高考理科數(shù)學一輪復習 第五章 第6講 不等式的證明
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,歡迎進入數(shù)學課堂,第6講不等式的證明,常用的證明不等式的方法,(1)比較法:比較法證明不等式的一般步驟:作差—變形—判斷—結論.為了判斷作差后的符號,有時要把這個差變形為一個常數(shù),或者變形為一個常數(shù)與一個或幾個平方和的形式,也可變形為幾個因式的積的形式,以便判斷其正負.(2)綜合法:利用某些已經(jīng)證明過的不等式(例如算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理)和不等式的性質,推導出所要證明的不等式,這個證明方法叫綜合法.利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質時要注意它們各自成立的條件.,綜合法證明不等式的邏輯關系是:A?B1?B2?…?Bn?B,及從已知條件A出發(fā),逐步推演不等式成立的必要條件,推導出所要證明的結論B.,(3)分析法:從求證的不等式出發(fā),分析使這個不等式成立的充分條件,把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題,即“執(zhí)果索因”.綜合過程有時正好是分析過程的逆推,所以常用分析法探索證明的途徑,然后用綜合法的形式寫出證明過程.,(4)反證法:可以從正難則反的角度考慮,即要證明不等式A>B,先假設A≤B,由題設及其它性質,推出矛盾,從而肯定A>B.凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時,可以考慮用反證法.,(5)放縮法:要證明不等式A0,且a≠1,若P=loga(a3-1),Q=loga(a2-1),,則P與Q的大小關系為(,),A,A.P>Q,B.P=Q,C.PQ,Ab>c時,前兩項為正,最后一項為負,如何使得三項之和為正,成為問題的關鍵,需采用“拆”的技巧,把第三項并入前兩項中去,于是想到ca(c-a)=ca[(c-b)+(b-a)]=ca(c-b)+ca(b-a),問題便迎刃而解.證明:左一右=ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)=ab(a-b)+bc(b-c)+ca[(c-b)+(b-a)]=a(a-b)(b-c)+c(b-c)(b-a)=(a-b)(b-c)(a-c).,例1:已知:a>b>c,求證:a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2.,∵a>b>c,∴(a-b)(b-c)(c-a)>0.因此:a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2.,比較法證不等式步驟可歸納為:,第一步:作差并化簡,其化簡目標應是n個因式之積或完,全平方式或常數(shù)的形式.,第二步:判斷差值與零的大小關系,必要時須進行討論.第三步:得出結論.,【互動探究】,證明:∵a+b=1,,∴ax2+by2-(ax+by)2=ax2+by2-a2x2-2abxy-b2y2=a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy=abx2+bay2-2abxy=ab(x-y)2.,又a、b∈R+,∴ab(x-y)2≥0.∴ax2+by2≥(ax+by)2.,考點2,綜合法,【互動探究】,,,,,,,,,1+b1+a,考點3,反證法,例3:已知a>0,b>0,且a+b>2.求證:,1+ba,,,1+ab,中至少,解題思路:由于題目結論是:至少有一個小于2,情況較復雜,討論起來比較繁,宜采用反證法.,證明:假設,1+ba,,,1+ab,都不小于2,則,1+ba,≥2,,1+ab,≥2.,∵a>0,b>0,∴1+b≥2a,1+a≥2b,兩式相加可得1+b+1+a≥2(a+b),即a+b≤2,這與已知a+b>2矛盾.故假設不成立.,因此:,,,ab,,中至少有一個小于2.,有一個小于2.,從正難則反的角度考慮,即要證明不等式A>B,先假設A≤B,由題設及其它性質,推出矛盾,從而肯定A>B,凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時,可以考慮用反證法.,【互動探究】3.若0- 配套講稿:
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