（湖南專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 空間與圖形 6.2 圖形的相似（試卷部分）課件.ppt
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6.2圖形的相似,中考數(shù)學(xué)(湖南專用),A組2014—2018年湖南中考題組,五年中考,考點一相似與位似,1.(2018湖南邵陽,8,3分)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點A(2,4),過點A作AB⊥x軸于點B.將△AOB以坐標(biāo)原點O為位似中心縮小為原圖形的,得到△COD,則CD的長度是()A.2B.1C.4D.2.5,答案A∵點A(2,4),過點A作AB⊥x軸于點B,將△AOB以坐標(biāo)原點O為位似中心縮小為原圖形的,得到△COD,∴C(1,2),則CD的長度是2.故選A.,2.(2014湖南張家界,7,3分)下列關(guān)于位似圖形的表述:①相似圖形一定是位似圖形,位似圖形一定是相似圖形;②位似圖形一定有位似中心;③如果兩個圖形是相似圖形,且每組對應(yīng)點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點,那么,這兩個圖形是位似圖形;④位似圖形上任意兩點與位似中心的距離之比等于位似比.其中正確的序號是()A.②③B.①②C.③④D.②③④,答案A相似圖形不一定是位似圖形,故①錯誤;位似圖形對應(yīng)點與位似中心的距離之比等于位似比,故④錯誤;②③正確.故選A.,3.(2017湖南長沙,16,3分)如圖,△ABO三個頂點的坐標(biāo)分別為A(2,4),B(6,0),O(0,0),以原點O為位似中心,把這個三角形縮小為原來的,可以得到△ABO,已知點B的坐標(biāo)是(3,0),則點A的坐標(biāo)是.,答案(1,2),解析根據(jù)位似變換的性質(zhì)及已知可得,點A的坐標(biāo)為(1,2).,思路分析理解位似比與相似比兩者的關(guān)系,由題意可得位似比等于,又因為圖形在第一象限,所以根據(jù)位似變換的性質(zhì)可得答案.,4.(2016湖南郴州,14,3分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點坐標(biāo)分別為O(0,0),A(2,0),B(2,1),C(0,1).以坐標(biāo)原點O為位似中心,將矩形OABC放大為原圖形的2倍,記所得矩形為OA1B1C1.B的對應(yīng)點為B1,且B1在OB的延長線上,則B1的坐標(biāo)為.,答案(4,2),解析∵B點坐標(biāo)為(2,1),而B的對應(yīng)點為B1,且B1在OB的延長線上,∴B1的坐標(biāo)為(22,12),即(4,2).,思路分析如果位似變換是以原點為位似中心,相似比為k,則位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或-k,因為B(2,1),∴對應(yīng)點B1為(4,2)或(-4,-2),但因為點B1在OB的延長線上,所以答案只能為(4,2).,易錯警示根據(jù)位似變換的性質(zhì),易錯填為(4,2)或(-4,-2).,5.(2014湖南湘西,23,10分)如圖,在88的正方形網(wǎng)格中,△CAB和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上,AC與網(wǎng)格上的直線相交于點M.(1)填空:AC=,AB=;(2)求∠ACB的值和tan∠1的值;(3)判斷△CAB和△DEF是否相似,并說明理由.,解析(1)2;2.(2)∵BC=AC==2,AB==2,∴BC2+AC2=(2)2+(2)2=40,AB2=(2)2=40,∴BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90.由題圖可知tan∠1==.(3)相似.理由如下:∵DE==,DF==,EF==,∴==2,==2,==2,∴==,∴△CAB∽△DEF.,6.