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《算法設(shè)計(jì)與分析》歷年期末試題整理(含答案)
（1）用計(jì)算機(jī)求解問(wèn)題的步驟：
1、問(wèn)題分析 2、數(shù)學(xué)模型建立 3、算法設(shè)計(jì)與選擇 4、算法指標(biāo) 5、算法分析 6、算法實(shí)現(xiàn) 7、程序調(diào)試 8、結(jié)果整理文檔編制
（2） 算法定義：算法是指在解決問(wèn)題時(shí)，按照某種機(jī)械步驟一定可以得到問(wèn)題結(jié)果的處理過(guò)程
（3） 算法的三要素
1、操作 2、控制結(jié)構(gòu) 3、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法具有以下 5 個(gè)屬性：
有窮性：一個(gè)算法必須總是在執(zhí)行有窮步之后結(jié)束，且每一步都在有窮時(shí)間內(nèi)完成。 確定性：算法中每一條指令必須有確切的含義。不存在二義性。只有一個(gè)入口和一個(gè)出口
可行性：一個(gè)算法是可行的就是算法描述的操作是可以通過(guò)已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的基本運(yùn)算執(zhí)行有限次來(lái)實(shí)現(xiàn)的。
輸入：一個(gè)算法有零個(gè)或多個(gè)輸入，這些輸入取自于某個(gè)特定對(duì)象的集合。
輸出：一個(gè)算法有一個(gè)或多個(gè)輸出，這些輸出同輸入有著某些特定關(guān)系的量。
算法設(shè)計(jì)的質(zhì)量指標(biāo)： 正確性：算法應(yīng)滿足具體問(wèn)題的需求； 可讀性：算法應(yīng)該好讀，以有利于讀者對(duì)程序的理解； 健壯性：算法應(yīng)具有容錯(cuò)處理，當(dāng)輸入為非法數(shù)據(jù)時(shí)，算法應(yīng)對(duì)其作出反應(yīng)，而不是產(chǎn)生莫名其妙的輸出結(jié)果。
效率與存儲(chǔ)量需求：效率指的是算法執(zhí)行的時(shí)間；存儲(chǔ)量需求指算法執(zhí)行過(guò)程中所需要
的最大存儲(chǔ)空間。一般這兩者與問(wèn)題的規(guī)模有關(guān)。
經(jīng)常采用的算法主要有迭代法、分而治之法、貪婪法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法、回溯法、分支限界法
迭代法 也稱“輾轉(zhuǎn)法”，是一種不斷用變量的舊值遞推出新值的解決問(wèn)題的方法。
利用迭代算法解決問(wèn)題，需要做好以下三個(gè)方面的工作： 一、確定迭代模型。在可以用迭代算法解決的問(wèn)題中，至少存在一個(gè)直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變量，這個(gè)變量就是迭代變量。
二、 建立迭代關(guān)系式。所謂迭代關(guān)系式，指如何從變量的前一個(gè)值推出其下一個(gè)值的公式（或關(guān)系）。迭代關(guān)系式的建立是解決迭代問(wèn)題的關(guān)鍵，通?？梢允褂眠f推或倒推的方法來(lái)完成。
三、 對(duì)迭代過(guò)程進(jìn)行控制。在什么時(shí)候結(jié)束迭代過(guò)程？這是編寫迭代程序必須考慮的問(wèn)題。不能讓迭代過(guò)程無(wú)休止地重復(fù)執(zhí)行下去。迭代過(guò)程的控制通?？煞譃閮煞N情況：一種是所需的迭代次數(shù)是個(gè)確定的值，可以計(jì)算出來(lái)；另一種是所需的迭代次數(shù)無(wú)法確定。對(duì)于前一種情況，可以構(gòu)建一個(gè)固定次數(shù)的循環(huán)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)迭代過(guò)程的控制；對(duì)于后一種情況，需要進(jìn)一步分析出用來(lái)結(jié)束迭代過(guò)程的條件。
編寫計(jì)算斐波那契（Fibonacci）數(shù)列的第 n 項(xiàng)函數(shù) fib（n）。
斐波那契數(shù)列為：0、1、1、2、3、……，即：
fib(0)=0; fib(1)=1;
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （當(dāng)n>1時(shí)）。
寫成遞歸函數(shù)有： int fib(int n)
{ if (n==0) return 0; if (n==1) return 1;
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2);
}
一個(gè)飼養(yǎng)場(chǎng)引進(jìn)一只剛出生的新品種兔子，這種兔子從出生的下一個(gè)月開(kāi)始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，問(wèn)到第 12 個(gè)月時(shí)，該飼養(yǎng)場(chǎng)共有兔子多少只？
