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______________________________________________________________________________________________________________ 第二十一章　一元二次方程 21．1　一元二次方程 1. 了解一元二次方程的概念，應(yīng)用一元二次方程概念解決一些簡單問題． 2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有關(guān)概念． 3．會(huì)進(jìn)行簡單的一元二次方程的試解；理解方程解的概念． 重點(diǎn)：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索． 難點(diǎn)：由實(shí)際問題列出一元二次方程；準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)一元二次方程的二次項(xiàng)和系數(shù)以及一次項(xiàng)和系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)． 一、自學(xué)指導(dǎo)．(10分鐘) 問題1： 如圖，有一塊矩形鐵皮，長100 cm，寬50 cm，在它的四角各切去一個(gè)同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個(gè)無蓋方盒．如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600 cm2，那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形？ 分析：設(shè)切去的正方形的邊長為x cm，則盒底的長為__(100－2x)cm__，寬為__(50－2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化簡整理，得__x2－75x＋350＝0__．① 問題2：要組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每兩個(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)．根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場(chǎng)比賽，比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽？ 分析：全部比賽的場(chǎng)數(shù)為__4×7＝28__． 設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，每個(gè)隊(duì)要與其他__(x－1)__個(gè)隊(duì)各賽1場(chǎng)，所以全部比賽共__場(chǎng)．列方程__＝28__，化簡整理，得__x2－x－56＝0__．② 探究： (1)方程①②中未知數(shù)的個(gè)數(shù)各是多少？__1個(gè)__． (2)它們最高次數(shù)分別是幾次？__2次__． 歸納：方程①②的共同特點(diǎn)是：這些方程的兩邊都是__整式__，只含有__一個(gè)__未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是__2__的方程． 1．一元二次方程的定義 等號(hào)兩邊都是__整式__ ，只含有__一__個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式 一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式： ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． 這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次項(xiàng)，__a__是二次項(xiàng)系數(shù)，__bx__是一次項(xiàng)，__b__是一次項(xiàng)系數(shù)，__c__是常數(shù)項(xiàng)． 點(diǎn)撥精講：二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都要包含它前面的符號(hào)．二次項(xiàng)系數(shù)a≠0是一個(gè)重要條件，不能漏掉． 二、自學(xué)檢測(cè)：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示，點(diǎn)評(píng)，教師巡視．(6分鐘) 1．判斷下列方程，哪些是一元二次方程？ (1)x3－2x2＋5＝0；　　　　(2)x2＝1； (3)5x2－2x－＝x2－2x＋； (4)2(x＋1)2＝3(x＋1)； (5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0. 解：(2)(3)(4)． 點(diǎn)撥精講：有些含字母系數(shù)的方程，盡管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知數(shù)，這樣的方程仍然是整式方程． 2．將方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)． 解：去括號(hào)，得3x2－3x＝5x＋10.移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得3x2－8x－10＝0.其中二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是－8，常數(shù)項(xiàng)是－10. 點(diǎn)撥精講：將一元二次方程化成一般形式時(shí)，通常要將首項(xiàng)化負(fù)為正，化分為整． 一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動(dòng)后，小組代表展示活動(dòng)成果．(8分鐘) 1．求證：關(guān)于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，無論m取何值，該方程都是一元二次方程． 證明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1， ∵(m－4)2≥0， ∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0. ∴無論m取何值，該方程都是一元二次方程． 點(diǎn)撥精講：要證明無論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2－8m＋17≠0即可． 2．下面哪些數(shù)是方程2x2＋10x＋12＝0的根？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4. 解：將上面的這些數(shù)代入后，只有－2和－3滿足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的兩根． 點(diǎn)撥精講：要判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根，只要把這個(gè)數(shù)代入等式，看等式兩邊是否相等即可． 二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨(dú)立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺(tái)展示并講解思路．(9分鐘) 1．判斷下列方程是否為一元二次方程． (1)1－x2＝0; (2)2(x2－1)＝3y； (3)2x2－3x－1＝0; (4)－＝0； (5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x. 解：(1)是；(2)不是；(3)是； (4)不是；(5)不是；(6)是． 2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一個(gè)根，求a的值． 