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第5章無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),5.1數(shù)字濾波器的基本概念5.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)5.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器,5.1數(shù)字濾波器的基本概念,1.數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類，可以分成無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器和有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為：,圖5.1.1理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性,2數(shù)字濾波器的技術(shù)要求我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(ejω)用下式表示：,圖5.1.2低通濾波器的技術(shù)要求,通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用αp表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用αs表示，αp和αs分別定義為：,(5.1.3),(5.1.4),如將|H(ej0)|歸一化為1，(5.1.3)和(5.1.4)式則表示成：,(5.1.5),(5.1.6),3.數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述IIR濾波器和FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法是很不相同的。IIR濾波器設(shè)計(jì)方法有兩類，經(jīng)常用的一類設(shè)計(jì)方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行的。其設(shè)計(jì)步驟是：先設(shè)計(jì)模擬濾波器得到傳輸函數(shù)Ha(s)，然后將Ha(s)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。,5.2模擬濾波器的設(shè)計(jì),模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。,圖5.2.1各種理想濾波器的幅頻特性,1.模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有αp,Ωp,αs和Ωs。其中Ωp和Ωs分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，αp是通帶Ω(=0~Ωp)中的最大衰減系數(shù)，αs是阻帶Ω≥Ωs的最小衰減系數(shù)，αp和αs一般用dB數(shù)表示。對(duì)于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成：,(5.2.1),(5.2.2),如果Ω=0處幅度已歸一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs表示為以上技術(shù)指標(biāo)用圖5.2.2表示。圖中Ωc稱為3dB截止頻率，因,(5.2.3),(5.2.4),圖5.2.2低通濾波器的幅度特性,濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)αp和αs，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，因此,(5.2.5),2.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)方法巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2用下式表示：,(5.2.6),圖5.2.3巴特沃斯幅度特性和N的關(guān)系,將幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2寫成s的函數(shù)：,(5.2.7),此式表明幅度平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)sk用下式表示：,(5.2.8),圖5.2.4三階巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布,為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)。Ha(s)的表示式為,設(shè)N=3，極點(diǎn)有6個(gè)，它們分別為,取s平面左半平面的極點(diǎn)s0,s1,s2組成Ha(s)：,由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對(duì)3dB截止頻率Ωc歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。令λ=Ω/Ωc，λ稱為歸一化頻率；令p=jλ，p稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為,(5.2.10),(5.2.11),式中，pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：將極點(diǎn)表示式(5.2.12)代入(5.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p的N階多項(xiàng)式，用下式表示：,(5.2.12),將Ω=Ωs代入(5.2.6)式中，再將|Ha(jΩs)|2代入(5.2.4)式中，得到：,(5.2.14),(5.2.15),由(5.2.14)和(5.2.15)式得到：,令,,則N由下式表示：,(5.2.16),用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)。關(guān)于3dB截止頻率Ωc，如果技術(shù)指標(biāo)中沒(méi)有給出，可以按照(5.2.14)式或(5.2.15)式求出，由(5.2.14)式得到：,由(5.2.15)式得到：,(5.2.17),(5.2.18),總結(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)Ωp,αp,Ωs和αs，用(5.2.16)式求出濾波器的階數(shù)N。(2)按照(5.2.12)式，求出歸一化極點(diǎn)pk，將pk代入(5.2.11)式，得到歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)。(3)將Ha(p)去歸一化。將p=s/Ωc代入Ha(p)，得到實(shí)際的濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。