分析： 這是一個(gè)典型的遞推問(wèn)題。我們不妨假設(shè)第 1 個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為 u 1 ，第 2 個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為 u 2 ，第 3 個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為 u 3 ，…… 根據(jù)題意，“這種兔子從出生的下一個(gè)月開(kāi)始，每月新生一只兔子”，則有
u 1 ＝ 1 ， u 2 ＝ u 1 ＋ u 1 1 ＝ 2 ， u 3 ＝ u 2 ＋ u 2 1 ＝
4 ，……
根據(jù)這個(gè)規(guī)律，可以歸納出下面的遞推公式：
u n ＝ u n － 1 2 (n ≥ 2)
對(duì)應(yīng) u n 和 u n － 1 ，定義兩個(gè)迭代變量 y 和 x ，可將上面的遞
推公式轉(zhuǎn)換成如下迭代關(guān)系： y=x*2
x=y
讓計(jì)算機(jī)對(duì)這個(gè)迭代關(guān)系重復(fù)執(zhí)行 11 次，就可以算出第 12 個(gè)月時(shí)的兔子數(shù)。參考程序如下：
cls
分而治之法
1、分治法的基本思想
x=1 for i=2 to 12 y=x*2 x=y next i print y end
任何一個(gè)可以用計(jì)算機(jī)求解的問(wèn)題所需的計(jì)算時(shí)間都與其規(guī)模 N 有關(guān)。問(wèn)題的規(guī)模越小，越容易直接求解，解題所需的計(jì)算時(shí)間也越少。例如，對(duì)于 n 個(gè)元素的排序問(wèn)題，當(dāng) n=1 時(shí)，不需任何計(jì)算；n=2 時(shí)，只要作一次比較即可排好序；n=3 時(shí)只要作 3 次比較即可，…。而當(dāng) n 較大時(shí)，問(wèn)題就不那么容易處理了。要想直接解決一個(gè)規(guī)模較大的問(wèn)題，有時(shí)是相當(dāng)困難的。
分治法的設(shè)計(jì)思想是，將一個(gè)難以直接解決的大問(wèn)題，分割成一些規(guī)模較小的相同問(wèn)題，以便各個(gè)擊破，分而治之。
分治法所能解決的問(wèn)題一般具有以下幾個(gè)特征：
（1）該問(wèn)題的規(guī)?？s小到一定的程度就可以容易地解決； （2）該問(wèn)題可以分解為若干個(gè)規(guī)模較小的相同問(wèn)題，即該問(wèn)題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)；
（3） 利用該問(wèn)題分解出的子問(wèn)題的解可以合并為該問(wèn)題的解；
（4） 該問(wèn)題所分解出的各個(gè)子問(wèn)題是相互獨(dú)立的，即子問(wèn)題之間不包含公共的子子問(wèn)題。
3、分治法的基本步驟
分治法在每一層遞歸上都有三個(gè)步驟：
（1） 分解：將原問(wèn)題分解為若干個(gè)規(guī)模較小，相互獨(dú)立，與原問(wèn)題形式相同的子問(wèn)題；
（2） 解決：若子問(wèn)題規(guī)模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個(gè)子問(wèn)題；
（3） 合并：將各個(gè)子問(wèn)題的解合并為原問(wèn)題的解。
快速排序
在這種方法中， n 個(gè)元素被分成三段（組）：左段 l e f t，右段 r i g h t 和中段 m i d d l e。中段僅包含一個(gè)元素。左段中各元素都小于等于中段元素，右段中各元素都大于等于中段元素。
因此 l e f t 和 r i g h t 中的元素可以獨(dú)立排序，并且不必對(duì) l e f t 和 r i g h t 的排序結(jié)果進(jìn)行合并。m i d d l e 中的元素被稱為支點(diǎn)( p i v o t )。圖 1 4 - 9 中給出了快速排序的偽代碼。
/ /使用快速排序方法對(duì) a[ 0 :n- 1 ]排序
從 a[ 0 :n- 1 ]中選擇一個(gè)元素作為 m i d d l e，該元素為支點(diǎn)
把余下的元素分割為兩段 left 和 r i g h t，使得 l e f t 中的元素都小于等于支點(diǎn)，而 right 中的元素都大于等于支點(diǎn)
遞歸地使用快速排序方法對(duì) left 進(jìn)行排序 遞歸地使用快速排序方法對(duì) right 進(jìn)行排序 所得結(jié)果為 l e f t + m i d d l e + r i g h t
考察元素序列[ 4 , 8 , 3 , 7 , 1 , 5 , 6 , 2 ]。假設(shè)選擇元素 6 作為支點(diǎn)，則 6 位于 m i d d l e； 4，3，1，5，2 位于 l e f t；8，7 位于 r i g h t。當(dāng) left 排好序后，所得結(jié)果為 1，2，3，4， 5；當(dāng) r i g h t 排好序后，所得結(jié)果為 7，8。把 right 中的元素放在支點(diǎn)元素之后， l e f t 中的元素放在支點(diǎn)元素之前，即可得到最終的結(jié)果[ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ]。