(2014湖南郴州,19,6分)在1313的網(wǎng)格圖中,已知△ABC和點M(1,2).(1)以點M為位似中心,畫出△ABC的位似圖形△ABC,使△ABC與△ABC的位似比為2∶1;(2)寫出△ABC的各頂點坐標(biāo).,解析(1)作圖正確給滿分,不分步給分.(3分)(2)A(3,6),B(5,2),C(11,4).(6分),考點二相似三角形的判定與性質(zhì),1.(2018湖南永州,8,4分)如圖,在△ABC中,點D是邊AB上的一點,∠ADC=∠ACB,AD=2,BD=6,則邊AC的長為()A.2B.4C.6D.8,答案B∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴△ADC∽△ACB,∴=,∴AC2=ADAB=2(2+6)=16,∵AC>0,∴AC=4.故選B.,思路分析先證明△ADC∽△ACB,可得=,即AC2=ADAB,由此即可解決問題.,2.(2017湖南張家界,5,3分)如圖,D,E分別是△ABC的邊AB,AC上的中點,如果△ADE的周長是6,則△ABC的周長是()A.6B.12C.18D.24,答案B根據(jù)三角形中位線定理得到DE∥BC,DE=BC,∴△ADE∽△ABC,=,∵相似三角形的周長比等于相似比,∴△ABC的周長為26=12.故選B.,3.(2017湖南株洲,10,3分)如圖所示,若△ABC內(nèi)一點P滿足∠PAC=∠PBA=∠PCB,則點P為△ABC的布洛卡點.三角形的布洛卡點(Brocardpoint)是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾(A.L.Crelle1780-1855)于1816年首次發(fā)現(xiàn),但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時的人們所注意,1875年,布洛卡點被一個數(shù)學(xué)愛好者法國軍官布洛卡(Brocard1845-1922)重新發(fā)現(xiàn),并用他的名字命名.問題:已知在等腰直角三角形DEF中,∠EDF=90,若點Q為△DEF的布洛卡點,DQ=1,則EQ+FQ=()A.5B.4C.3+D.2+,答案D如圖,在等腰直角三角形△DEF中,∠EDF=90,DE=DF,∠1=∠2=∠3,∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45,∴∠QEF=∠DFQ,∵∠2=∠3,∴△DQF∽△FQE,∴===,∵DQ=1,∴FQ=,EQ=2,∴EQ+FQ=2+,故選D.,4.(2016湖南湘西,17,4分)如圖,在△ABC中,DE∥BC,DB=2AD,△ADE的面積為1,則四邊形DBCE的面積為()A.3B.5C.6D.8,答案D由DE∥BC,DB=2AD,得△ADE∽△ABC,=,進而得=.由△ADE的面積為1,得S△ABC=9,故S四邊形DBCE=S△ABC-S△ADE=8,故選D.,評析本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),利用相似三角形的面積比等于相似比的平方得出S△ABC=9是解題關(guān)鍵.,易錯警示本題易錯點:===.,思路分析由平行構(gòu)成“A”型,從而得出兩個三角形相似,再由相似三角形的性質(zhì)得到問題的答案.,5.(2015湖南永州,8,3分)如圖,下列條件不能判定△ADB∽△ABC的是()A.∠ABD=∠ACBB.∠ADB=∠ABCC.AB2=ADACD.=,答案D∵∠A=∠A,∠ABD=∠ACB,∴△ADB∽△ABC;∵∠A=∠A,∠ADB=∠ABC,∴△ADB∽△ABC;∵∠A=∠A,AB2=ADAC,即=,∴△ADB∽△ABC;若=,則需∠A=∠ABC,∴D不能判定△ADB∽△ABC,故選D.,6.(2018湖南邵陽,12,3分)如圖所示,點E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點,連接AE,交CD于點F,連接BF,寫出圖中任意一對相似三角形.,答案△ADF∽△ECF(答案不唯一),解析∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AD∥CE,∴∠DAF=∠E,∠D=∠FCE,∴△ADF∽△ECF.,7.