解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一個(gè)根， 　∴4a＋8－5＝0， 　解得a＝－. 3．根據(jù)下列問題，列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式： (1)4個(gè)完全相同的正方形的面積之和是25，求正方形的邊長x； (2)一個(gè)長方形的長比寬多2，面積是100，求長方形的長x. 解：(1)4x2＝25，4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0. 學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑．(2分鐘) 1．一元二次方程的概念以及怎樣利用概念判斷一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特別強(qiáng)調(diào)a≠0. 3．要會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的根． 學(xué)習(xí)至此，請(qǐng)使用本課時(shí)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練部分．(10分鐘) 21．2　解一元二次方程 21．2.1　配方法(1) 1. 使學(xué)生會(huì)用直接開平方法解一元二次方程． 2. 滲透轉(zhuǎn)化思想，掌握一些轉(zhuǎn)化的技能． 重點(diǎn)：運(yùn)用開平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；領(lǐng)會(huì)降次——轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想． 難點(diǎn)：通過根據(jù)平方根的意義解形如x2＝n(n≥0)的方程，知識(shí)遷移到根據(jù)平方根的意義解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程． 一、自學(xué)指導(dǎo)．(10分鐘) 問題1：一桶某種油漆可刷的面積為1500 dm2，小李用這桶油漆恰好刷完10個(gè)同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？ 設(shè)正方體的棱長為x dm，則一個(gè)正方體的表面積為__6x2__dm2，根據(jù)一桶油漆可刷的面積列出方程： __10×6x2＝1500__， 由此可得__x2＝25__， 根據(jù)平方根的意義，得x＝__±5__， 即x1＝__5__，x2＝__－5__． 可以驗(yàn)證__5__和－5都是方程的根，但棱長不能為負(fù)值，所以正方體的棱長為__5__dm. 探究：對(duì)照問題1解方程的過程，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣解方程(2x－1)2＝5及方程x2＋6x＋9＝4? 方程(2x－1)2＝5左邊是一個(gè)整式的平方，右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，根據(jù)平方根的意義，可將方程變形為__2x－1＝±__，即將方程變?yōu)開_2x－1＝和__2x－1＝－__兩個(gè)一元一次方程，從而得到方程(2x－1)2＝5的兩個(gè)解為x1＝__，x2＝____． 在解上述方程的過程中，實(shí)質(zhì)上是把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，這樣問題就容易解決了． 方程x2＋6x＋9＝4的左邊是完全平方式，這個(gè)方程可以化成(x＋__3__)2＝4，進(jìn)行降次，得到 __x＋3＝±2__ ，方程的根為x1＝ __－1__，x2＝__－5__. 歸納：在解一元二次方程時(shí)通常通過“降次”把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±或mx＋n＝±. 二、自學(xué)檢測(cè)：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示，點(diǎn)評(píng)，教師巡視．(6分鐘) 解下列方程： (1)2y2＝8；　　　　　　　(2)2(x－8)2＝50； (3)(2x－1)2＋4＝0; (4)4x2－4x＋1＝0. 解：(1)2y2＝8，　　　　　　(2)2(x－8)2＝50， 　y2＝4，　　　　　　　　(x－8)2＝25， 　y＝±2，　　　　　　　　x－8＝±5， 　∴y1＝2，y2＝－2；　　x－8＝5或x－8＝－5， 　　　　　　　　　　∴x1＝13，x2＝3； (3)(2x－1)2＋4＝0，　　　(4)4x2－4x＋1＝0， 　 (2x－1)2＝－4<0，　　　(2x－1)2＝0， 　 ∴原方程無解；　　　　　　2x－1＝0， 　　　　　　　　　　　∴x1＝x2＝. 點(diǎn)撥精講：觀察以上各個(gè)方程能否化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，則可運(yùn)用直接開平方法解． 一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動(dòng)后，小組代表展示活動(dòng)成果．(8分鐘) 1．用直接開平方法解下列方程： (1)(3x＋1)2＝7; (2)y2＋2y＋1＝24； (3)9n2－24n＋16＝11. 解：(1)；(2)－1±2；(3). 點(diǎn)撥精講：運(yùn)用開平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程時(shí)，最容易出錯(cuò)的是漏掉負(fù)根． 2．已知關(guān)于x的方程x2＋(a2＋1)x－3＝0的一個(gè)根是1，求a的值． 解：±1. 二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨(dú)立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺(tái)展示并講解思路．(9分鐘) 用直接開平方法解下列方程： (1)3(x－1)2－6＝0 ; (2)x2－4x＋4＝5； (3)9x2＋6x＋1＝4; (4)36x2－1＝0； (5)4x2＝81; (6)(x＋5)2＝25； (7)x2＋2x＋1＝4. 解：(1)x1＝1＋，x2＝1－； 　(2)x1＝2＋，x2＝2－； 　(3)x1＝－1，x2＝； 　(4)x1＝，x2＝－； 　(5)x1＝，x2＝－； 　(6)x1＝0，x2＝－10； 　(7)x1＝1，x2＝－3. 學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑．(2分鐘) 1．用直接開平方法解一元二次方程． 2．理解“降次”思想． 3．理解x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)中，為什么p≥0? 學(xué)習(xí)至此，請(qǐng)使用本課時(shí)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練部分．(10分鐘) 21．2.1　配方法(2) 1．會(huì)用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程． 2．掌握配方法和推導(dǎo)過程，能使用配方法解一元二次方程． 重點(diǎn)：掌握配方法解一元二次方程． 難點(diǎn)：把一元二次方程轉(zhuǎn)化為形如(x－a)2＝b的過程． (2分鐘) 1．填空： (1)x2－8x＋__16__＝(x－__4__)2； (2)9x2＋12x＋__4__＝(3x＋__2__)2； (3)x2＋px＋__()2__＝(x＋____)2. 2．若4x2－mx＋9是一個(gè)完全平方式，那么m的值是__±12__． 一、自學(xué)指導(dǎo)．(10分鐘) 問題1：要使一塊矩形場(chǎng)地的長比寬多6 m，并且面積為16 m2，場(chǎng)地的長和寬分別是多少米？ 