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第五章 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì),數(shù)字濾波類型與指標(biāo) 模擬濾波器設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法 設(shè)計(jì)IIR濾波器的雙線性變換法 設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器頻率變換法 數(shù)字陷波器設(shè)計(jì),1,§1 數(shù)字濾波類型與指標(biāo),濾波的目的,① 為了壓制輸入信號(hào)的某些頻率成分，從而改變信號(hào)頻譜中各頻率分量的相對(duì)比例。 ② 廣義濾波包括對(duì)信號(hào)的檢測(cè)與參量的估計(jì)。 信號(hào)的檢測(cè)：確定在干擾背景中信號(hào)是否存在。 信號(hào)參量的估計(jì)：為識(shí)別信號(hào)而確定信號(hào)的某一個(gè)或某幾個(gè)參量的估值。,濾波技術(shù),① 濾波器設(shè)計(jì)：根據(jù)給定濾波器的頻率特性，求得滿足該特性的傳輸函數(shù)。 ② 濾波過程的實(shí)現(xiàn)：獲得傳輸函數(shù)后，以何種方式達(dá)到對(duì)輸入信號(hào)的進(jìn)行濾波的目的。,2,數(shù)字濾波器,數(shù)字濾波類型與指標(biāo),數(shù)字濾波器（DF）的頻率特性,具有某種特定頻率特性的線性時(shí)不變系統(tǒng)。廣義上，任何線性時(shí)不變離散系統(tǒng)都是一個(gè)數(shù)字濾波器（簡(jiǎn)稱DF）。設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的任務(wù)就是尋求一個(gè)因果穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)，使其系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有指定的頻率特性。,3,幅度特性,數(shù)字濾波類型與指標(biāo),相位特性,DF按頻率特性的分類,DF可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通,4,理想濾波器的頻率響應(yīng),數(shù)字濾波類型與指標(biāo),5,DF的幅度特性性能要求（低通為例）,數(shù)字濾波類型與指標(biāo),,,,,,,,,0,6,數(shù)字濾波類型與指標(biāo),DF的相位特性性能要求,7,數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的基本問題,數(shù)字濾波類型與指標(biāo),數(shù)字濾波器,以上兩類數(shù)字濾波器，由于它們的系統(tǒng)函數(shù)不同，相應(yīng)的設(shè)計(jì)方法亦不同。但無論哪種數(shù)字濾波器，設(shè)計(jì)過程一般包括以下三個(gè)基本問題： ① 根據(jù)實(shí)際要求確定濾波器性能指標(biāo)； ② 用一個(gè)因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個(gè)指標(biāo)； ③ 用一個(gè)有限精度的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)這個(gè)傳輸函數(shù)。 問題①、③與實(shí)際的要求及實(shí)現(xiàn)的硬件條件有關(guān)，本章主要討論問題②，即：系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計(jì)(或逼近)問題。,8,設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的幾種方法,數(shù)字濾波類型與指標(biāo),設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器通常采用以下三種方法： 方法一：利用模擬濾波器的理論來設(shè)計(jì),9,首先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后將它 “ 變換 ” 成滿足給定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。 這種方法適合于設(shè)計(jì)幅頻特性比較規(guī)則的濾波器，例如低通、高通、帶通、帶阻等。,數(shù)字濾波類型與指標(biāo),當(dāng)把模擬濾波器的H(s) “ 變換 ” 成數(shù)字濾波器的H(z) 時(shí)，其實(shí)質(zhì)就是實(shí)現(xiàn)S平面向Z平面的 “ 映射 ” 。這必須滿足兩個(gè)條件： ① 必須保證模擬頻率映射為數(shù)字頻率，且保證兩者的頻率特性基本一致。即：要求變換后代表S平面的虛軸jΩ應(yīng)映射到Z片面的單位圓且數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器頻率響應(yīng)的形狀應(yīng)基本保持不變； ② 因果穩(wěn)定的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)H(z)后，仍然是因果穩(wěn)定的。