(2016湖南衡陽,16,3分)若△ABC與△DEF相似且面積之比為25∶16,則△ABC與△DEF的周長之比為.,答案5∶4,解析相似三角形的面積比等于相似比的平方,相似三角形的周長比等于相似比,因為△ABC與△DEF相似且面積比為25∶16,所以△ABC與△DEF的周長比為5∶4.,8.(2015湖南長沙,17,3分)如圖,在△ABC中,DE∥BC,=,DE=6,則BC的長是.,答案18,解析∵DE∥BC,∴=,∵DE=6,∴=,∴BC=18.,9.(2016湖南懷化,21,8分)如圖,△ABC為銳角三角形,AD是BC邊上的高,正方形EFGH的一邊FG在BC上,頂點E、H分別在AB、AC上,已知BC=40cm,AD=30cm.(1)求證:△AEH∽△ABC;(2)求這個正方形的邊長與面積.,解析(1)證明:∵四邊形EFGH是正方形,∴EH∥BC,∴∠AEH=∠B,∠AHE=∠C,∴△AEH∽△ABC.(2)如圖,設(shè)AD與EH交于點M.∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90,∴四邊形EFDM是矩形,∴EF=DM,設(shè)正方形EFGH的邊長為x,,∵△AEH∽△ABC,∴=,∴=,∴x=,∴正方形EFGH的邊長為cm,面積為cm2.,評析本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的相似比等于高的比,列出方程解決問題,屬于中考?？碱}型.,B組2014—2018年全國中考題組,考點一相似與位似,1.(2017四川成都,8,3分)如圖,四邊形ABCD和ABCD是以點O為位似中心的位似圖形,若OA∶OA=2∶3,則四邊形ABCD與四邊形ABCD的面積比為()A.4∶9B.2∶5C.2∶3D.∶,答案A由位似圖形的性質(zhì)知==,所以==.故選A.,2.(2015甘肅蘭州,5,4分)如圖,線段CD兩個端點的坐標(biāo)分別為C(1,2)、D(2,0),以原點為位似中心,將線段CD放大得到線段AB,若點B的坐標(biāo)為(5,0),則點A的坐標(biāo)為()A.(2,5)B.(2.5,5)C.(3,5)D.(3,6),答案B設(shè)點A的坐標(biāo)為(x,y),由位似圖形的性質(zhì)知,==,得x=2.5,y=5,則點A的坐標(biāo)為(2.5,5).故選B.,3.(2015遼寧沈陽,14,4分)如圖,△ABC與△DEF位似,位似中心為點O,且△ABC的面積等于△DEF面積的,則AB∶DE=.,答案2∶3,解析∵△ABC與△DEF位似,∴△ABC∽△DEF,∴=.∵S△ABC=S△DEF,∴=.∴=,∴=(舍負),即AB∶DE=2∶3.,考點二相似三角形的判定與性質(zhì),1.(2017河北,7,3分)若△ABC的每條邊長增加各自的10%得△ABC,則∠B的度數(shù)與其對應(yīng)角∠B的度數(shù)相比()A.增加了10%B.減少了10%C.增加了(1+10%)D.沒有改變,答案D△ABC的每條邊長增加各自的10%即變?yōu)樵瓉淼?.1倍,得到△ABC,根據(jù)相似三角形的判定方法可得△ABC∽△ABC,所以∠B=∠B,故選D.,2.(2017甘肅蘭州,13,4分)如圖,小明為了測量一涼亭的高度AB(頂端A到水平地面BD的距離),在涼亭的旁邊放置一個與涼亭臺階BC等高的平臺DE(DE=BC=0.5米,A,C,B三點共線),把一面鏡子水平放置在平臺上的點G處,測得CG=15米,然后沿著直線CG后退到點E處,這時恰好在鏡子里看到?jīng)鐾さ捻敹薃,測得GE=3米,小明身高EF=1.6米,則涼亭的高度AB約為()A.8.5米B.9米C.9.5米D.10米,答案A由光線反射可知∠AGC=∠FGE,又∵∠FEG=∠ACG=90,∴△FEG∽△ACG,∴FE∶AC=EG∶CG,∴1.6∶AC=3∶15,∴AC=8米.