,表5.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù),例5.2.1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減αp=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=30dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。解(1)確定階數(shù)N。,(2)按照(5.2.12)式，其極點(diǎn)為,按照(5.2.11)式，歸一化傳輸函數(shù)為,上式分母可以展開(kāi)成為五階多項(xiàng)式，或者將共軛極點(diǎn)放在一起，形成因式分解形式。這里不如直接查表5.2.1簡(jiǎn)單，由N=5，直接查表得到：極點(diǎn)：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878;-1.0000,式b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361,(3)為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率Ωc。按照(5.2.17)式，得到：,將Ωc代入(5.2.18)式，得到：,將p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：,3.模擬濾波器的頻率變換——模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)為了防止符號(hào)混淆，先規(guī)定一些符號(hào)如下：1)低通到高通的頻率變換λ和η之間的關(guān)系為上式即是低通到高通的頻率變換公式，如果已知低通G(jλ)，高通H(jη)則用下式轉(zhuǎn)換：,(5.2.41),(5.2.40),圖5.2.9低通與高通濾波器的幅度特性,模擬高通濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：(1)確定高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶下限頻率Ω′p，阻帶上限頻率Ω′s，通帶最大衰減αp，阻帶最小衰減αs。(2)確定相應(yīng)低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)：按照(5.2.40)式，將高通濾波器的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通濾波器的邊界頻率，各項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)為：①低通濾波器通帶截止頻率Ωp=1/Ω′p；②低通濾波器阻帶截止頻率Ωs=1/Ω′s；③通帶最大衰減仍為αp，阻帶最小衰減仍為αs。,(3)設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器G(p)。(4)求模擬高通的H(s)。將G(p)按照(5.2.40)式，轉(zhuǎn)換成歸一化高通H(q)，為去歸一化，將q=s/Ωc代入H(q)中，得例5.2.3設(shè)計(jì)高通濾波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性單調(diào)下降，fp處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減αs=15dB。,(5.2.42),解①高通技術(shù)要求：fp=200Hz,αp=3dB;//3dbfcfs=100Hz,αs=15dB歸一化頻率,②低通技術(shù)要求：,③設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯濾波器，故,④求模擬高通H(s)：2)低通到帶通的頻率變換低通與帶通濾波器的幅度特性如圖5.2.10所示。,圖5.2.10帶通與低通濾波器的幅度特性,表5.2.2η與λ的對(duì)應(yīng)關(guān)系,由η與λ的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得到：,由表5.2.2知λp對(duì)應(yīng)ηu，代入上式中，有,(5.2.43)式稱為低通到帶通的頻率變換公式。利用該式將帶通的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通的邊界頻率。下面推導(dǎo)由歸一化低通到帶通的轉(zhuǎn)換公式。由于,(5.2.43),將(5.2.43)式代入上式，得到：,將q=jη代入上式，得到：,為去歸一化，將q=s/B代入上式，得到：,(5.2.44),(5.2.45),上式就是由歸一化低通直接轉(zhuǎn)換成帶通的計(jì)算公式。下面總結(jié)模擬帶通的設(shè)計(jì)步驟。(1)確定模擬帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，即：帶通上限頻率Ωu，帶通下限頻率Ωl下阻帶上限頻率Ωs1,上阻帶下限頻率Ωs2通帶中心頻率Ω20=ΩlΩu，通帶寬度B=Ωu-Ωl與以上邊界頻率對(duì)應(yīng)的歸一化邊界頻率如下：,(2)確定歸一化低通技術(shù)要求：λs與-λs的絕對(duì)值可能不相等，一般取絕對(duì)值小的λs，這樣保證在較大的λs處更能滿足要求。通帶最大衰減仍為αp，阻帶最小衰減亦為αs。(3)設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。(4)由(5.2.45)式直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶通H(s)。,例5.2.4設(shè)計(jì)模擬帶通濾波器，通帶帶寬B=2π200rad/s，中心頻率Ω0=2π1000rad/s，通帶內(nèi)最大衰減αp=3dB，阻帶Ωs1=2π830rad/s,Ωs2=2π1200rad/s，阻帶最小衰減αs=15dB。解(1)模擬帶通的技術(shù)要求：Ω0=2π1000rad/s,αp=3dBΩs1=2π830rad/s,Ωs2=2π1200rad/s,αs=15dBB=2π200rad/s;η0=5,ηs1=4.15,ηs2=6,(2)模擬歸一化低通技術(shù)要求：,取λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB。(3)設(shè)計(jì)模擬歸一化低通濾波器G(p)：采用巴特沃斯型，有,取N=3，查表5.2.1，得,(4)求模擬帶通H(s)：,3)低通到帶阻的頻率變換低通與帶阻濾波器的幅頻特性如圖5.2.11所示。,圖5.2.11低通與帶阻濾波器的幅頻特性,圖中，Ωl和Ωu分別是下通帶截止頻率和上通帶截止頻率，Ωs1和Ωs2分別為阻帶的下限頻率和上限頻率，Ω0為阻帶中心頻率，Ω20=ΩuΩl，阻帶帶寬B=Ωu-Ωl，B作為歸一化參考頻率。