把元素序列劃分為 l e f t、m i d d l e 和 r i g h t 可以就地進(jìn)行（見(jiàn)程序 1 4 - 6）。在程序 1 4 - 6 中，支點(diǎn)總是取位置 1 中的元素。也可以采用其他選擇方式來(lái)提高排序性能，本章稍
13
后部分將給出這樣一種選擇。 程序 14-6 快速排序
template
void QuickSort(T*a, int n)
{// 對(duì) a[0:n-1] 進(jìn)行快速排序
{// 要求 a[n] 必需有最大關(guān)鍵值
quickSort(a, 0, n-1);
template
void quickSort(T a[], int l, int r) {// 排序 a [ l : r ]， a[r+1] 有大值
if (l >= r) return;
int i = l, // 從左至右的游標(biāo) j = r + 1; // 從右到左的游標(biāo) T pivot = a[l];
// 把左側(cè)>= pivot 的元素與右側(cè)<=
pivot 的元素進(jìn)行交換 while (true) {
do {// 在左側(cè)尋找>= pivot 的元素 i = i + 1; } while (a < pivot);
do {// 在右側(cè)尋找<= pivot 的元素
j = j - 1; } while (a[j] > pivot); if (i >= j) break; // 未發(fā)現(xiàn)交換對(duì)象
Swap(a, a[j]);
}
// 設(shè)置 p i v o t a[l] = a[j];
貪婪法
a[j] = pivot;
quickSort(a, l, j-1); // 對(duì)左段排序 quickSort(a, j+1, r); // 對(duì)右段排序
}
它采用逐步構(gòu)造最優(yōu)解的思想，在問(wèn)題求解的每一個(gè)階段，都作出一個(gè)在一 定標(biāo)準(zhǔn)下看上去最優(yōu)的決策；決策一旦作出，就不可再更改。制定決策的依據(jù)稱為貪婪準(zhǔn)則。
貪婪法是一種不追求最優(yōu)解，只希望得到較為滿意解的方法。貪婪法一般可以快速得到滿意的解，因?yàn)樗∪チ藶檎易顑?yōu)解要窮盡所有可能而必須耗費(fèi)的大量時(shí)間。貪婪法常以當(dāng)
前情況為基礎(chǔ)作最優(yōu)選擇，而不考慮各種可能的整體情況，所以貪婪法不要回溯。
【問(wèn)題】 背包問(wèn)題 問(wèn)題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品 n 件，求從這 n 件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過(guò)指定的限制重量，但選中物品的價(jià)值之和最大。
#include void main()
{
int
m,n,i,j,w[50],p[50],pl[50],b[50],s=0,max;
printf("輸入背包容量 m,物品種類 n :"); scanf("%d %d",&m,&n);
for(i=1;i<=n;i=i+1)
{
printf("輸入物品的重量 W 和價(jià)值
P :");
scanf("%d %d",&w[i],&p[i]);
pl[i]=p[i];
s=s+w[i];
}
if(s<=m)
{
printf("whole choose\n");
//return;
}
for(i=1;i<=n;i=i+1)
{
max=1;
for(j=2;j<=n;j=j+1) if(pl[j]/w[j]>pl[max]/w[max])
max=j; pl[max]=0;
b[i]=max;
}
for(i=1,s=0;sj。因此，對(duì)于約束集D具有完備性的問(wèn)題P，一旦檢測(cè)斷定某個(gè)j元組（x1， x2，…，xj）違反D中僅涉及x1，x2，…，xj的一個(gè)約束，就可以肯定，以（x1，x2，…，xj）為前綴的任何n元組（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不會(huì)是問(wèn)題P的解，因而就不必去搜索它們、檢測(cè)它們?；厮莘ㄕ轻槍?duì)這類問(wèn)題，利用這類問(wèn)題的上述性質(zhì)而提出來(lái)的比枚舉法效率更高的算法。
回溯法首先將問(wèn)題 P 的 n 元組的狀態(tài)空間 E 表示成一棵高為 n 的帶權(quán)有序樹(shù) T，把在 E 中求問(wèn)題 P 的所有解轉(zhuǎn)化為在 T 中搜索問(wèn)題 P 的所有解。樹(shù) T 類似于檢索樹(shù)，它可以這樣構(gòu)造：
