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第 十 章 部 分 課 后 習(xí) 題 參 考 答 案 4 ． 判 斷 下 列 集 合 對 所 給 的 二 元 運(yùn) 算 是 否 封 閉 ： （ 1 ） 整 數(shù) 集 合 Z和 普 通 的 減 法 運(yùn) 算 。 封 閉 ,不 滿 足 交 換 律 和 結(jié) 合 律 ， 無 零 元 和 單 位 元 （ 2 ） 非 零 整 數(shù) 集 合 普 通 的 除 法 運(yùn) 算 。 不 封 閉 （ 3 ） 全 體 實(shí) 矩 陣 集 合 （ R） 和 矩 陣 加 法 及 乘 法 運(yùn) 算 ， 其 中 n 2 。 封 閉 均 滿 足 交 換 律 ， 結(jié) 合 律 ， 乘 法 對 加 法 滿 足 分 配 律 ； 加 法 單 位 元 是 零 矩 陣 ， 無 零 元 ； 乘 法 單 位 元 是 單 位 矩 陣 ， 零 元 是 零 矩 陣 ； （ 4 ） 全 體 實(shí) 可 逆 矩 陣 集 合 關(guān) 于 矩 陣 加 法 及 乘 法 運(yùn) 算 ， 其 中 n 2 。 不 封 閉 （ 5 ） 正 實(shí) 數(shù) 集 合 和 運(yùn) 算 ， 其 中 運(yùn) 算 定 義 為 ： 不 封 閉 因 為 （ 6 ） 關(guān) 于 普 通 的 加 法 和 乘 法 運(yùn) 算 。 封 閉 ， 均 滿 足 交 換 律 ， 結(jié) 合 律 ， 乘 法 對 加 法 滿 足 分 配 律 加 法 單 位 元 是 0 ， 無 零 元 ； 乘 法 無 單 位 元 （ ） ， 零 元 是 0 ； 單 位 元 是 1 （ 7 ） A = { n 運(yùn) 算 定 義 如 下 ： 封 閉 不 滿 足 交 換 律 ， 滿 足 結(jié) 合 律 ， （ 8 ） S = 關(guān) 于 普 通 的 加 法 和 乘 法 運(yùn) 算 。 封 閉 均 滿 足 交 換 律 ， 結(jié) 合 律 ， 乘 法 對 加 法 滿 足 分 配 律 （ 9 ） S = {0 ,1 },S是 關(guān) 于 普 通 的 加 法 和 乘 法 運(yùn) 算 。 加 法 不 封 閉 ， 乘 法 封 閉 ； 乘 法 滿 足 交 換 律 ， 結(jié) 合 律 （ 1 0 ） S = ,S關(guān) 于 普 通 的 加 法 和 乘 法 運(yùn) 算 。 加 法 不 封 閉 ， 乘 法 封 閉 ， 乘 法 滿 足 交 換 律 ， 結(jié) 合 律 5 ． 對 于 上 題 中 封 閉 的 二 元 運(yùn) 算 判 斷 是 否 適 合 交 換 律 ， 結(jié) 合 律 ， 分 配 律 。 見 上 題 7 ． 設(shè) * 為 上 的 二 元 運(yùn) 算 ， X * Y = min ( x， y ),即 x和 y之 中 較 小 的 數(shù) . (1) 求 4 * 6， 7 * 3。 4 , 3 (2)* 在 上 是 否 適 合 交 換 律 ， 結(jié) 合 律 ， 和 冪 等 律 ？ 滿 足 交 換 律 ， 結(jié) 合 律 ， 和 冪 等 律 (3)求 *運(yùn) 算 的 單 位 元 ， 零 元 及 中 所 有 可 逆 元 素 的 逆 元 。 單 位 元 無 ， 零 元 1 , 所 有 元 素 無 逆 元 8． 為 有 理 數(shù) 集 ， *為 S上 的 二 元 運(yùn) 算 ， , S有 * = （ 1） *運(yùn) 算 在 S上 是 否 可 交 換 ， 可 結(jié) 合 ？ 是 否 為 冪 等 的 ？ 不 可 交 換 ： * = * 可 結(jié) 合 ： (* )* =* = * (* )=* = (* )* =* (* ) 不 是 冪 等 的 （ 2） *運(yùn) 算 是 否 有 單 位 元 ， 零 元 ？ 如 果 有 請 指 出 ， 并 求 S中 所 有 可 逆 元 素 的 逆 元 。 設(shè) 是 單 位 元 ， S ， * = * = 則 ==， 解 的 =， 即 為 單 位 。 設(shè) 是 零 元 ， S ， * = * = 則 ==， 無 解 。 即 無 零 元 。 