即：要求S平面左半平面的極點(diǎn)必須映射到Z平面的單位圓內(nèi)。,實(shí)現(xiàn) “ 映射 ” 的兩種常用的方法： 脈沖響應(yīng)不變法：從時(shí)域的角度出發(fā)進(jìn)行映射 雙線性不變法：從頻域角度出發(fā)進(jìn)行映射,10,方法二：利用最優(yōu)化技術(shù)進(jìn)行CAD設(shè)計(jì),數(shù)字濾波類型與指標(biāo),若需設(shè)計(jì)濾波器的幅頻特性是任意的或者形狀比較復(fù)雜，可采用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)方法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。,設(shè)計(jì)思路：,11,數(shù)字濾波類型與指標(biāo),方法三：利用 “ 零極點(diǎn)累試法 ” 進(jìn)行設(shè)計(jì),若需設(shè)計(jì)濾波器的幅頻特性比較規(guī)則而且簡(jiǎn)單時(shí)，可采用“ 零極點(diǎn)累試法 ”進(jìn)行設(shè)計(jì)。例如：數(shù)字陷波器,12,§2 模擬濾波器的設(shè)計(jì),由于IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)是基于現(xiàn)有的模擬濾波器設(shè)計(jì)的成熟技術(shù)而完成的。故討論 “ IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) ”之前，必須介紹模擬濾波器設(shè)計(jì)的一些基本概念，并介紹兩種常用的模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法 ：巴特沃思(Butterworth)濾波器和切比雪夫(Chebyshev)濾波器。,13,§2 模擬濾波器的設(shè)計(jì),模擬濾波器設(shè)計(jì)中的基本概念,1、模擬濾波器的頻率特性與衰減特性,設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：,工程上，濾波器的幅度特性所給定的指標(biāo)通常是通帶和阻帶的衰減。（常用反映功率增益的幅度平方函數(shù)或模平方函數(shù)來表示）即：,當(dāng)要求濾波器具有線性相位特性（延時(shí)τ為常數(shù)）時(shí)，濾波器的頻率特性為：,14,模擬濾波器的設(shè)計(jì),2、歸一化與頻率變換,頻率變換：從歸一化低通原型濾波器到高通、帶通、帶阻等其它類型的濾波器的變換方法。,在設(shè)計(jì)模擬濾波器時(shí)，為使設(shè)計(jì)結(jié)果具有普遍性以及計(jì)算方便，常采用歸一化參數(shù)。,歸一化包含： ① 電路參數(shù)歸一化：將系統(tǒng)中無源元件的阻抗或運(yùn)算阻抗分別除以基準(zhǔn)電阻(系統(tǒng)的負(fù)載電阻值)； ② 頻率歸一化：將所有的頻率都除以基準(zhǔn)頻率（濾波器的截止頻率）。計(jì)算實(shí)際電路參數(shù)時(shí)應(yīng)要將歸一化頻率乘以截止頻率，進(jìn)行反歸一化。,15,模擬濾波器的設(shè)計(jì),3、由模平方函數(shù) 求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s),由實(shí)函數(shù)的傅立葉變換的共軛對(duì)稱性知：,16,模擬濾波器的設(shè)計(jì),4、逼近問題,尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)慕坪瘮?shù)來逼近理想特性。,17,巴特沃思Butterworth低通濾波器,模擬濾波器的設(shè)計(jì),BW濾波器以巴特沃思函數(shù)來近似濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，BW的低通模平方函數(shù)為：,指定 、 后，帶 到上式，得：,1、基本性質(zhì),階數(shù),指定 、 后，帶 到上式，得：,18,模擬濾波器的設(shè)計(jì),說明：,19,模擬濾波器的設(shè)計(jì),表明 處最平坦,20,模擬濾波器的設(shè)計(jì),歸一化巴特沃思低通濾波器的幅度特性,21,模擬濾波器的設(shè)計(jì),2、設(shè)計(jì)過程,① 按給定的通、阻帶指標(biāo)恰當(dāng)?shù)剡x擇濾波器的階次N,22,模擬濾波器的設(shè)計(jì),② 從模平方函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù)H(s),Ⅰ 求得極點(diǎn),23,模擬濾波器的設(shè)計(jì),下圖給出的是按以上公式所求得的N=3和N=4時(shí)的極點(diǎn)發(fā)布圖：,關(guān)于極點(diǎn)的討論,24,模擬濾波器的設(shè)計(jì),Ⅱ 系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)成,25,有關(guān)“系統(tǒng)函數(shù)構(gòu)成”的典型例題,例：設(shè)計(jì)一巴特沃思濾波器，使其滿足以下指標(biāo): 通帶邊頻 =100krad/s, 通帶的最大衰減為 = 3dB，阻帶邊頻為 =400k rad/s,阻帶的最小衰減為 =35dB。