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,自動(dòng)控制原理,第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,1基本概念,2結(jié)構(gòu)圖及其等效變換,3信號(hào)流圖與梅森（Mason）公式,退出,,,,自動(dòng)控制系統(tǒng)的組成可以是電氣的，機(jī)械的，液壓的，氣動(dòng)的等等，然而描述這些系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型卻可以是相同的。因此，通過數(shù)學(xué)模型來研究自動(dòng)控制系統(tǒng)，就擺脫了各種類型系統(tǒng)的外部關(guān)系而抓住這些系統(tǒng)的共同運(yùn)動(dòng)規(guī)律，控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是通過物理學(xué)，化學(xué)，生物學(xué)等定律來描述的，如機(jī)械系統(tǒng)的牛頓定律，電氣系統(tǒng)的克?；舴蚨傻榷际怯脕砻枋鱿到y(tǒng)模型的基本定律。如果描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性的微分方程，則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，若方程中的系數(shù)是常數(shù)，則稱其為線性定常系統(tǒng)。數(shù)學(xué)模型可以是標(biāo)量方程和向量的狀態(tài)方程。本章主要討論的是線性定常系統(tǒng)。我們可以對(duì)描述的線性定常微分方程進(jìn)行積分變換，得出傳遞函數(shù)，方框圖，信號(hào)流圖，頻率特性等數(shù)學(xué)描述。線性系統(tǒng)實(shí)際上是忽略了系統(tǒng)中某些次要因素，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行近似而得到的。以后各章所討論的系統(tǒng)，除第七章外，均指線性化的系統(tǒng)。,退出,,,控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型綜述,1基本概念,數(shù)學(xué)模型：,退出,,,數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式；數(shù)學(xué)模型可以有多種形式。在經(jīng)典理論中，常用的數(shù)學(xué)模型是微（差）分方程，結(jié)構(gòu)圖，信號(hào)流圖等；在現(xiàn)代控制理論中，采用的是狀態(tài)空間表達(dá)式。結(jié)構(gòu)圖，信號(hào)流圖，狀態(tài)圖是數(shù)學(xué)模型的圖形表達(dá)形式。建立合理的數(shù)學(xué)模型，對(duì)于系統(tǒng)的分析研究是十分重要的。合理包括兩條：（1）反映元件及系統(tǒng)的特性要正確；（2）寫出的數(shù)學(xué)式子要簡(jiǎn)明；控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的要求可采用解析法和實(shí)驗(yàn)法。解析法是根據(jù)系統(tǒng)和元件所遵循的有關(guān)定律來建立數(shù)學(xué)模型的。用解析法建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，對(duì)其內(nèi)部所體現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)機(jī)理和科學(xué)規(guī)律要十分清楚，要抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，力求所建立的數(shù)學(xué)模型要合理。實(shí)驗(yàn)法是根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來建立數(shù)學(xué)模型的，即人為地在系統(tǒng)上加上某種測(cè)試信號(hào)，用實(shí)驗(yàn)所得的輸入和輸出數(shù)據(jù)來辨識(shí)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，階次和參數(shù)，這種方法也成為系統(tǒng)辨識(shí)。線性系統(tǒng)最重要的特性是可用疊加原理。對(duì)非線性系統(tǒng)當(dāng)非線性不嚴(yán)重或變量變化范圍不大時(shí)，可利用小偏差線性化的方法使數(shù)學(xué)模型線性化。,微分方程微分方程是描述自動(dòng)控制系統(tǒng)時(shí)域動(dòng)態(tài)特性的最基本模型，微分方程又稱之為控制系統(tǒng)時(shí)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程。