S， 設(shè) 是 它 的 逆 元 * = * = == a =1 /x ,b=-y /x 所 以 當(dāng) x 0 時(shí) ， 10． 令 S={a， b}， S上 有 四 個(gè) 運(yùn) 算 ： *， 分 別 有 表 10.8確 定 。 (a) (b ) (c) (d ) (1)這 4個(gè) 運(yùn) 算 中 哪 些 運(yùn) 算 滿 足 交 換 律 ， 結(jié) 合 律 ， 冪 等 律 ？ (a ) 交 換 律 ， 結(jié) 合 律 ， 冪 等 律 都 滿 足 ， 零 元 為 a ,沒 有 單 位 元 ； (b)滿 足 交 換 律 和 結(jié) 合 律 ， 不 滿 足 冪 等 律 ， 單 位 元 為 a ,沒 有 零 元 (c)滿 足 交 換 律 ,不 滿 足 冪 等 律 ,不 滿 足 結(jié) 合 律 沒 有 單 位 元 , 沒 有 零 元 (d) 不 滿 足 交 換 律 ， 滿 足 結(jié) 合 律 和 冪 等 律 沒 有 單 位 元 , 沒 有 零 元 (2) 求 每 個(gè) 運(yùn) 算 的 單 位 元 ， 零 元 以 及 每 一 個(gè) 可 逆 元 素 的 逆 元 。 見 上 16． 設(shè) V=〈 N， + ， 〉 ， 其 中 + ， 分 別 代 表 普 通 加 法 與 乘 法 ， 對 下 面 給 定 的 每 個(gè) 集 合 確 定 它 是 否 構(gòu) 成 V的 子 代 數(shù) ， 為 什 么 ？ （ 1） S1= 是 （ 2） S2= 不 是 加 法 不 封 閉 （ 3） S3 = {-1， 0， 1} 不 是 ， 加 法 不 封 閉 第 十 一 章 部 分 課 后 習(xí) 題 參 考 答 案 8.設(shè) S={0， 1， 2， 3}， 為 模 4乘 法 ， 即 "x,y∈ S, x y=(xy)mod 4 問 〈 S， 〉 是 否 構(gòu) 成 群 ？ 為 什 么 ？ 解 ： (1) x,y∈ S, x y=(xy)mod 4, 是 S上 的 代 數(shù) 運(yùn) 算 。 (2) x,y,z∈ S,設(shè) xy=4k+r (x y) z =((xy)mod 4) z=r z=(rz)mod 4 =(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 同 理 x (y z) =(xyz)mod 4 所 以 ， (x y) z = x (y z)， 結(jié) 合 律 成 立 。 (3) x∈ S, (x 1)=(1 x)=x,， 所 以 1是 單 位 元 。 (4) 0和 2沒 有 逆 元 所 以 ， 〈 S， 〉 不 構(gòu) 成 群 9.設(shè) Z為 整 數(shù) 集 合 ， 在 Z上 定 義 二 元 運(yùn) 算 。 如 下 ： " x,y∈ Z,xoy= x+y-2 問 Z關(guān) 于 o運(yùn) 算 能 否 構(gòu) 成 群 ？ 為 什 么 ？ 解 ： (1) x,y∈ Z, xoy= x+y-2,o是 Z上 的 代 數(shù) 運(yùn) 算 。 (2) x,y,z∈ Z, (xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同 理 (xoy)oz= xo(yoz)， 結(jié) 合 律 成 立 。 (3)設(shè) 是 單 位 元 ， x∈ Z, xo= ox=x,即 x+-2= +x-2=x, e=2 (4) x∈ Z , 設(shè) x的 逆 元 是 y, xoy= yox=, 即 x+y-2=y+x-2=2, 所 以 ， 所 以 〈 Z， o〉 構(gòu) 成 群 11.設(shè) G=， 證 明 G關(guān) 于 矩 陣 乘 法 構(gòu) 成 一 個(gè) 群 ． 解 ： (1) x,y∈ G, 易 知 xy∈ G,乘 法 是 Z上 的 代 數(shù) 運(yùn) 算 。 (2) 矩 陣 乘 法 滿 足 結(jié) 合 律 (3)設(shè) 是 單 位 元 ， (4)每 個(gè) 矩 陣 的 逆 元 都 是 自 己 。 所 以 G關(guān) 于 矩 陣 乘 法 構(gòu) 成 一 個(gè) 群 ． 14.