設(shè)Si中的元素可排成xi(1) ，xi(2) ，…，xi(mi-1) ，|Si| =mi，i=1，2，…，n。從根開(kāi)始，讓T的第I層的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都有mi個(gè)兒子。這mi個(gè)兒子到它們的雙親的邊，按從左到右的次序，分別帶權(quán)xi+1(1) ，xi+1(2) ，…，xi+1(mi) ，i=0，1，2，…，n-1。照這種構(gòu)造方式，E中的一個(gè)n元組（x1，x2，…，xn）對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊的權(quán)分別為x1，x2，…，xn，反之亦然。另外，對(duì)于任意的 0≤i≤n-1，E中n 元組（x1，x2，…，xn）的一個(gè)前綴I元組（x1，x2，…，xi）對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)， T的根到這個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的I條邊的權(quán)分別為x1，x2，…，xi，反之亦然。特別，
E中的任意一個(gè)n元組的空前綴（），對(duì)應(yīng)于T的根。
因而，在E中尋找問(wèn)題P的一個(gè)解等價(jià)于在T中搜索一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，要求從T的根到該葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊相應(yīng)帶的n個(gè)權(quán)x1，x2，…，xn滿足約束集D的全部約束。在T 中搜索所要求的葉子結(jié)點(diǎn)，很自然的一種方式是從根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略逐步深入，即依次搜索滿足約束條件的前綴 1 元組（x1i）、前綴 2 元組（x1，x2）、…，前綴I元組（x1， x2，…，xi），…，直到i=n為止。
在回溯法中，上述引入的樹(shù)被稱為問(wèn)題 P 的狀態(tài)空間樹(shù)；樹(shù) T 上任意一個(gè)結(jié)點(diǎn)被稱為問(wèn)題 P 的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹(shù) T 上的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問(wèn)題 P 的一個(gè)解狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹(shù) T 上滿足約束集 D 的全部約束的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問(wèn)題 P 的一個(gè)回答狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于問(wèn)題 P 的一個(gè)解。
【問(wèn)題】 n 皇后問(wèn)題 問(wèn)題描述：求出在一個(gè) nn 的棋盤上，放置 n 個(gè)不能互相捕捉的國(guó)際象棋“皇后”
的所有布局。
這是來(lái)源于國(guó)際象棋的一個(gè)問(wèn)題?；屎罂梢匝刂v橫和兩條斜線 4 個(gè)方向相互捕捉。如圖所示，一個(gè)皇后放在棋盤的第 4 行第 3 列位置上，則棋盤上凡打“”的位置上的皇后
就能與這個(gè)皇后相互捕捉。
1 2 3 4 5 6 7 8
Q
從圖中可以得到以下啟示：一個(gè)合適的解應(yīng)是在每列、每行上只有一個(gè)皇后，且一條
斜線上也只有一個(gè)皇后。
求解過(guò)程從空配置開(kāi)始。在第 1 列至第 m 列為合理配置的基礎(chǔ)上，再配置第 m+1 列，直至第 n 列配置也是合理時(shí)，就找到了一個(gè)解。接著改變第 n 列配置，希望獲得下一個(gè)解。另外，在任一列上，可能有 n 種配置。開(kāi)始時(shí)配置在第 1 行，以后改變時(shí)，順次選擇第 2 行、第 3 行、…、直到第 n 行。當(dāng)?shù)?n 行配置也找不到一個(gè)合理的配置時(shí)，就要回溯，去改變前一列的配置。得到求解皇后問(wèn)題的算法如下：
{ 輸入棋盤大小值 n； m=0; good=1; do { if (good) if (m==n)
{ 輸出解；
改變之，形成下一個(gè)候選解;
}
else 擴(kuò)展當(dāng)前候選接至下一列； else 改變之，形成下一個(gè)候選解；
good=檢查當(dāng)前候選解的合理性；
} while (m!=0);
}
在編寫程序之前，先確定邊式棋盤的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。比較直觀的方法是采用一個(gè)二維數(shù)組，但仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這種表示方法給調(diào)整候選解及檢查其合理性帶來(lái)困難。更好的方法乃是盡可能直接表示那些常用的信息。對(duì)于本題來(lái)說(shuō)，“常用信息”并不是皇后的具體位置，而是“一個(gè)皇后是否已經(jīng)在某行和某條斜線合理地安置好了”。因在某一列上恰好放一個(gè)皇