相應(yīng)的歸一化邊界頻率為ηu=Ωu/B,ηl=Ωl/B,ηs1=Ωs1/B,ηs2=Ωs2/B;η20=ηuηl,表5.2.3η與λ的對(duì)應(yīng)關(guān)系,根據(jù)η與λ的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得到：且ηuηl=1，λp=1，(5.2.46)式稱為低通到帶阻的頻率變換公式。將(5.2.46)式代入p=jλ，并去歸一化，可得上式就是直接由歸一化低通轉(zhuǎn)換成帶阻的頻率變換公式。,(5.2.46),(5.2.47),(5.2.48),下面總結(jié)設(shè)計(jì)帶阻濾波器的步驟：(1)確定模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求，即：下通帶截止頻率Ωl,上通帶截止頻率Ωu阻帶下限頻率Ωs1，阻帶上限頻率Ωs2阻帶中心頻率Ω20=ΩuΩl，阻帶寬度B=Ωu-Ωl它們相應(yīng)的歸一化邊界頻率為ηl=Ωl/B,ηu=Ωu/B,ηs1=Ωs1/B;ηs2=Ωs2/B,η20=ηuηl以及通帶最大衰減αp和阻帶最小衰減αs。,(2)確定歸一化模擬低通技術(shù)要求，即：取λs和λs的絕對(duì)值較小的λs；通帶最大衰減為αp，阻帶最小衰減為αs。(3)設(shè)計(jì)歸一化模擬低通G(p)。(4)按照(5.2.48)式直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶阻濾波器H(s)。,例5.2.5設(shè)計(jì)模擬帶阻濾波器，其技術(shù)要求為：Ωl=2π905rad/s,Ωs1=2π980rad/s,Ωs2=2π1020rad/s,Ωu=2π1105rad/s,αp=3dB,αs=25dB。試設(shè)計(jì)巴特沃斯帶阻濾波器。解(1)模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求：Ωl=2π905,Ωu=2π1105;Ωs1=2π980,Ωs2=2π1020;Ω20=ΩlΩu=4π+21000025,B=Ωu-Ωl=2π200;,ηl=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu/B=5.525;ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1;η20=ηlηu=25(2)歸一化低通的技術(shù)要求：,(3)設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器G(p):,(4)帶阻濾波器的H(s)為,5.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器,為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求：(1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。,設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha(t),設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：,(5.3.1),式中si為Ha(s)的單階極點(diǎn)。將Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得到ha(t)：,(5.3.2),式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對(duì)ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：,(5.3.3),對(duì)上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：,(5.3.4),設(shè)ha(t)的采樣信號(hào)用ha(t)表示，,對(duì)進(jìn)行拉氏變換，得到:,式中ha(nT)是ha(t)在采樣點(diǎn)t=nT時(shí)的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到:,(5.3.5),上式表示采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示：我們知道模擬信號(hào)ha(t)的傅里葉變換Ha(jΩ)和其采樣信號(hào)的傅里葉變換之間的關(guān)系滿足(1.5.5)式，重寫如下：,(5.3.6),將s=jΩ代入上式，得,由(5.3.5)式和(5.3.8)式得到:,(5.3.7),(5.3.8),(5.3.9),上式表明將模擬信號(hào)ha(t)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期Ωs=2π/T延拓后，再按照(5.3.6)式映射關(guān)系，映射到z平面上，就得到H(z)。(5.3.6)式可稱為標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系。下面進(jìn)一步分析這種映射關(guān)系。設(shè),按照(5.3.6)式，得到:,因此得到:,(5.3.10),那么σ=0,r=1σ0,r>1另外，注意到z=esT是一個(gè)周期函數(shù)，可寫成,為任意整數(shù),圖5.3.1z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系,圖5.3.2脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象,假設(shè)沒(méi)有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足按照(5.3.9)式，并將關(guān)系式s=jΩ代入，ω=ΩT，代入得到：令,一般Ha(s)的極點(diǎn)si是一個(gè)復(fù)數(shù)，且以共軛成對(duì)的形式出現(xiàn)，在(5.3.1)式中將一對(duì)復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為,極點(diǎn)為,(5.3.11),可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)(只有實(shí)數(shù)乘法)的形式為,(5.3.12),如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為,極點(diǎn)為,(5.3.13),(5.3.14),例5.3.1已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。解首先將Ha(s)寫成部分分式：,極點(diǎn)為,那么H(z)的極點(diǎn)為,按照(5.3.4)式，并經(jīng)過(guò)整理，得到設(shè)T=1s時(shí)用H1(z)表示，T=0.1s時(shí)用H2(z)表示，則,轉(zhuǎn)換時(shí)，也可以直接按照(5.3.13),(5.3.14)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換。首先將Ha(s)寫成(5.3.13)式的形式，如極點(diǎn)s1,2=σ1jΩ1,則,再按照(5.3.14)式，H(z)為,圖5.3.3例5.3.1的幅度特性,