設(shè)場(chǎng)地的寬為x m，則長為__(x＋6)__m，根據(jù)矩形面積為16 m2，得到方程__x(x＋6)＝16__，整理得到__x2＋6x－16＝0__． 探究：怎樣解方程x2＋6x－16＝0? 對(duì)比這個(gè)方程與前面討論過的方程x2＋6x＋9＝4，可以發(fā)現(xiàn)方程x2＋6x＋9＝4的左邊是含有x的完全平方形式，右邊是非負(fù)數(shù)，可以直接降次解方程；而方程x2＋6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困難，能設(shè)法把這個(gè)方程化為具有上述形式的方程嗎？ 解：移項(xiàng)，得x2＋6x＝16， 兩邊都加上__9__即__()2__，使左邊配成x2＋bx＋()2的形式，得 __x2__＋6__x__＋9＝16＋__9__， 左邊寫成平方形式，得 __(x＋3)2＝25__， 開平方，得 __x＋3＝±5__，　　(降次) 即 __x＋3＝5__或__x＋3＝－5__， 解一次方程，得x1＝__2__，x2＝__－8__． 歸納：通過配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是為了降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程． 問題2：解下列方程： (1)3x2－1＝5；　　　(2)4(x－1)2－9＝0； (3)4x2＋16x＋16＝9. 解：(1)x＝±；(2)x1＝－，x2＝； (3)x1＝－，x2＝－. 歸納：利用配方法解方程時(shí)應(yīng)該遵循的步驟： (1)把方程化為一般形式ax2＋bx＋c＝0； (2)把方程的常數(shù)項(xiàng)通過移項(xiàng)移到方程的右邊； (3)方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)a； (4)方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方； (5)此時(shí)方程的左邊是一個(gè)完全平方式，然后利用平方根的定義把一元二次方程化為兩個(gè)一元一次方程來解． 二、自學(xué)檢測(cè)：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示，點(diǎn)評(píng)，教師巡視．(8分鐘) 1．填空： (1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2； (2)x2－x＋____＝(x－____)2； (3)4x2＋4x＋__1__＝(2x＋__1__)2. 2．解下列方程： (1)x2＋6x＋5＝0; (2)2x2＋6x＋2＝0； (3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0. 解：(1)移項(xiàng)，得x2＋6x＝－5， 配方得x2＋6x＋32＝－5＋32，(x＋3)2＝4， 由此可得x＋3＝±2，即x1＝－1，x2＝－5. (2)移項(xiàng)，得2x2＋6x＝－2， 二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2＋3x＝－1， 配方得x2＋3x＋()2＝(x＋)2＝， 由此可得x＋＝±，即x1＝－， x2＝－－. (3)去括號(hào)，整理得x2＋4x－1＝0， 　 移項(xiàng)得x2＋4x＝1， 　 配方得(x＋2)2＝5， x＋2＝±，即x1＝－2，x2＝－－2. 點(diǎn)撥精講：解這些方程可以用配方法來完成，即配一個(gè)含有x的完全平方式． 一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動(dòng)后，小組代表展示活動(dòng)成果．(5分鐘) 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 m，CB＝6 m，點(diǎn)P，Q同時(shí)由A，B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿AC，BC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng)，它們的速度都是1 m/s，幾秒后△PCQ的面積為Rt△ABC面積的一半？ 解：設(shè)x秒后△PCQ的面積為Rt△ABC面積的一半．根據(jù)題意可列方程： (8－x)(6－x)＝××8×6， 即x2－14x＋24＝0， (x－7)2＝25， x－7＝±5， ∴x1＝12，x2＝2， x1＝12，x2＝2都是原方程的根，但x1＝12不合題意，舍去． 答：2秒后△PCQ的面積為Rt△ABC面積的一半． 點(diǎn)撥精講：設(shè)x秒后△PCQ的面積為Rt△ABC面積的一半，△PCQ也是直角三角形．根據(jù)已知條件列出等式． 二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨(dú)立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺(tái)展示并講解思路．(8分鐘) 1．用配方法解下列關(guān)于x的方程： (1)2x2－4x－8＝0；　　　　(2)x2－4x＋2＝0； (3)x2－x－1＝0 ; (4)2x2＋2＝5. 解：(1)x1＝1＋，x2＝1－； (2)x1＝2＋，x2＝2－； (3)x1＝＋，x2＝－； (4)x1＝，x2＝－. 2．如果x2－4x＋y2＋6y＋＋13＝0，求(xy)z的值． 解：由已知方程得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＋＝0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2. ∴(xy)z＝[2×(－3)]－2＝. 學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑．(2分鐘) 1．用配方法解一元二次方程的步驟． 2．用配方法解一元二次方程的注意事項(xiàng)． 學(xué)習(xí)至此，請(qǐng)使用本課時(shí)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練部分．(10分鐘) 21．2.2　公式法 1. 理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念． 2. 會(huì)熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程． 重點(diǎn)：求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用． 難點(diǎn)：一元二次方程求根公式的推導(dǎo)． (2分鐘) 用配方法解方程： (1)x2＋3x＋2＝0；　　　　(2)2x2－3x＋5＝0. 解：(1)x1＝－2，x2＝－1；　(2)無解． 一、自學(xué)指導(dǎo)．(8分鐘) 問題：如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根？ 問題：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，試推導(dǎo)它的兩個(gè)根x1＝，x2＝. 分析：因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字已做得很多，現(xiàn)在不妨把a(bǔ)，b，c也當(dāng)成一個(gè)具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去． 