∵BC=0.5米,∴AB=AC+BC=8.5米.,解題關(guān)鍵本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是判定△FEG與△ACG相似.,3.(2015江蘇南京,3,2分)如圖,在△ABC中,DE∥BC,=,則下列結(jié)論中正確的是(),答案C∵=,∴=,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴===,故選項A、B錯誤;根據(jù)“相似三角形的周長比等于相似比,面積比等于相似比的平方”可知選項C正確,選項D錯誤.故選C.,4.(2018江西,14,6分)如圖,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分線,BD交AC于點E.求AE的長.,解析∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.∵AB∥CD,∴∠ABD=∠D,△ABE∽△CDE.∴∠CBD=∠D,=.∴BC=CD.∵AB=8,CA=6,CD=BC=4,∴=,∴AE=4.,思路分析根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求出∠D=∠CBD,進而可得BC=CD=4,通過△ABE∽△CDE,得出含AE的比例式,求出AE的值.,方法總結(jié)證明三角形相似的常見方法:平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊或其延長線相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似,相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型,如圖所示.在應(yīng)用時要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形.,5.(2018福建,20,8分)求證:相似三角形對應(yīng)邊上的中線之比等于相似比.要求:①根據(jù)給出的△ABC及線段AB,∠A(∠A=∠A),以線段AB為一邊,在給出的圖形上用尺規(guī)作出△ABC,使得△ABC∽△ABC,不寫作法,保留作圖痕跡;②在已有的圖形上畫出一組對應(yīng)中線,并據(jù)此寫出已知,求證和證明過程.,解析①如圖,△ABC即為所求作的三角形.②已知:如圖,△ABC∽△ABC,===k,AD=DB,AD=DB.求證:=k.證明:∵AD=DB,AD=DB,∴AD=AB,AD=AB,,∴==,又=,∴=,∵△ABC∽△ABC,∴∠A=∠A,∴△CAD∽△CAD,∴==k.,解后反思本題考查尺規(guī)作圖、相似三角形的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識,考查推理能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想.,6.(2015江蘇南京,20,8分)如圖,△ABC中,CD是邊AB上的高,且=.(1)求證:△ACD∽△CBD;(2)求∠ACB的大小.,解析(1)證明:∵CD是邊AB上的高,∴∠ADC=∠CDB=90.又∵=,∴△ACD∽△CBD.(4分)(2)∵△ACD∽△CBD,∴∠A=∠BCD.在△ACD中,∠ADC=90,∴∠A+∠ACD=90,∴∠BCD+∠ACD=90,即∠ACB=90.(8分),C組教師專用題組,考點一相似與位似,1.(2014河北,13,3分)在研究相似問題時,甲、乙同學(xué)的觀點如下:對于兩人的觀點,下列說法正確的是()A.兩人都對B.兩人都不對C.甲對,乙不對D.甲不對,乙對,答案A由題意知新三角形與原三角形的對應(yīng)角相等,所以兩個三角形相似,甲的觀點正確;因為新矩形與原矩形的對應(yīng)角相等,但對應(yīng)邊的比并不相等,所以新矩形與原矩形不相似,乙的觀點也正確,故選A.,2.(2017吉林,12,3分)如圖,數(shù)學(xué)活動小組為了測量學(xué)校旗桿AB的高度,使用長為2m的竹竿CD作為測量工具.