,退出,,,用解析法建立運(yùn)動(dòng)方程的步驟是：1）分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關(guān)系，確定出待研究元件或系統(tǒng)的輸入量和輸出量；2）從輸入端入手（閉環(huán)系統(tǒng)一般從比較環(huán)節(jié)入手），依據(jù)各元件所遵循的物理，化學(xué)，生物等規(guī)律，列寫各自方程式，但要注意負(fù)載效應(yīng)。所謂負(fù)載效應(yīng)，就是考慮后一級(jí)對(duì)前一級(jí)的影響。3）將所有方程聯(lián)解，消去中間變量，得出系統(tǒng)輸入輸出的標(biāo)準(zhǔn)方程。所謂標(biāo)準(zhǔn)方程包含三方面的內(nèi)容：①將與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的右邊，與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的左邊；②各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列；③將方程的系數(shù)通過元件或系統(tǒng)的參數(shù)化成具有一定物理意義的系數(shù)。,說明：1）傳遞函數(shù)是線性定常系統(tǒng)在復(fù)頻域里的數(shù)學(xué)模型，其與微分方程一樣，包含了系統(tǒng)有關(guān)動(dòng)態(tài)方面的信息。2）傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，當(dāng)初始條件不為零時(shí)，傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)的全部特點(diǎn)。3）傳遞函數(shù)反映的是系統(tǒng)本身的一種屬性，其各項(xiàng)系數(shù)完全取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，與輸入量的大小和性質(zhì)無關(guān)。4）傳遞函數(shù)包含聯(lián)系輸入量與輸出量所必須的單位，但是它不提供有關(guān)系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)的任何信息（許多物理上完全不同的系統(tǒng)，可以具有相同的傳遞函數(shù)）。5）如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)已知，則可以針對(duì)各種不同形式的輸入量研究系統(tǒng)的輸出或響應(yīng)，以便掌握系統(tǒng)的性質(zhì)。自動(dòng)控制系統(tǒng)是由若干個(gè)典型環(huán)節(jié)組合而成的，典型環(huán)節(jié)包括比例環(huán)節(jié)，慣性環(huán)節(jié)，積分環(huán)節(jié)，微分環(huán)節(jié)，振蕩環(huán)節(jié)，一階比例微分環(huán)節(jié)，二階比例微分環(huán)節(jié)，不穩(wěn)定環(huán)節(jié)，延遲環(huán)節(jié)等。,傳遞函數(shù)線性定常系統(tǒng)可由下列微分方程描述：傳遞函數(shù)可定義為：在零初始條件下，在線性定常系統(tǒng)中，系統(tǒng)的輸出量c(t)的拉氏變換C(s)與輸入量r(t)的拉氏變換R(s)之比既,退出,,,,,,,,,,幾個(gè)基本公式：,退出,,,,,,,,,,,,,,,-,,-,,,,,c(t)對(duì)控制信號(hào)r(t)的閉環(huán)傳函記為,即,c(t)對(duì)擾動(dòng)信號(hào)f(t)的閉環(huán)傳函記為,ε(t)對(duì)控制信號(hào)r(t)的閉環(huán)傳函記為,ε(t)對(duì)干擾信號(hào)f(t)閉環(huán)傳函記為,若H(s)=1,,,,,,,共同規(guī)律如下：其分子等于對(duì)應(yīng)所求的閉環(huán)傳遞函數(shù)的輸入信號(hào)到輸出信號(hào)所經(jīng)過的傳遞函數(shù)的乘積，并賦以符號(hào)，其分母等于1加上開環(huán)傳函。,,若H(s)=1,,,2結(jié)構(gòu)圖及其等效變換,控制系統(tǒng)都是由一些元部件組成的，根據(jù)不同的功能，可將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)（也叫做子系統(tǒng)），每個(gè)環(huán)節(jié)的性能可以用一個(gè)單向相的函數(shù)方框來表示，方框中的內(nèi)容為這個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。根據(jù)系統(tǒng)中信息的傳遞方向，將各個(gè)環(huán)節(jié)的函數(shù)方框圖用信號(hào)線依次連接起來，就構(gòu)成了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖實(shí)際上是每個(gè)元件的功能和信號(hào)流向的圖解表示。系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖又稱之系統(tǒng)的方框圖。