探究：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系數(shù)a，b，c而定，因此： (1)解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax2＋bx＋c＝0，當(dāng)b2－4ac≥0時(shí)，將a，b，c代入式子x＝就得到方程的根，當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根． (2)x＝叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式． (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． (4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2個(gè)實(shí)數(shù)根，也可能有__1__個(gè)實(shí)根或者_(dá)_沒有__實(shí)根． (5)一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判別式，通常用希臘字母Δ表示，即Δ＝b2－4ac. 二、自學(xué)檢測(cè)：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示，點(diǎn)評(píng)，教師巡視．(5分鐘) 　用公式法解下列方程，根據(jù)方程根的情況你有什么結(jié)論？ (1)2x2－3x＝0；　　　　(2)3x2－2x＋1＝0； (3)4x2＋x＋1＝0. 解：(1)x1＝0，x2＝；有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 　(2)x1＝x2＝；有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 　(3)無實(shí)數(shù)根． 點(diǎn)撥精講：Δ＞0時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；Δ＝0時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；Δ＜0時(shí)，沒有實(shí)數(shù)根． 一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動(dòng)后，小組代表展示活動(dòng)成果．(8分鐘) 1．方程x2－4x＋4＝0的根的情況是(　B　) A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根 2．當(dāng)m為何值時(shí)，方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1＝0， (1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？ (2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？ (3)沒有實(shí)數(shù)根？ 解：(1)m＜；　(2)m＝；　(3)m ＞. 3. 已知x2＋2x＝m－1沒有實(shí)數(shù)根，求證：x2＋mx＝1－2m必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. 證明：∵x2＋2x－m＋1＝0沒有實(shí)數(shù)根， ∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0. 對(duì)于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1＝0， Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0， ∴x2＋mx＝1－2m必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨(dú)立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺(tái)展示并講解思路．(10分鐘) 1．利用判別式判定下列方程的根的情況： (1)2x2－3x－＝0; (2)16x2－24x＋9＝0； (3)x2－4x＋9＝0 ; (4)3x2＋10x＝2x2＋8x. 解：(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 　(2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 　(3)無實(shí)數(shù)根； 　(4)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 2．用公式法解下列方程： (1)x2＋x－12＝0 ; 　(2)x2－x－＝0； (3)x2＋4x＋8＝2x＋11; 　(4)x(x－4)＝2－8x； (5)x2＋2x＝0 ; 　(6)x2＋2x＋10＝0. 解：(1)x1＝3，x2＝－4； 　(2)x1＝，x2＝； 　(3)x1＝1，x2＝－3； 　(4)x1＝－2＋，x2＝－2－； 　(5)x1＝0，x2＝－2; (6)無實(shí)數(shù)根． 點(diǎn)撥精講：(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系數(shù)a，b，c確定的； (2)在解一元二次方程時(shí)，可先把方程化為一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a(bǔ)，b，c的值代入x＝(b2－4ac≥0)中，可求得方程的兩個(gè)根； (3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根． 學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑．(2分鐘) 1.求根公式的推導(dǎo)過程． 2.用公式法解一元二次方程的一般步驟：先確定a，b，c的值，再算出b2－4ac的值、最后代入求根公式求解． 3.用判別式判定一元二次方程根的情況． 學(xué)習(xí)至此，請(qǐng)使用本課時(shí)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練部分．(10分鐘) 21．2.3　因式分解法 1. 會(huì)用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程． 2. 能根據(jù)具體的一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會(huì)解決問題方法的多樣性． 重點(diǎn)：用因式分解法解一元二次方程． 難點(diǎn)：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想． (2分鐘) 將下列各題因式分解： (1)am＋bm＋cm＝(__a＋b＋c__)m； (2)a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__； (3)a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__． 一、自學(xué)指導(dǎo)．(8分鐘) 問題：根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果把一個(gè)物體從地面以10 m/s的速度豎直上拋，那么經(jīng)過x s物體離地的高度(單位：m)為10x－4.9x2.你能根據(jù)上述規(guī)律求出物體經(jīng)過多少秒落回地面嗎？(精確到0.01s) 設(shè)物體經(jīng)過x s落回地面，這時(shí)它離地面的高度為0，即10x－4.9x2＝0，　?、? 思考：除配方法或公式法以外，能否找到更簡單的方法解方程①？ 分析：方程①的右邊為0，左邊可以因式分解得： x(10－4.9x)＝0， 于是得x＝0或10－4.9x＝0，　?、? ∴x1＝__0__，x2≈2.04． 上述解中，x2≈2.04表示物體約在2.04 s時(shí)落回地面，而x1＝0表示物體被上拋離開地面的時(shí)刻，即0 s時(shí)物體被拋出，此刻物體的高度是0 m. 點(diǎn)撥精講： (1)對(duì)于一元二次方程，先將方程右邊化為0，然后對(duì)方程左邊進(jìn)行因式分解，使方程化為兩個(gè)一次式的乘積的形式，再使這兩個(gè)一次因式分別等于零，從而實(shí)現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法． (2)如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，這是因式分解法的根據(jù)．