設(shè) G為 群 ， 且 存 在 a∈ G,使 得 G={ak∣ k∈ Z} 證 明 ： G是 交 換 群 。 證 明 :x,y∈ G， 設(shè) ， 則 所 以 ， G是 交 換 群 17.設(shè) G為 群 ， 證 明 e為 G中 唯 一 的 冪 等 元 。 證 明 :設(shè) 也 是 冪 等 元 ， 則 ， 即 ， 由 消 去 律 知 18.設(shè) G為 群 ， a,b,c∈ G,證 明 ∣ abc∣ =∣ bca∣ =∣ cab∣ 證 明 ： 先 證 設(shè) 設(shè) 則 ， 即 左 邊 同 乘 ， 右 邊 同 乘 得 反 過 來 ， 設(shè) 則 由 元 素 階 的 定 義 知 ， ∣ abc∣ =∣ bca∣ ， 同 理 ∣ bca∣ =∣ cab∣ 19.證 明 ： 偶 數(shù) 階 群 G必 含 2階 元 。 證 明 ： 設(shè) 群 G不 含 2階 元 ， ， 當(dāng) 時(shí) ， 是 一 階 元 ， 當(dāng) 時(shí) ， 至 少 是 3階 元 ,因 為 群 G時(shí) 有 限 階 的 ， 所 以 是 有 限 階 的 ， 設(shè) 是 k階 的 ,則 也 是 k階 的 ， 所 以 高 于 3階 的 元 成 對 出 現(xiàn) 的 ， G不 含 2階 元 ， G含 唯 一 的 1階 元 ,這 與 群 G是 偶 數(shù) 階 的 矛 盾 。 所 以 ， 偶 數(shù) 階 群 G必 含 2階 元 20.設(shè) G為 非 Abel群 ， 證 明 G中 存 在 非 單 位 元 a和 b,a≠ b,且 ab=ba. 證 明 ： 先 證 明 G含 至 少 含 3階 元 。 若 G只 含 1階 元 ,則 G={e},G為 Abel群 矛 盾 ； 若 G除 了 1階 元 e外 ,其 余 元 均 為 2階 元 ， 則 ， ， 與 G為 Abel群 矛 盾 ； 所 以 ， G含 至 少 含 一 個(gè) 3階 元 ， 設(shè) 為 ， 則 ， 且 。 令 的 證 。 21.設(shè) G是 Mn(R)上 的 加 法 群 ， n≥ 2， 判 斷 下 述 子 集 是 否 構(gòu) 成 子 群 。 （ 1） 全 體 對 稱 矩 陣 是 子 群 （ 2） 全 體 對 角 矩 陣 是 子 群 （ 3） 全 體 行 列 式 大 于 等 于 0的 矩 陣 . 不 是 子 群 （ 4） 全 體 上 （ 下 ） 三 角 矩 陣 。 是 子 群 22.設(shè) G為 群 ， a是 G中 給 定 元 素 ， a的 正 規(guī) 化 子 N（ a） 表 示 G中 與 a可 交 換 的 元 素 構(gòu) 成 的 集 合 ， 即 N（ a） ={x∣ x∈ G∧ xa=ax} 證 明 N（ a） 構(gòu) 成 G的 子 群 。 證 明 ： ea=ae, ,所 以 由 ， 得 ， 即 ， 所 以 所 以 N（ a） 構(gòu) 成 G的 子 群 31.設(shè) 1是 群 G1到 G2的 同 態(tài) ， 2是 G2到 G3的 同 態(tài) ， 證 明 12是 G1到 G3的 同 態(tài) 。 證 明 ： 有 已 知 1是 G1到 G2的 函 數(shù) ， 2是 G2到 G3的 函 數(shù) ， 則 1 2是 G1到 G3的 函 數(shù) 。 所 以 :1 2是 G1到 G3的 同 態(tài) 。 33.證 明 循 環(huán) 群 一 定 是 阿 貝 爾 群 ， 說 明 阿 貝 爾 群 是 否 一 定 為 循 環(huán) 群 ， 并 證 明 你 的 結(jié) 論 。 證 明 ： 設(shè) G是 循 環(huán) 群 ,令 G=,,令 ,那 么 ,G是 阿 貝 爾 群 克 萊 因 四 元 群 , 是 交 換 群 ,但 不 是 循 環(huán) 群 ,因 為 e是 一 階 元 ， a,b ,c是 二 階 元 。 36.設(shè) 是 5元 置 換 ， 且 ， (1)計(jì) 算 ； (2)將 表 示 成 不 交 的 輪 換 之 積 。 (3)將 （ 2） 中 的 置 換 表 示 成 對 換 之 積 ， 并 說 明 哪 些 為 奇 置 換 ， 哪 些 為 偶 置 換 。 解 ： (1) (2) (3) 奇 置 換 ， 偶 置 換 奇 置 換