移動竹竿,使竹竿頂端的影子與旗桿頂端的影子在地面O處重合,測得OD=4m,BD=14m,則旗桿AB的高為m.,答案9,解析∵OD=4m,BD=14m,∴OB=18m.由題意知△ODC∽△OBA,∴=,即=,得AB=9m.,3.(2015甘肅蘭州,17,4分)如果===k(b+d+f≠0),且a+c+e=3(b+d+f),那么k=.,答案3,解析由題意得a=bk,c=dk,e=fk,則a+c+e=k(b+d+f)=3(b+d+f),故k=3.,4.(2015天津,16,3分)如圖,在△ABC中,DE∥BC,分別交AB,AC于點D,E.若AD=3,DB=2,BC=6,則DE的長為.,答案,解析∵DE∥BC,∴=,∴=,∴=,∴DE=.,評析本題考查了平行線分線段成比例定理.由DE∥BC可得=,從而可計算出DE的長.,5.(2015寧夏,20,6分)在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(2,-4),B(3,-2),C(6,-3).(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1;(2)以M點為位似中心,在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1的位似圖形△A2B2C2,使△A2B2C2與△A1B1C1的相似比為2∶1.,解析(1)如圖所示.(3分)(2)如圖所示.(6分),考點二相似三角形的判定與性質(zhì),1.(2015湖南株洲,7,3分)如圖,已知AB、CD、EF都與BD垂直,垂足分別是B、D、F,且AB=1,CD=3,那么EF的長是()A.B.C.D.,答案C∵AB、CD、EF都與BD垂直,∴AB∥CD∥EF,∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD,∴=,=,∴+=+==1.∵AB=1,CD=3,∴+=1,∴EF=.,2.(2018云南,5,3分)如圖,已知AB∥CD,若=,則=.,答案,解析∵AB∥CD,∴∠A=∠C,∠B=∠D,∴△AOB∽△COD.∴==.,3.(2017北京,13,3分)如圖,在△ABC中,M,N分別為AC,BC的中點.若S△CMN=1,則S四邊形ABNM=.,答案3,解析∵M,N分別為AC,BC的中點,∴MN∥AB,且MN=AB,∴△CMN∽△CAB,且相似比為1∶2,∵S△CMN=1,∴S△CAB=4,∴S四邊形ABNM=S△CAB-S△CMN=4-1=3.,4.(2017內(nèi)蒙古包頭,20,3分)如圖,在△ABC與△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且點D在AB上,點E與點C在AB的兩側(cè),連接BE,CD.點M、N分別是BE、CD的中點,連接MN,AM,AN.下列結(jié)論:①△ACD≌△ABE;②△ABC∽△AMN;③△AMN是等邊三角形;④若點D是AB的中點,則S△ACD=2S△ADE.其中正確的結(jié)論是.(填寫所有正確結(jié)論的序號),答案①②④,解析∵AB=AC,∠CAB=∠DAE,AD=AE,∴△ACD≌△ABE,∴①正確;由△ACD≌△ABE得CD=BE,∠ACD=∠ABE,又∵點M、N分別是BE、CD的中點,∴CN=BM,∴△ACN≌△ABM,∴AN=AM,∠CAN=∠BAM,∴∠CAN+∠BAN=∠BAM+∠BAN,即∠BAC=∠MAN,又∵=,∴△ABC∽△AMN,∴②正確;∵AN=AM,∴△AMN是等腰三角形,由已知條件不能得出△AMN是等邊三角形,∴③錯誤;若點D是AB的中點,則S△ABE=2S△ADE,又∵△ACD≌△ABE,∴S△ABE=S△ACD,∴S△ACD=2S△ADE,∴④正確.,5.(2015山東臨沂,18,3分)如圖,在△ABC中,BD,CE分別是邊AC,AB上的中線,BD與CE相交于點O,則=.,答案2,解析連接DE,∵BD,CE是AC,AB邊上的中線,∴DE為△ABC的中位線,∴DE=BC,DE∥BC,∴△OBC∽△ODE,∴==2.,6.