如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么__x＋1＝0或__x－1＝0__，即__x＝－1__或__x＝1． 二、自學(xué)檢測(cè)：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示，點(diǎn)評(píng)，教師巡視．(5分鐘) 1．說出下列方程的根： (1)x(x－8)＝0；　　　(2)(3x＋1)(2x－5)＝0. 解：(1)x1＝0，x2＝8；　(2)x1＝－，x2＝. 2．用因式分解法解下列方程： (1)x2－4x＝0; (2)4x2－49＝0； (3)5x2－20x＋20＝0. 解：(1)x1＝0，x2＝4; (2)x1＝，x2＝－； (3)x1＝x2＝2. 一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動(dòng)后，小組代表展示活動(dòng)成果．(8分鐘) 1．用因式分解法解下列方程： (1)5x2－4x＝0；　　　(2)3x(2x＋1)＝4x＋2； (3)(x＋5)2＝3x＋15. 解：(1)x1＝0，x2＝； (2)x1＝，x2＝－； (3)x1＝－5，x2＝－2. 點(diǎn)撥精講：用因式分解法解一元二次方程的要點(diǎn)是方程的一邊是0，另一邊可以分解因式． 2．用因式分解法解下列方程： (1)4x2－144＝0； (2)(2x－1)2＝(3－x)2； (3)5x2－2x－＝x2－2x＋； (4)3x2－12x＝－12. 解：(1)x1＝6，x2＝－6； (2)x1＝，x2＝－2； (3)x1＝，x2＝－； (4)x1＝x2＝2. 點(diǎn)撥精講：注意本例中的方程可以試用多種方法． 二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨(dú)立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺(tái)展示并講解思路．(10分鐘) 1．用因式分解法解下列方程： (1)x2＋x＝0; (2)x2－2x＝0； (3)3x2－6x＝－3; (4)4x2－121＝0； (5)(x－4)2＝(5－2x)2. 解：(1)x1＝0，x2＝－1； (2)x1＝0，x2＝2； (3)x1＝x2＝1； (4)x1＝，x2＝－； (5)x1＝3，x2＝1. 點(diǎn)撥精講：因式分解法解一元二次方程的一般步驟： (1)將方程右邊化為__0__； (2)將方程左邊分解成兩個(gè)一次式的__乘積__； (3)令每個(gè)因式分別為__0__，得到兩個(gè)一元一次方程； (4)解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解． 2．把小圓形場(chǎng)地的半徑增加5 m得到大圓形場(chǎng)地，場(chǎng)地面積增加了一倍，求小圓形場(chǎng)地的半徑． 解：設(shè)小圓形場(chǎng)地的半徑為x m. 則可列方程2πx2＝π(x＋5)2. 解得x1＝5＋5，x2＝5－5(舍去)． 答：小圓形場(chǎng)地的半徑為(5＋5) m. 學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑．(2分鐘) 1．用因式分解法解方程的根據(jù)由ab＝0得 a＝0或b＝0，即“二次降為一次”． 2．正確的因式分解是解題的關(guān)鍵． 學(xué)習(xí)至此，請(qǐng)使用本課時(shí)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練部分．(10分鐘) 21．2.4　一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 1. 理解并掌握根與系數(shù)的關(guān)系：x1＋x2＝－，x1x2＝. 2. 會(huì)用根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系解題． 重點(diǎn)：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及運(yùn)用． 難點(diǎn)：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及運(yùn)用． 一、自學(xué)指導(dǎo)．(10分鐘) 自學(xué)1：完成下表： 方程 x1 x2 x1＋x2 x1x2 x2－5x＋6＝0 2 3 5 6 x2＋3x－10＝0 2 －5 －3 －10 問題：你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ ①用語言敘述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律； 答：兩根之和為一次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)；兩根之積為常數(shù)項(xiàng)． ②x2＋px＋q＝0的兩根x1，x2用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律. 答：x1＋x2＝－p，x1x2＝q. 自學(xué)2：完成下表： 方程 x1 x2 x1＋x2 x1x2 2x2－3x－2＝0 2 － －1 3x2－4x＋1＝0 1 問題：上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論在這里成立嗎？(不成立) 請(qǐng)完善規(guī)律： ①用語言敘述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律； 答：兩根之和為一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)之比的相反數(shù)，兩根之積為常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)之比． ②ax2＋bx＋c＝0的兩根x1，x2用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律． 答：x1＋x2＝－，x1x2＝. 自學(xué)3：利用求根公式推導(dǎo)根與系數(shù)的關(guān)系．(韋達(dá)定理) ax2＋bx＋c＝0的兩根x1＝____，x2＝____． x1＋x2＝－，x1x2＝. 二、自學(xué)檢測(cè)：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示，點(diǎn)評(píng)，教師巡視．(5分鐘) 根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和與兩根之積． (1)x2－3x－1＝0 ；　　(2)2x2＋3x－5＝0； (3)x2－2x＝0. 解：(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－1； (2)x1＋x2＝－，x1x2＝－； (3)x1＋x2＝6，x1x2＝0. 一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動(dòng)后，小組代表展示活動(dòng)成果．(10分鐘) 1．不解方程，求下列方程的兩根之和與兩根之積． (1)x2－6x－15＝0; (2)3x2＋7x－9＝0； (3)5x－1＝4x2. 解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15； (2)x1＋x2＝－，x1x2＝－3； (3)x1＋x2＝，x1x2＝. 點(diǎn)撥精講：先將方程化為一般形式，找對(duì)a，b，c. 2．已知方程2x2＋kx－9＝0的一個(gè)根是－3，求另一根及k的值． 解：另一根為，k＝3. 點(diǎn)撥精講：本題有兩種解法，一種是根據(jù)根的定義，將x＝－3代入方程先求k，再求另一個(gè)根；一種是利用根與系數(shù)的關(guān)系解答． 3．已知α，β是方程x2－3x－5＝0的兩根，不解方程，求下列代數(shù)式的值． (1)＋；　　(2)α2＋β2；　　(3)α－β. 