后，引入一個(gè)一維數(shù)組（col[
]），值 col[i]表示在棋盤第 i 列、col[i]行有一個(gè)皇后。例如：col[3]=4，就表示在棋盤的第 3 列、第 4 行上有一個(gè)皇后。另外，為了使程序在找完了全部解后回溯到最初位置，設(shè)定 col[0]的初值為 0 當(dāng)回溯到第 0 列時(shí)，說(shuō)明程序已求得全部解，結(jié)束程序運(yùn)行。
為使程序在檢查皇后配置的合理性方面簡(jiǎn)易方便，引入以下三個(gè)工作數(shù)組：
（1） 數(shù)組 a[ ]，a[k]表示第 k 行上還沒(méi)有皇后；
（2） 數(shù)組 b[ ]，b[k]表示第 k 列右高左低斜線上沒(méi)有皇后； （3） 數(shù)組 c[ ]，c[k]表示第 k 列左高右低斜線上沒(méi)有皇后；
棋盤中同一右高左低斜線上的方格，他們的行號(hào)與列號(hào)之和相同；同一左高右低斜線上的方格，他們的行號(hào)與列號(hào)之差均相同。
初始時(shí)，所有行和斜線上均沒(méi)有皇后，從第 1 列的第 1 行配置第一個(gè)皇后開(kāi)始，在第 m 列 col[m]行放置了一個(gè)合理的皇后后，準(zhǔn)備考察第 m+1 列時(shí)，在數(shù)組 a[ ]、b[ ]和 c[ ]中為第 m 列，col[m]行的位置設(shè)定有皇后標(biāo)志；當(dāng)從第 m 列回溯到第 m-1 列，并準(zhǔn)備調(diào)整第 m-1 列的皇后配置時(shí)，清除在數(shù)組 a[
]、b[ ]和 c[ ]中設(shè)置的關(guān)于第 m-1 列，col[m-1]行有皇后的標(biāo)志。一個(gè)皇后在 m 列， col[m]行方格內(nèi)配置是合理的，由數(shù)組 a[ ]、b[ ]和 c[ ]對(duì)應(yīng)位置的值都為 1 來(lái)確定。細(xì)節(jié)見(jiàn)以下程序：
【程序】
# include
# include
# define MAXN 20 int n,m,good;
int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];
void main() { int j; char awn; printf(“Enter n: “); scanf(“%d”,&n); for (j=0;j<=n;j++) a[j]=1; for (j=0;j<=2*n;j++) cb[j]=c[j]=1; m=1; col[1]=1; good=1; col[0]=0; do { if (good) if (m==n)
{ printf(“列\(zhòng)t 行”); for (j=1;j<=n;j++) printf(“%3d\t%d\n”,j,col[j]); printf(“Enter a character (Q/q for exit)!\n”);
scanf(“%c”,&awn); if (awn==’Q’||awn==’q’) exit(0); while (col[m]==n) { m--; a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;
} col[m]++; } else
{ a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=0; col[++m]=1;
} else
{ while (col[m]==n) { m--; a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;
} col[m]++; } good=a[col[m]]&&b[m+col[m]]&&c[n+m-col[m]];
} while (m!=0);
}
試探法找解算法也常常被編寫成遞歸函數(shù)，下面兩程序中的函數(shù) queen_all()和函數(shù) queen_one()能分別用來(lái)解皇后問(wèn)題的全部解和一個(gè)解。
【程序】
# include
# include
# define MAXN 20
int n;
int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1]; void main() { int j;
printf(“Enter n: “); scanf(“%d”,&n); for (j=0;j<=n;j++) a[j]=1; for (j=0;j<=2*n;j++) cb[j]=c[j]=1; queen_all(1,n);
}
void queen_all(int k,int n)
{ int i,j; char awn; for (i=1;i<=n;i++)
if (a[i]&&b[k+i]&&c[n+k-i])
{ col[k]=i; a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=0; if (k==n)
{ printf(“列\(zhòng)t 行”); for (j=1;j<=n;j++) printf(“%3d\t%d\n”,j,col[j]); printf(“Enter a character (Q/q for exit)!\n”);