,退出,,,寫出組成系統(tǒng)的各個(gè)環(huán)節(jié)的微分方程,求取各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，畫出個(gè)體方框圖,從相加點(diǎn)入手，按信號(hào)流向依次連接成整體方框圖，既系統(tǒng)方框圖,,,,繪制方框圖的步驟,,,方框圖的簡(jiǎn)化是通過方框圖的等效變換和方框圖的運(yùn)算法則來實(shí)現(xiàn)的。1）等效變換主要是通過變換相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的位置來實(shí)現(xiàn)的，變換中主要掌握好如下兩點(diǎn)：①前向通道中各傳遞函數(shù)的乘積不變；②回路中傳遞函數(shù)的乘積不變；通過等效變換將方框圖變換成具有串聯(lián)，并聯(lián)和局部反饋連接的結(jié)構(gòu)圖。2）方框圖的運(yùn)算法則根據(jù)下表所列運(yùn)算法則，求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,退出,,,,G1,,,G2,G1G2,,,,G1,,,G2,,G,,H,,,,,,,G1G2,,,,,,,,,,,,,,,,,3信號(hào)流圖與梅森（Mason）公式,信號(hào)流圖是一種表示線性化代數(shù)方程組變量間關(guān)系的圖示方法。信號(hào)流圖由節(jié)點(diǎn)和支路組成。每一個(gè)節(jié)點(diǎn)表示系統(tǒng)的一個(gè)變量，而每?jī)蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)間的連接支路為該兩個(gè)變量之間信號(hào)的傳輸關(guān)系。信號(hào)流向由支路上的箭頭表示，而傳輸關(guān)系（增益，傳遞函數(shù)）則標(biāo)注在支路上。箭頭方向相同的支路順序連接，沿箭頭方向而穿過各相連支路的途徑，統(tǒng)稱為通路。若通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，稱開通路；若通路的終點(diǎn)就是通路的起點(diǎn)，且與其它節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，就稱為閉通路（回路）。若要確定信號(hào)流圖中輸入節(jié)點(diǎn)與輸出節(jié)點(diǎn)間的總增益G（或稱二節(jié)點(diǎn)間的傳遞函數(shù)），可以應(yīng)用梅森公式，即,退出,,,,式中，Pk為第k條前向通路的傳遞函數(shù)；n為前向通路總數(shù)；△為流圖的特征式,,,,,,,為所有不同回路的增益之和；,為每?jī)蓚€(gè)互不接觸回路增益乘積之和；,為每三個(gè)互不接觸回路增益乘積之和；,為在Δ中除去與第k條前向通路相接觸的回路后的特征式，稱為第k條前向通路特征式的余因子。,例題1：設(shè)有一RC兩級(jí)濾波網(wǎng)絡(luò)如圖。其輸入信號(hào)為ei，輸出信號(hào)為eo,試求兩級(jí)串聯(lián)后傳遞函數(shù)。,退出,,,,,,,,,,,,,,,退出,,,,,,,,,,,,解：（1）不計(jì)負(fù)載效應(yīng)第一級(jí)濾波器的輸入信號(hào)是，輸出信號(hào)是，其傳遞函數(shù)為,,,第二級(jí)濾波器的輸入信號(hào)是輸出信號(hào)為，其傳遞函數(shù)為,,根據(jù)傳遞函數(shù)的相乘性，有,,退出,,,,,,,,,,,,（2）考慮負(fù)載效應(yīng)第一級(jí)的傳遞函數(shù)為,,第二級(jí)的傳遞函數(shù)沒有變，因此總的傳遞函數(shù)為,,退出,,,,,,,,,,,,比較（1）、（2）兩式可知，考慮負(fù)載效應(yīng)時(shí)，傳遞函數(shù)的分母中多了一項(xiàng)。它表示了兩個(gè)簡(jiǎn)單RC電路的相互影響。因此，在求串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)時(shí)應(yīng)考慮環(huán)節(jié)間的負(fù)載效應(yīng)，否則容易得出錯(cuò)誤的結(jié)果。所以提出兩點(diǎn)注意：,1）多個(gè)環(huán)節(jié)相串聯(lián)在求其總傳遞函數(shù)時(shí)要考慮負(fù)載效應(yīng)；2）后一級(jí)的輸入阻抗為無限大（或很大）時(shí)，可以不考慮它對(duì)前級(jí)的影響。,例題2運(yùn)算放大器電路如下圖所，求其傳遞函數(shù)。,退出,,,u-,,,R1,,,,+,-,,,,,,,,R1,R0,R0,,,,,,,,,,,,,,,,,e1,e2,u+,e3,,,,,,,,,,,退出,,,,,,,,,,,,,整理，得,解設(shè)運(yùn)算放大器阻抗很大，加標(biāo)號(hào)U-、U+如圖所示，,,,（1）,（2）,退出,,,,,,,,,,,,,,由模電知，得,退出,,,,,,,,,,,,例3：繪制如圖2-21所示RC電路的方框圖。