解：(1)－；(2)19；(3)或－. 二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨(dú)立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺(tái)展示并講解思路．(8分鐘) 1．不解方程，求下列方程的兩根和與兩根積： (1)x2－3x＝15; (2)5x2－1＝4x2； (3)x2－3x＋2＝10; (4)4x2－144＝0. 解：(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－15； (2)x1＋x2＝0，x1x2＝－1； (3)x1＋x2＝3，x1x2＝－8； (4)x1＋x2＝0，x1x2＝－36. 2．兩根均為負(fù)數(shù)的一元二次方程是(　C　) A．7x2－12x＋5＝0 B．6x2－13x－5＝0 C．4x2＋21x＋5＝0 D．x2＋15x－8＝0 點(diǎn)撥精講：兩根均為負(fù)數(shù)的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系滿足兩根之和為負(fù)數(shù)，兩根之積為正數(shù)． 學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑．(2分鐘) 不解方程，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和已知條件結(jié)合，可求得一些代數(shù)式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系數(shù)的值． 1．先化成一般形式，再確定a，b，c. 2．當(dāng)且僅當(dāng)b2－4ac≥0時(shí)，才能應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系． 3．要注意比的符號(hào)：x1＋x2＝－(比前面有負(fù)號(hào))，x1x2＝(比前面沒有負(fù)號(hào))． 學(xué)習(xí)至此，請(qǐng)使用本課時(shí)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練部分．(10分鐘) 21．3　實(shí)際問題與一元二次方程(1) 1．會(huì)根據(jù)具體問題(按一定傳播速度傳播的問題、數(shù)字問題等)中的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程并求解． 2．能根據(jù)問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)所得結(jié)果是否合理． 3．進(jìn)一步掌握列方程解應(yīng)用題的步驟和關(guān)鍵． 重點(diǎn)：列一元二次方程解決實(shí)際問題． 難點(diǎn)：找出實(shí)際問題中的等量關(guān)系． 一、自學(xué)指導(dǎo)．(12分鐘) 問題1：有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？ 分析： ①設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，那么患流感的這一個(gè)人在第一輪中傳染了__x__人，第一輪后共有__(x＋1)__人患了流感； ②第二輪傳染中，這些人中的每個(gè)人又傳染了__x__人，第二輪后共有__(x＋1)(x＋1)__人患了流感． 則列方程： __(x＋1)2＝121__， 解得__x＝10或x＝－12(舍)__， 即平均一個(gè)人傳染了__10__個(gè)人． 再思考：如果按照這樣的傳染速度，三輪后有多少人患流感？ 問題2：一個(gè)兩位數(shù)，它的兩個(gè)數(shù)字之和為6，把這兩個(gè)數(shù)字交換位置后所得的兩位數(shù)與原兩位數(shù)的積是1008，求原來的兩位數(shù)． 分析：設(shè)原來的兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為__x__，則十位數(shù)字為__(6－x)__，則原兩位數(shù)為__10(6－x)＋x，新兩位數(shù)為__10x＋(6－x)__．依題意可列方程：[10(6－x)＋x][10x＋(6－x)]＝1008__， 解得 x1＝__2__，x2＝__4__，∴原來的兩位數(shù)為24或42. 二、自學(xué)檢測(cè)：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示，點(diǎn)評(píng)，教師巡視．(5分鐘) 某初中畢業(yè)班的每一個(gè)同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送了2550張相片，如果全班有x名學(xué)生，根據(jù)題意，列出方程為(　　) A．x(x＋1)＝2550 B．x(x－1)＝2550 C．2x(x＋1)＝2550 D．x(x－1)＝2550×2 分析：由題意，每一個(gè)同學(xué)都將向全班其他同學(xué)各送一張相片，則每人送出(x－1)張相片，全班共送出x(x－1)張相片，可列方程為x(x－1)＝2550. 故選B. 一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動(dòng)后，小組代表展示活動(dòng)成果．(8分鐘) 1．某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，求每個(gè)支干長出多少小分支？ 解：設(shè)每個(gè)支干長出x個(gè)小分支，則有1＋x＋x2＝91， 即x2＋x－90＝0， 解得x1＝9，x2＝－10(舍去)， 故每個(gè)支干長出9個(gè)小分支． 點(diǎn)撥精講：本例與傳染問題的區(qū)別． 2．一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)小4，設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，則列方程為：__x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4__． 二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨(dú)立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺(tái)展示并講解思路．(7分鐘) 1．兩個(gè)正數(shù)的差是2，它們的平方和是52，則這兩個(gè)數(shù)是(　C　) A．2和4　　B．6和8　　C．4和6　　D．8和10 2．教材P21第2題、第3題 學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑．(3分鐘) 1．列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟： (1)“審”：即審題，讀懂題意弄清題中的已知量和未知量； (2)“設(shè)”：即設(shè)__未知數(shù)__，設(shè)未知數(shù)的方法有直接設(shè)和間接設(shè)未知數(shù)兩種； (3)“列”：即根據(jù)題中__等量__關(guān)系列方程； (4)“解”：即求出所列方程的__根__； (5)“檢驗(yàn)”：即驗(yàn)證根是否符合題意； (6)“答”：即回答題目中要解決的問題． 2. 對(duì)于數(shù)字問題應(yīng)注意數(shù)字的位置． 學(xué)習(xí)至此，請(qǐng)使用本課時(shí)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練部分．(10分鐘) 21．3　實(shí)際問題與一元二次方程(2) 1. 會(huì)根據(jù)具體問題(增長率、降低率問題和利潤率問題)中的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程并求解． 2．