scanf(“%c”,&awn);
if (awn==’Q’||awn==’q’) exit(0);
} queen_all(k+1,n); a[i]=b[k+i]=c[n+k-i];
}
}
采用遞歸方法找一個(gè)解與找全部解稍有不同，在找一個(gè)解的算法中，遞歸算法要對(duì)當(dāng)前候選解最終是否能成為解要有回答。當(dāng)它成為最終解時(shí)，遞歸函數(shù)就不再遞歸試探，立即返回；若不能成為解，就得繼續(xù)試探。設(shè)函數(shù) queen_one()返回 1 表示找到解，返回 0 表示當(dāng)前候選解不能成為解。細(xì)節(jié)見(jiàn)以下函數(shù)。
【程序】
# define MAXN 20
int n; int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1]; int queen_one(int k,int n) { int i,found; i=found=0;
While (!found&&i { i++;
if (a[i]&&b[k+i]&&c[n+k-i])
{ col[k]=i; a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=0; if (k==n) return 1; else found=queen_one(k+1,n); a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=1;
}
} return found;
}
分支定界法：
分支限界法：
這是一種用于求解組合優(yōu)化問(wèn)題的排除非解的搜索算法。類似于回溯法，分枝定界法在搜索解空間時(shí)，也經(jīng)常使用樹(shù)形結(jié)構(gòu)來(lái)組織解空間。然而與回溯法不同的是，回溯算法使用深度優(yōu)先方法搜索樹(shù)結(jié)構(gòu)，而分枝定界一般用寬度優(yōu)先或最小耗費(fèi)方法來(lái)搜索這些樹(shù)。因此，可以很容易比較回溯法與分枝定界法的異同。相對(duì)而言，分枝定界算法的解空間比回溯法大得多，因此當(dāng)內(nèi)存容量有限時(shí)，回溯法成功的可能性更大。
算法思想：分枝定界（branch and bound）是另一種系統(tǒng)地搜索解空間的方法，它與回溯法的主要區(qū)別在于對(duì) E-節(jié)點(diǎn)的擴(kuò)充方式。每個(gè)活節(jié)點(diǎn)有且僅有一次機(jī)會(huì)變成 E-節(jié)點(diǎn)。當(dāng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)變?yōu)?E-節(jié)點(diǎn)時(shí)，則生成從該節(jié)點(diǎn)移動(dòng)一步即可到達(dá)的所有新節(jié)點(diǎn)。在生成的節(jié)點(diǎn)中，拋棄那些不可能導(dǎo)出（最優(yōu)）可行解的節(jié)點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)加入活節(jié)點(diǎn)表，然后從表中選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為下一個(gè) E-節(jié)點(diǎn)。從活節(jié)點(diǎn)表中取出所選擇的節(jié)點(diǎn)并進(jìn)行擴(kuò)充，直到找到解或活動(dòng)表為空，擴(kuò)充過(guò)程才結(jié)束。
有兩種常用的方法可用來(lái)選擇下一個(gè) E-節(jié)點(diǎn)（雖然也可能存在其他的方法）：
1) 先進(jìn)先出（F I F O） 即從活節(jié)點(diǎn)表中取出節(jié)點(diǎn)的順序與加入節(jié)點(diǎn)的順序相同，因此活 節(jié)點(diǎn)表的性質(zhì)與隊(duì)列相同。
2) 最小耗費(fèi)或最大收益法在這種模式中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的耗費(fèi)或收益。如果查找 一個(gè)具有最小耗費(fèi)的解，則活節(jié)點(diǎn)表可用最小堆來(lái)建立，下一個(gè) E-節(jié)點(diǎn)就是具有最小耗費(fèi) 的活節(jié)點(diǎn)；如果希望搜索一個(gè)具有最大收益的解，則可用最大堆來(lái)構(gòu)造活節(jié)點(diǎn)表，下一個(gè)
E-節(jié)點(diǎn)是具有最大收益的活節(jié)點(diǎn)裝載問(wèn)題
用一個(gè)隊(duì)列 Q 來(lái)存放活結(jié)點(diǎn)表，Q 中 weight 表示每個(gè)活結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的當(dāng)前載重量。當(dāng) weight＝－1 時(shí)，表示隊(duì)列已達(dá)到解空間樹(shù)同一層結(jié)點(diǎn)的尾部。