(2015重慶,15,4分)已知△ABC∽△DEF,△ABC與△DEF的相似比為4∶1,則△ABC與△DEF對應(yīng)邊上的高之比為.,答案4∶1,解析兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高之比等于相似比,所以答案是4∶1.,7.(2015河南,10,3分)如圖,△ABC中,點D,E分別在邊AB,BC上,DE∥AC.若BD=4,DA=2,BE=3,則EC=.,答案,解析∵DE∥AC,∴=,∴EC===.,8.(2018浙江杭州,19,8分)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD為BC邊上的中線,DE⊥AB于點E.(1)求證:△BDE∽△CAD;(2)若AB=13,BC=10,求線段DE的長.,解析(1)證明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,又AD為BC邊上的中線,∴AD⊥BC,∵DE⊥AB,∴∠DEB=∠ADC=90,∴△BDE∽△CAD.(2)易知BD=BC=5,在Rt△ADB中,AD===12,由(1)易得=,∴=,∴DE=.,思路分析(1)由等腰三角形的性質(zhì),得∠B=∠C,AD⊥BC,因為DE⊥AB,所以∠DEB=∠ADC,根據(jù)相似三角形的判定定理,即可解決問題.(2)利用勾股定理求出AD,再利用(1)的結(jié)論列式求解.,解題關(guān)鍵本題考查相似三角形的判定定理和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識并靈活應(yīng)用.,9.(2017浙江杭州,19,8分)如圖,在銳角三角形ABC中,點D,E分別在邊AC,AB上,AG⊥BC于點G,AF⊥DE于點F,∠EAF=∠GAC.(1)求證:△ADE∽△ABC;(2)若AD=3,AB=5,求的值.,解析(1)證明:因為AF⊥DE,AG⊥BC,所以∠AFE=90,∠AGC=90,所以∠AEF=90-∠EAF,∠C=90-∠GAC,又因為∠EAF=∠GAC,所以∠AEF=∠C,又因為∠DAE=∠BAC,所以△ADE∽△ABC.(2)因為△ADE∽△ABC,所以∠ADE=∠B,又因為∠AFD=∠AGB=90,所以△AFD∽△AGB,所以=,又因為AD=3,AB=5,所以=.,10.(2017湖北武漢,23,10分)已知四邊形ABCD的一組對邊AD,BC的延長線相交于點E.(1)如圖1,若∠ABC=∠ADC=90,求證EDEA=ECEB;(2)如圖2,若∠ABC=120,cos∠ADC=,CD=5,AB=12,△CDE的面積為6,求四邊形ABCD的面積;(3)如圖3,另一組對邊AB,DC的延長線相交于點F,若cos∠ABC=cos∠ADC=,CD=5,CF=ED=n,直接寫出AD的長(用含n的式子表示).,解析(1)證明:∵∠ADC=90,∠EDC+∠ADC=180,∴∠EDC=90,又∠ABC=90,∴∠EDC=∠ABC,又∠E為公共角,∴△EDC∽△EBA,∴=,∴EDEA=ECEB.(2)過點C作CF⊥AD,交AE于點F,過點A作AG⊥EB,交EB的延長線于點G.在Rt△CDF中,cos∠FDC=,∴=,又CD=5,∴DF=3,∴CF==4,又S△CDE=6,∴EDCF=6,∴ED==3,∴EF=ED+DF=6.,∵∠ABC=120,∠G=90,∠G+∠BAG=∠ABC,∴∠BAG=30,在Rt△ABG中,BG=AB=6,AG==6,∵CF⊥AD,AG⊥EB,∴∠EFC=∠G=90,又∠E為公共角,∴△EFC∽△EGA,∴=,∴=,∴EG=9,∴BE=EG-BG=9-6,∴S四邊形ABCD=S△ABE-S△CED=BEAG-6=(9-6)6-6=75-18.(3)AD=.詳解:過點C作CH⊥AD,交AE于點H,則CH=4,DH=3,∴EH=n+3,∴tan∠E=.,過點A作AG⊥DF,交DF于點G,設(shè)AD=5a,則DG=3a,AG=4a,∴FG=FD-DG=5+n-3a,由CH⊥AD,AG⊥DF,∠E=∠F知△AFG∽△CEH,∴=,∴=,∴=,∴a=,∴AD=.,11.(2017江蘇南京,27,11分)折紙的思考.【操作體驗】用一張矩形紙片折等邊三角形.