能根據(jù)問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)所得結(jié)果是否合理． 3．進(jìn)一步掌握列方程解應(yīng)用題的步驟和關(guān)鍵． 重點(diǎn)：如何解決增長率與降低率問題． 難點(diǎn)：理解增長率與降低率問題的公式a(1±x)n＝b，其中a是原有量，x為增長(或降低)率，n為增長(或降低)的次數(shù)，b為增長(或降低)后的量． 一、自學(xué)指導(dǎo)．(10分鐘) 自學(xué)：兩年前生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？(精確到0.01) 絕對(duì)量：甲種藥品成本的年平均下降額為(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙種藥品成本的年平均下降額為(6000－3600)÷2＝1200(元)，顯然，乙種藥品成本的年平均下降額較大． 相對(duì)量：從上面的絕對(duì)量的大小能否說明相對(duì)量的大小呢？也就是能否說明乙種藥品成本的年平均下降率大呢？下面我們通過計(jì)算來說明這個(gè)問題． 分析： ①設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x，則一年后甲種藥品成本為__5000(1－x)__元，兩年后甲種藥品成本為__5000(1－x)2__元． 依題意，得__5000(1－x)2＝3000__． 解得__x1≈0.23，x2≈1.77__． 根據(jù)實(shí)際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為__0.23__． ②設(shè)乙種藥品成本的年平均下降率為y.則， 列方程：__6000(1－y)2＝3600__． 解得__y1≈0.23，y2≈1.77(舍)__． 答：兩種藥品成本的年平均下降率__相同__． 點(diǎn)撥精講：經(jīng)過計(jì)算，成本下降額較大的藥品，它的成本下降率不一定較大，應(yīng)比較降前及降后的價(jià)格． 二、自學(xué)檢測(cè)：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示，點(diǎn)評(píng)，教師巡視．(8分鐘) 某商店10月份的營業(yè)額為5000元，12月份上升到7200元，平均每月增長百分率是多少？ 【分析】如果設(shè)平均每月增長的百分率為x，則 11月份的營業(yè)額為__5000(1＋x)__元， 12月份的營業(yè)額為__5000(1＋x)(1＋x)__元，即__5000(1＋x)2__元． 由此就可列方程：__5000(1＋x)2＝7200__． 點(diǎn)撥精講：此例是增長率問題，如題目無特別說明，一般都指平均增長率，增長率是增長數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的比． 增長率＝增長數(shù)∶基準(zhǔn)數(shù) 設(shè)基準(zhǔn)數(shù)為a，增長率為x， 則一月(或一年)后產(chǎn)量為a(1＋x)； 二月(或二年)后產(chǎn)量為a(1＋x)2； n月(或n年)后產(chǎn)量為a(1＋x)n； 如果已知n月(n年)后產(chǎn)量為M，則有下面等式：M＝a(1＋x)n. 解這類問題一般多采用上面的等量關(guān)系列方程． 一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動(dòng)后，小組代表展示活動(dòng)成果．(8分鐘) 某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用于購物，剩下的1000元及應(yīng)得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變，到期后本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率．(利息稅20%) 分析：設(shè)這種存款方式的年利率為x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就變?yōu)?000＋2000x·80%，其他依此類推． 解：設(shè)這種存款方式的年利率為x， 則1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·80%)x·80%＝1320， 整理，得1280x2＋800x＋1600x＝320，即8x2＋15x－2＝0， 解得x1＝－2(不符，舍去)，x2＝0.125＝12.5%. 答：所求的年利率是12.5%. 二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨(dú)立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺(tái)展示并講解思路．(6分鐘) 青山村種的水稻2011年平均每公頃產(chǎn)7200 kg，2013年平均每公頃產(chǎn)8460 kg，求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率． 解：設(shè)年平均增長率為x， 則有7200(1＋x)2＝8460， 解得x1＝0.08，x2＝－2.08(舍)． 即年平均增長率為8%. 答：水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為8%. 點(diǎn)撥精講：傳播或傳染以及增長率問題的方程適合用直接開平方法來解． 學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑．(3分鐘) 1. 列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：審、設(shè)、找、列、解、答．最后要檢驗(yàn)根是否符合實(shí)際意義． 2. 若平均增長(降低)率為x，增長(或降低)前的基數(shù)是a，增長(或降低)n次后的量是b，則有：a(1±x)n＝b(常見n＝2)． 學(xué)習(xí)至此，請(qǐng)使用本課時(shí)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練部分．(10分鐘) 21．3　實(shí)際問題與一元二次方程(3) 1. 能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型．并能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)結(jié)果是否合理． 2. 列一元二次方程解有關(guān)特殊圖形問題的應(yīng)用題． 重點(diǎn)：根據(jù)面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題． 難點(diǎn)：根據(jù)面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型． 一、自學(xué)指導(dǎo)．(10分鐘) 問題：如圖，要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長27 cm，寬21 cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長寬比例相同的矩形．如果要使四周的陰影邊襯所占面積 是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度？(精確到0.1 cm) 分析：封面的長寬之比是27∶21＝__9∶7，中央的長方形的長寬之比也應(yīng)是__9∶7__，若設(shè)中央的長方形的長和寬分別是__9a_cm__和__7a_cm__，由此得上下邊襯與左右邊襯的寬度之比是__(27－9a)∶(21－7a)＝9∶7__． 探究：怎樣設(shè)未知數(shù)可以更簡單的解決上面的問題？請(qǐng)?jiān)囈辉嚕? 二、自學(xué)檢測(cè)：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示，點(diǎn)評(píng)，教師巡視．