算法首先檢測(cè)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如果是則將其加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。然后將其右兒子結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中(右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn))。2 個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄。
活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的隊(duì)首元素被取出作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，由于隊(duì)列中每一層結(jié)點(diǎn)之后都有一個(gè)尾部標(biāo)記-1，故在取隊(duì)首元素時(shí)，活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1 時(shí)，再判斷當(dāng)前隊(duì)列是否為空。如果隊(duì)列非空，則將尾部標(biāo)記-1 加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列，算法
開(kāi)始處理下一層的活結(jié)點(diǎn)。
/*該版本只算出最優(yōu)解*/
#include
#include struct Queue{ int weight ;
struct Queue* next ;
};
int bestw = 0 ; // 目前的最優(yōu)值 Queue* Q; // 活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列
Queue* lq = NULL ; Queue* fq = NULL ; int Add(int w) {
Queue* q ; q = (Queue*)malloc(sizeof(Queue)) ;
if(q ==NULL)
{
printf("沒(méi)有足夠的空間分配\n") ;
return 1 ;
} q->next = NULL ; q->weight = w ;
if(Q->next == NULL)
{
Q->next = q ;
fq = lq = Q->next ; //一定要使元素放到鏈
中
} else { lq->next = q ; lq = q ; // lq = q->next ; } return 0 ; } int IsEmpty()
{
if(Q->next==NULL)
return 1 ; return 0 ; } int Delete(int&w) {
Queue* tmp = NULL ;
// fq = Q->next ; tmp = fq ; w = fq->weight ;
Q->next = fq->next ; /*一定不能丟了鏈表頭 */ fq = fq->next ; free(tmp) ; return 0 ; } void EnQueue(int wt,
int& bestw, int i, int n) //該函數(shù)負(fù)責(zé)加入
活結(jié)點(diǎn) { // 如果不是葉結(jié)點(diǎn)，則將結(jié)點(diǎn)權(quán)值 wt 加
入隊(duì)列 Q
if (i == n) { // 葉子 if (wt>bestw) bestw = wt; } else
Add(wt); // 不是葉子
} int MaxLoading(int w[], int c, int n)
{ // 返回最優(yōu)裝載值
// 為層次 1 初始化 int err ; //返回值
int i = 1; // 當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的層 int Ew = 0; // 當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的權(quán)值
bestw = 0; // 目前的最優(yōu)值
Q = (Queue*)malloc(sizeof(Queue)) ;
Q->next = NULL ; Q->weight = -1 ;
err = Add(-1) ; //標(biāo)記本層的尾部
if(err) { return 0 ;
}
while (true) {
// 檢查左孩子結(jié)點(diǎn)
if (Ew + w[i] <= c) // x[i] = 1 EnQueue(Ew + w[i], bestw , i, n);
// 右孩子總是可行的
EnQueue(Ew, bestw, i, n); // x[i] = 0
Delete(Ew); // 取下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)
if (Ew == -1)
{ // 到達(dá)層的尾部
if (IsEmpty()) return bestw; if(i
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