第一步,對折矩形紙片ABCD(AB>BC)(圖①),使AB與DC重合,得到折痕EF,把紙片展平(圖②).第二步,如圖③,再一次折疊紙片,使點C落在EF上的P處,并使折痕經(jīng)過點B,得到折痕BG,折出PB、PC,得到△PBC.,(1)說明△PBC是等邊三角形.【數(shù)學(xué)思考】(2)如圖④,小明畫出了圖③的矩形ABCD和等邊三角形PBC.他發(fā)現(xiàn),在矩形ABCD中把△PBC經(jīng)過圖形變化,可以得到圖⑤中的更大的等邊三角形.請描述圖形變化的過程.(3)已知矩形一邊長為3cm,其鄰邊長為acm.對于每一個確定的a的值,在矩形中都能畫出最大的等邊三角形.請畫出不同情形的示意圖,并寫出對應(yīng)的a的取值范圍.,【問題解決】(4)用一張正方形鐵片剪一個直角邊長分別為4cm和1cm的直角三角形鐵片,所需正方形鐵片的邊長的最小值為cm.,解析(1)證明:由折疊可知PB=PC,BP=BC,因此△PBC是等邊三角形.(3分)(2)本題答案不唯一,下列解法供參考.如圖,以點B為中心,在矩形ABCD中把△PBC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?得到△P1BC1;再以點B為位似中心,將△P1BC1放大,使點C1的對應(yīng)點C2落在CD上,得到△P2BC2.(3)本題答案不唯一,下列解法供參考.,(9分)(4).如圖,△CEF是直角三角形,∠CEF=90,CE=4cm,EF=1cm.,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠A=∠D=90.易證Rt△AEF∽Rt△DCE,∴==,∴設(shè)AE=xcm,CD=4xcm,則DE=3xcm.在Rt△CDE中,CE=5x=4cm,∴x=,∴AD=4x=cm,∴所需正方形邊長最小值為cm.(11分),解后反思這是一道閱讀理解題,考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形相似等知識點,同時對學(xué)生的邏輯思維能力及動手能力要求也比較高,屬難題.,12.(2015江蘇連云港,25,10分)如圖,在△ABC中,∠ABC=90,BC=3,D為AC延長線上一點,AC=3CD.過點D作DH∥AB,交BC的延長線于點H.(1)求BDcos∠HBD的值;(2)若∠CBD=∠A,求AB的長.,解析(1)∵DH∥AB,∴∠BHD=∠ABC=90,∴△ABC∽△DHC,∴=.∵AC=3CD,BC=3,∴CH=1.∴BH=BC+CH=4.在Rt△BHD中,cos∠HBD=,∴BDcos∠HBD=BH=4.(4分)(2)解法一:∵∠A=∠CBD,∠ABC=∠BHD,∴△ABC∽△BHD.∴=.(6分)由(1)知△ABC∽△DHC,∴==,∴AB=3DH.∴=,DH=2,∴AB=6.(10分)解法二:∵∠CBD=∠A,∠BDC=∠ADB,∴△CDB∽△BDA.∴=,BD2=CDAD,∴BD2=CD4CD=4CD2.∴BD=2CD.(6分),∵△CDB∽△BDA,∴=,∴=,∴AB=6.(10分),13.(2015湖南郴州,26,12分)如圖,在四邊形ABCD中,DC∥AB,DA⊥AB,AD=4cm,DC=5cm,AB=8cm.如果點P由B點出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動,同時點Q由A點出發(fā)沿AB方向向點B勻速運動,它們的速度均為1cm/s.當(dāng)P點到達C點時,兩點同時停止運動.連接PQ,設(shè)運動時間為ts.解答下列問題:(1)當(dāng)t為何值時,P,Q兩點同時停止運動?(2)設(shè)△PQB的面積為S,當(dāng)t為何值時,S取得最大值?并求出最大值;(3)當(dāng)△PQB為等腰三角形時,求t的值.,解析(1)如圖,作CE⊥AB于點E,∵CD∥AB,DA⊥AB,∴四邊形AECD是矩形,∴AE=CD=5cm,CE=AD=4cm,∴BE=AB-AE=8-5=3(cm),在Rt△CBE中,BC===5(cm),∴t==5,即當(dāng)t=5時,P、Q兩點同時停止運動.