,解:由于通帶邊頻就是3dB 截止頻率，即,確定階次N：,求左半平面的極點(diǎn):,26,有關(guān)“系統(tǒng)函數(shù)構(gòu)成”的典型例題,27,模擬濾波器的設(shè)計(jì),Ⅲ 一般N階歸一化巴特沃思濾波器系統(tǒng)函數(shù) 表示,上式中 是 時(shí)的極點(diǎn)（分布在單位圓上）；分母一般稱為巴特沃思多項(xiàng)式，其系數(shù)可通過查附表1求得。,28,【附表1】：巴特沃思多項(xiàng)式系數(shù)表,29,【附表2】：巴特沃思多項(xiàng)式因式分解,30,模擬濾波器的設(shè)計(jì),巴特沃思模擬濾波器的設(shè)計(jì)總結(jié),① 上述歸一化公式和表格是相對(duì)3dB 截止頻率 給出的。由指定的技術(shù)指標(biāo) ，利用上述公式和表格進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，最關(guān)鍵的2個(gè)參數(shù)是濾波器的節(jié)數(shù)N和3dB 截止頻率 。 ② N用來求巴特沃思多項(xiàng)式， 用來反歸一化，求實(shí)際濾波器的參數(shù)。,31,切比雪夫（Chebyshev）低通濾波器,模擬濾波器的設(shè)計(jì),,切比雪夫低通濾波器采用切比雪夫函數(shù)來逼近給定的指標(biāo)，該函數(shù)具有等波紋特性。它可將指標(biāo)要求均勻發(fā)布在通帶（或阻帶）內(nèi)，故如此設(shè)計(jì)出的濾波器階數(shù)較低。,切比雪夫Ⅰ型低通濾波器,1、基本原理,切比雪夫Ⅰ型的幅度平方函數(shù)為：,32,模擬濾波器的設(shè)計(jì),定義：切比雪夫多項(xiàng)式,2、設(shè)計(jì)公式,33,模擬濾波器的設(shè)計(jì),則切比雪夫Ⅰ型濾波器的傳輸函數(shù)為：,34,§3 設(shè)計(jì)IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法,脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的基本原理和方法,1、基本原理,從時(shí)域響應(yīng)出發(fā)，使求得的數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)等于模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)h(t)的抽樣值。,若 已知，則：,2、方法,① 將H(s)進(jìn)行部分分式展開：,② 對(duì)H(s)進(jìn)行拉氏反變換：,35,設(shè)計(jì)IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法,③ 由 獲得：,④ 對(duì) 取 變換得：,脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng),設(shè)原模擬濾波器的頻率響應(yīng)為 ?！?h(n)是h(t)的等間隔抽樣，根據(jù)抽樣定理，序列h(n)的頻譜是原模擬信號(hào)頻譜的周期延拓。即：,36,設(shè)計(jì)IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法,注意：∵高通和帶阻濾波器不能滿足以上的要求，將會(huì)產(chǎn)生混疊?！嗝}沖響應(yīng)不變法不適合用來設(shè)計(jì)高通和帶阻數(shù)字濾波器。,幾點(diǎn)修正,① 消去T的影響,37,設(shè)計(jì)IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法,數(shù)字頻率響應(yīng)與模擬頻率響應(yīng)的主要差別：具有一個(gè)乘法因子(1/T)= fS。當(dāng)采樣頻率fS很高時(shí)，將會(huì)使濾波器的增益很大，這往往是不希望的。為此可對(duì) 作如下修正：,② 直接用數(shù)字頻率表示的求H(z)的公式,實(shí)際濾波器設(shè)計(jì)中，為使設(shè)計(jì)公式及有關(guān)參數(shù)表格化（使之更通用），做到只要知道濾波器的階數(shù)，就可直接查出低通原型的系統(tǒng)函數(shù)。因模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的表格大都是歸一化低通原型 ，其濾波器3dB點(diǎn)截止頻率都?xì)w一化在,38,設(shè)計(jì)IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法,當(dāng)濾波器的實(shí)際截止頻率不等于1時(shí)，須進(jìn)行反歸一化：以 代替 中的 s 。即實(shí)際低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)應(yīng)為:,39,典 型 例 題,解：,分三步設(shè)計(jì)所要求的數(shù)字低通濾波器：,① 查“巴特沃斯數(shù)字低通濾波器原型表”，得系統(tǒng)函數(shù)：,40,典 型 例 題,② 部分分式展開并求Ak ：,41,