∥CD,DE⊥CE,∠1=34,則∠DCE的度數(shù)為(D)A.34B.54C.66D.56,,3.(2016甘肅天水)如圖,直線AB∥CD,OG是∠EOB的平分線,∠EFD=70,則∠BOG的度數(shù)是(C)A.70B.20C.35D.40,解析:∵AB∥CD,∴∠BOE=∠EFD=70,∵OG平分∠EOB,∴∠BOG=∠BOE=35.故選C.,,4.(2018甘肅)若一個(gè)角為65,則它的補(bǔ)角的度數(shù)為(C)A.25B.35C.115D.125,解析:180-65=115.故它的補(bǔ)角的度數(shù)為115.故選C.,,