(3分)(2)如圖,作PF⊥AB于點F,根據(jù)題意,得AQ=t,BQ=8-t,BP=t.,易知△BPF∽△BCE,∴=,即=,∴PF=t.(4分)∴S=BQPF=(8-t)t=-(t-4)2+,(6分)∴當(dāng)t=4時,△PQB的面積最大,且Smax=cm2.(7分)(3)①若BP=BQ,則t=8-t,解得t=4;(8分)②若QP=QB,則=,解得t=;(10分)③若PQ=PB,則=,解得t=.綜上,當(dāng)t等于4,,時,△PQB為等腰三角形.(12分),評析本題是四邊形中的動點問題,著重考查了勾股定理、三角形相似的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、與等腰三角形有關(guān)的分類討論.本題信息量大、綜合性強,屬難題.,14.(2014湖南永州,21,8分)如圖,D是△ABC的邊AC上的一點,連接BD.已知∠ABD=∠C,AB=6,AD=4.求線段CD的長.,解析在△ABD和△ACB中,∠ABD=∠C,∠A=∠A(公共角),∴△ABD∽△ACB,(4分)∴=,(5分)又∵AB=6,AD=4,∴AC===9,(6分)∴CD=AC-AD=5.(8分),15.(2014湖南益陽,20,12分)如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,∠B=60,AB=10,BC=4,點P沿線段AB從點A向點B運動,設(shè)AP=x.(1)求AD的長;(2)點P在運動過程中,是否存在以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似?若存在,求出x的值;若不存在,請說明理由;(3)設(shè)△ADP與△PCB的外接圓的面積分別為S1、S2,若S=S1+S2,求S的最小值.,解析(1)過點C作CE⊥AB于點E,在Rt△BCE中,∵∠B=60,BC=4,∴CE=BCsin∠B=4=2,易知四邊形DAEC為矩形,∴AD=CE=2.(2)存在.若以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似,則△PCB中必有一個角是直角.①當(dāng)∠PCB=90時,在Rt△PCB中,BC=4,∠B=60,∴PB=8,∴AP=AB-PB=2.又由(1)知AD=2,在Rt△ADP中,tan∠DPA===,∴∠DPA=60,∴∠DPA=∠CBP,∴△ADP∽△CPB,此時x=2.②當(dāng)∠CPB=90時,在Rt△PCB中,∠B=60,BC=4,∴PB=2,PC=2,∴AP=8,易驗證此時△PBC與△ADP不相似.綜上可知,當(dāng)x=2時,以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似.(3)如圖,因為Rt△ADP的外接圓的直徑為斜邊PD,,所以S1=π=π.作BC的垂直平分線交BC于H,交AB于G;作PB的垂直平分線交PB于N,交GH于M,連接BM,則BM為△PCB外接圓的半徑.在Rt△GBH中,BH=BC=2,∠HGB=30,∴BG=4.∵BN=PB=(10-x)=5-x,∴GN=BG-BN=x-1.在Rt△GMN中,MN=GNtan∠MGN=.,在Rt△BMN中,BM2=MN2+BN2=x2-x+,∴S2=πBM2=π.∴S=S1+S2=π+π=π+π.∴當(dāng)x=時,S=S1+S2取得最小值π.,16.(2014湖北武漢,24,8分)如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90,AC=6cm,BC=8cm.動點P從點B出發(fā),在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動,同時動點Q從點C出發(fā),在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動,運動時間為t秒(0下載提示(請認真閱讀)
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