,退出,,,寫出組成系統(tǒng)的各個(gè)環(huán)節(jié)的微分方程,求取各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，畫出個(gè)體方框圖,從相加點(diǎn)入手，按信號(hào)流向依次連接成整體方框圖，既系統(tǒng)方框圖,,,,繪制方框圖的步驟,,退出,,,,,,,,,,,,解：（1）寫出組成系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)的微分方程，求取各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),,,,,,,退出,,,,,,,,,,,,（2）畫出個(gè)體方框圖,,退出,,,,,,,,,,,,（3）從相加點(diǎn)入手，按信號(hào)流向依次連接成完整方框圖。,,退出,,,,,,,,,,,,方框圖的特點(diǎn)是：①方框圖是從實(shí)際系統(tǒng)抽象出來的數(shù)學(xué)模型，不代表實(shí)際的物理結(jié)構(gòu)，不明顯表示系統(tǒng)的主能源。方框圖是從傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)上得出來的，所以仍是數(shù)學(xué)模型，不代表物理結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)本身有的反映能源有的不反映能源，如有源網(wǎng)絡(luò)和無源網(wǎng)絡(luò)等，但從方框圖上一般不明顯表示出來。②能更直觀更形象地表示系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的功能和相互關(guān)系，以及信號(hào)的流向和每個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。更直觀、更形象是針對(duì)系統(tǒng)的微分方程而言的。③方框圖的流向是單向不可逆的。,退出,,,,,,,,,,,,④方框圖不唯一。由于研究角度不一樣，傳遞函數(shù)列寫出來就不一樣，方框圖也就不一樣。⑤研究方便。對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)可以畫出它的方框圖，通過方框圖簡(jiǎn)化，不難求得系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，無論是研究整個(gè)系統(tǒng)的性能，還是評(píng)價(jià)每一個(gè)環(huán)節(jié)的作用都是很方便的。,退出,,,,,,,,,,,,1．分支點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)則根據(jù)分支點(diǎn)移動(dòng)前后所得的分支信號(hào)保持不變的等效原則，可將分支點(diǎn)順著信號(hào)流向或逆著信號(hào)流向移動(dòng)。（1）前移,,退出,,,,,,,,,,,,（2）后移,,退出,,,,,,,,,,,,2．相加點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則,（1）前移,,退出,,,,,,,,,,,,（2）后移,,退出,,,,,,,,,,,,相加點(diǎn)移動(dòng)前后，分出支路信號(hào)保持不變。結(jié)論：相加點(diǎn)前移時(shí)，必須在移動(dòng)的相加支路中，串入具有相同傳遞函數(shù)倒數(shù)的函數(shù)方框；相加點(diǎn)后移時(shí)，必須在移動(dòng)的相加支路中，串入具有相同傳遞函數(shù)的函數(shù)方框。,分支點(diǎn)移動(dòng)前后，分支路信號(hào)是保持不變的。結(jié)論：分支點(diǎn)前移時(shí)，必須在分出支路串入具有相同傳遞函數(shù)的函數(shù)方框；分支點(diǎn)后移時(shí)，必須在分出支路串入具有相同傳遞函數(shù)倒數(shù)的函數(shù)方框。,退出,,,,,,,,,,,,3．等效單位反饋?zhàn)儞Q規(guī)則,,,退出,,,,,,,,,,,,4．交換或合并比較點(diǎn)原則,,退出,,,,,,,,,,,,,退出,,,,,,,,,,,,5．內(nèi)反饋線消除規(guī)則內(nèi)反饋線消除的規(guī)則是，消除內(nèi)反饋前后保證輸入，輸出信號(hào)關(guān)系不變。其方法是，利用，，，的計(jì)算公式及相加點(diǎn)，分支點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則。,,,,,在閉環(huán)系統(tǒng)中，（1）前向通道中傳遞函數(shù)的乘積保持不變；（2）反饋回路中傳遞函數(shù)的乘積保持不變。,退出,,,,,,,,,,,,5．內(nèi)反饋線消除規(guī)則內(nèi)反饋線消除的規(guī)則是，消除內(nèi)反饋前后保證輸入，輸出信號(hào)關(guān)系不變。其方法是，利用，，，的計(jì)算公式及相加點(diǎn)，分支點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則。