(5分鐘) 在一幅長8分米，寬6分米的矩形風(fēng)景畫(如圖①)的四周鑲寬度相同的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖(如圖②)．如果要使整個(gè)掛圖的面積是80平方分米，求金色紙邊的寬． 　解：設(shè)金色紙邊的寬為x分米，根據(jù)題意，得(2x＋6)(2x＋8)＝80. 　解得x1＝1，x2＝－8(不合題意，舍去)． 　答：金色紙邊的寬為1分米． 點(diǎn)撥精講：本題和上題一樣，利用矩形的面積公式做為相等關(guān)系列方程． 一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動(dòng)后，小組代表展示活動(dòng)成果．(8分鐘) 如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個(gè)長為40 m、寬為26 m的矩形場(chǎng)地ABCD上修建三條同樣寬度的馬路，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草．若使每一塊草坪的面積都是144 m2，求馬路的寬． 解：假設(shè)三條馬路修在如圖所示位置． 設(shè)馬路寬為x，則有 (40－2x)(26－x)＝144×6， 化簡，得x2－46x＋88＝0， 解得x1＝2，x2＝44， 由題意：40－2x＞0，26－x＞0, 則x＜20. 故x2＝44不合題意，應(yīng)舍去，∴x＝2. 答：馬路的寬為2 m. 點(diǎn)撥精講：這類修路問題，通常采用平移方法，使剩余部分為一完整矩形． 二、跟蹤練習(xí)：學(xué)生獨(dú)立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺(tái)展示并講解思路．(10分鐘) 1．如圖，要設(shè)計(jì)一幅寬20 cm、長30 cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條(圖中陰影部分)，橫、豎彩條的寬度比為3∶2，如果要使彩條所占面積是圖案面積的四分之一，應(yīng)如何設(shè)計(jì)彩條的寬度．(精確到0.1 cm) 解：設(shè)橫彩條的寬度為3x cm，則豎彩條的寬度為2x cm. 根據(jù)題意，得(30－4x)(20－6x)＝(1－)×20×30. 解得x1≈0.6，x2≈10.2(不合題意，舍去)． 故3x＝1.8，2x＝1.2. 答：橫彩條寬為1.8 cm，豎彩條寬為1.2 cm. 2．用一根長40 cm的鐵絲圍成一個(gè)長方形，要求長方形的面積為75 cm2. (1)求此長方形的寬是多少？ (2)能圍成一個(gè)面積為101 cm2的長方形嗎？若能，說明圍法． (3)若設(shè)圍成一個(gè)長方形的面積為S(cm2)，長方形的寬為x(cm)，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何值時(shí)，S的值最大？最大面積為多少？ 解：(1)設(shè)此長方形的寬為x cm，則長為(20－x) cm. 根據(jù)題意，得x(20－x)＝75， 解得x1＝5，x2＝15(舍去)． 答：此長方形的寬是5 cm. (2)不能．由x(20－x)＝101，即x2－20x＋101＝0，知Δ＝202－4×101＝－4＜0，方程無解，故不能圍成一個(gè)面積為101 cm2的長方形． (3)S＝x(20－x)＝－x2＋20x. 由S＝－x2＋20x＝－(x－10)2＋100知，當(dāng)x＝10時(shí)，S的值最大，最大面積為100 cm2. 點(diǎn)撥精講：注意一元二次方程根的判別式和配方法在第(2)(3)問中的應(yīng)用． 學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑．(2分鐘) 用一元二次方程解決特殊圖形問題時(shí)，通常要先畫出圖形，利用圖形的面積找相等關(guān)系列方程． 學(xué)習(xí)至此，請(qǐng)使用本課時(shí)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練部分．(10分鐘) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第二十二章　二次函數(shù) 22．1　二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 22．1.1　二次函數(shù) 結(jié)合具體情境體會(huì)二次函數(shù)的意義，理解二次函數(shù)的有關(guān)概念；能夠表示簡單變量之間的二次函數(shù)關(guān)系． 重點(diǎn)：能夠表示簡單變量之間的二次函數(shù)關(guān)系． 難點(diǎn)：理解二次函數(shù)的有關(guān)概念． 一、自學(xué)指導(dǎo)．(10分鐘) 自學(xué)：自學(xué)課本P28～29，自學(xué)“思考”，理解二次函數(shù)的概念及意義，完成填空． 總結(jié)歸納：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，且a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為a，b，c．現(xiàn)在我們已學(xué)過的函數(shù)有一次函數(shù)、二次函數(shù)，其表達(dá)式分別是y＝ax＋b(a，b為常數(shù)，且a≠0)、y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，且a≠0)． 二、自學(xué)檢測(cè)：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示，點(diǎn)評(píng)，教師巡視．(5分鐘) 1．下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的有__A，B，C__． A．y＝(x－3)2－1 B．y＝1－x2 C．y＝(x＋2)(x－2) D．y＝(x－1)2－x2 2．二次函數(shù)y＝－x2＋2x中，二次項(xiàng)系數(shù)是__－1__，一次項(xiàng)系數(shù)是__2__，常數(shù)項(xiàng)是__0__． 3．半徑為R的圓，半徑增加x，圓的面積增加y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝πx2＋2πRx(x≥0)． 點(diǎn)撥精講：判斷二次函數(shù)關(guān)系要緊扣定義． 一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動(dòng)后，小組代表展示活動(dòng)成果．(10分鐘) 探究1　若y＝(b－2)x2＋4是二次函數(shù)，則__b≠2__． 探究2　某超市購進(jìn)一種單價(jià)為40元的籃球，如果以單價(jià)50元出售，那么每月可售出500個(gè)，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，售價(jià)每提高1元，銷售量相應(yīng)減少10個(gè)，如果超市將籃球售價(jià)定為x元(x>50)，每月銷售這種籃球獲利y元． (1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)超市計(jì)劃下月銷售這種籃球獲利8000元，又要吸引更多的顧客，那么這種籃球的售價(jià)為多少元？ 解：(1)y＝－10x2＋1400x－40000(500時(shí)，拋物線的開口向上，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．a(chǎn)越大，拋物線的開口越??；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線的開口向下，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)，a越大，拋物線的開口越大． 二、自學(xué)檢測(cè)：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示，點(diǎn)評(píng)，教師巡視．(5分鐘)