,,,,,在閉環(huán)系統(tǒng)中，（1）前向通道中傳遞函數(shù)的乘積保持不變；（2）反饋回路中傳遞函數(shù)的乘積保持不變。,退出,,,,,,,,,,,,例4試簡(jiǎn)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。,,退出,,,,,,,,,,,,,退出,,,,,,,,,,,,,,,例5通過方框圖變換求取如下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,退出,,,-,,,,,退出,,,,解.方框圖變換,原方框圖可變換為,退出,,,,退出,,,,退出,,,,,3信號(hào)流圖與梅森（Mason）公式,信號(hào)流圖是一種表示線性化代數(shù)方程組變量間關(guān)系的圖示方法。信號(hào)流圖由節(jié)點(diǎn)和支路組成。每一個(gè)節(jié)點(diǎn)表示系統(tǒng)的一個(gè)變量，而每?jī)蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)間的連接支路為該兩個(gè)變量之間信號(hào)的傳輸關(guān)系。信號(hào)流向由支路上的箭頭表示，而傳輸關(guān)系（增益，傳遞函數(shù)）則標(biāo)注在支路上。箭頭方向相同的支路順序連接，沿箭頭方向而穿過各相連支路的途徑，統(tǒng)稱為通路。若通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，稱開通路；若通路的終點(diǎn)就是通路的起點(diǎn)，且與其它節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，就稱為閉通路（回路）。若要確定信號(hào)流圖中輸入節(jié)點(diǎn)與輸出節(jié)點(diǎn)間的總增益G（或稱二節(jié)點(diǎn)間的傳遞函數(shù)），可以應(yīng)用梅森公式，即,退出,,,,式中，Pk為第k條前向通路的傳遞函數(shù)；n為前向通路總數(shù)；△為流圖的特征式,,,,,,,為所有不同回路的增益之和；,為每?jī)蓚€(gè)互不接觸回路增益乘積之和；,為每三個(gè)互不接觸回路增益乘積之和；,為在Δ中除去與第k條前向通路相接觸的回路后的特征式，稱為第k條前向通路特征式的余因子。,退出,,,,,,,,,節(jié)點(diǎn)：用以表示變量或信號(hào)的點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)，用符號(hào)“?！北硎?。傳輸：兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的增益或傳遞函數(shù)稱為傳輸。支路：聯(lián)系兩個(gè)節(jié)點(diǎn)并標(biāo)有信號(hào)流向的定向線段稱為支路。源點(diǎn)：只有輸出支路，沒有輸入支路的節(jié)點(diǎn)稱為源點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的輸入信號(hào)，或稱為輸入節(jié)點(diǎn)。阱點(diǎn)：只有輸入支路，沒有輸出支路的節(jié)點(diǎn)稱為阱點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的輸出信號(hào)，或稱為輸出節(jié)點(diǎn)。,退出,,,,,,,,輸入節(jié)點(diǎn)（源點(diǎn)）,輸出節(jié)點(diǎn)（阱點(diǎn)）,輸入節(jié)點(diǎn)（源點(diǎn)）,退出,,,,,,,,,混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)稱為混合節(jié)點(diǎn)。通路：沿支路箭頭方向而穿過各相連支路的途徑，稱為通路。如果通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，就稱為開通路；如果通路的終點(diǎn)就是通路的起點(diǎn)，并且與任何其它節(jié)點(diǎn)相交的次數(shù)不多于一次，稱為閉通路或回路；如果通路通過某一節(jié)點(diǎn)多于一次，那么這個(gè)通路既不是開通路，又不是閉通路?；芈吩鲆妫夯芈分懈髦穫鬏?shù)某朔e，稱為回路增益。,退出,,,,,,,,,不接觸回路：如果一些回路沒有任何公共節(jié)點(diǎn)，就把它們叫做不接觸回路。自回路：只與一個(gè)節(jié)點(diǎn)相交的回路稱為自回路。前向通路：如果在從源點(diǎn)到阱點(diǎn)通路上，通過任何節(jié)點(diǎn)不多于一次，則該通路稱為前向通路。前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為前向通路增益。,例5試應(yīng)用梅森公式求取下圖所示方框圖的傳遞函數(shù)。,退出,,,,,,,,,退出,,,,,,,,,解.本題信號(hào)流圖為,1,G1,,G2,G3,G4,-H1,-H2,-H3,-H4,1,-1,,,,,,,,退出,,,,