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3．3從模擬濾波器低通原型到各種數(shù)字濾波器的頻率變換（原型變換）,對(duì)于模擬濾波器,已經(jīng)形成了許多成熟的設(shè)計(jì)方案，如巴特沃茲濾波器,切比雪夫?yàn)V波器,考爾濾波器,每種濾波器都有自己的一套準(zhǔn)確的計(jì)算公式，同時(shí)，也已制備了大量歸一化的設(shè)計(jì)表格和曲線，為濾波器的設(shè)計(jì)和計(jì)算提供了許多方便，因此在模擬濾波器的設(shè)計(jì)中，只要掌握原型變換，就可以通過歸一化低通原型的參數(shù)，去設(shè)計(jì)各種實(shí)際的低通、高通、帶通或帶阻濾波器。這一套成熟、有效的設(shè)計(jì)方法，也可通過前面所討論的各種變換應(yīng)用于數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，具體過程如下：原型變換映射變換原型變換也可把前兩步合并成一步，直接從模擬低通歸一化原型通過一定的頻率變換關(guān)系，完成各類數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),模擬原型,模擬低通、高通帶通、帶阻,數(shù)字低通、高通帶通、帶阻,,,,,,,下面舉例討論應(yīng)用模擬濾波器低通原型，設(shè)計(jì)各種數(shù)字濾波器的基本原理，著重討論雙線性變換法。一．低通變換通過模擬原型設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的四個(gè)步驟：1）確定數(shù)字濾波器的性能要求，確定各臨界頻率{ωk}。2）由變換關(guān)系將{ωk}映射到模擬域，得出模擬濾波器的臨界頻率值{Ωk}。3）根據(jù){Ωk}設(shè)計(jì)模擬濾波器的Ha(s)4）把Ha(s)變換成H(z)（數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)）,例1,設(shè)采樣周期,設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃茲LP濾波器,其3dB截止頻率fc=1khz。分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法求解。解：a.脈沖響應(yīng)不變法由于脈沖響不變法的頻率關(guān)系是線性的，所以可直接按Ωc=2πfc設(shè)計(jì)Ha(s)。根據(jù)上節(jié)的討論，以截止頻率Ωc歸一化的三階巴特沃茲濾波器的傳遞函數(shù)為：以代替其歸一化頻率，得：,也可以查表得到。由手冊(cè)中查出巴特沃茲多項(xiàng)式的系數(shù)，之后以代替歸一化頻率，即得。將代入，就完成了模擬濾波器的設(shè)計(jì)，但為簡化運(yùn)算，減小誤差積累，fc數(shù)值放到數(shù)字濾波變換后代入。,為進(jìn)行脈沖響應(yīng)不變法變換，計(jì)算Ha(S)分母多項(xiàng)式的根，將上式寫成部分分式結(jié)構(gòu)：對(duì)照前面學(xué)過的脈沖響應(yīng)不變法中的部分分式形式有將上式部分系數(shù)代入數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)：,--極點(diǎn),,,,,,并將代入，得：合并上式后兩項(xiàng)，并將代入，計(jì)算得：,可見，H（Z）與采樣周期T有關(guān)，T越小，H（Z）的相對(duì)增益越大，這是不希望的。為此，實(shí)際應(yīng)用脈沖響應(yīng)不變法時(shí)稍作一點(diǎn)修改，即求出H（Z）后，再乘以因子T,使H（Z）只與有關(guān)，即只與fc和fs的相對(duì)值有關(guān)，而與采樣頻率fs無直接關(guān)系。最后得：例如，與的數(shù)字濾波器具有相同的傳遞函數(shù),這一結(jié)論適合于所有的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)。,b.雙線性變換法P85例4（一）首先確定數(shù)字域臨界頻率（二）根據(jù)頻率的非線性關(guān)系，確定預(yù)畸的模擬濾波器臨界頻率(三)以代入歸一化的三階巴特沃模擬器傳遞函數(shù)并將代入上式。（四）將雙線性變換關(guān)系代入，求H(Z)。,圖1三階Butterworth數(shù)字濾波器的頻響,脈沖響應(yīng)不變法,雙線性變換法,fs/2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0,,,200,,,400,,,600,,,800,,,1000,,,1200,,,1400,,,1600,,,1800,,,2000,,,0,,,0.1,,,0.2,,,0.3,,,0.4,,,0.5,,,0.6,,,0.7,,,0.8,,,0.9,,,1,,,,,,,頻率/Hz,圖3.14三階巴特沃茲濾波器的頻率響應(yīng),幅值,圖1為兩種設(shè)計(jì)方法所得到的頻響，對(duì)于雙線性變換法，由于頻率的非線性變換，使截止區(qū)的衰減越來越快，最后在折疊頻率處形成一個(gè)三階傳輸零點(diǎn),這個(gè)三階零點(diǎn)正是模擬濾波器在處的三階傳輸零點(diǎn)通過映射形成的。因此,雙線性變換法使過渡帶變窄,對(duì)頻率的選擇性改善,而脈沖響應(yīng)不變法存在混淆,且沒有傳輸零點(diǎn)。,二.高通變換設(shè)計(jì)高通、帶通、帶阻等數(shù)字濾波器時(shí)，有兩種方法：①先設(shè)計(jì)一個(gè)相應(yīng)的高通、帶通或帶阻模擬濾波器，然后通過脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。模擬原型模擬高通、帶通、帶阻數(shù)字高通、帶通、帶阻設(shè)計(jì)方法同上面討論的低通濾波器的設(shè)計(jì)。即確定轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的高通、帶通、帶阻模擬濾波器的設(shè)計(jì)Ha(s)H(Z)②直接利用模擬濾波器的低通原型，通過一定的頻率變換關(guān)系，一步完成各種數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。頻率變換模擬原型數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻,,,,,,,,這里只討論第二種方法。因其簡捷便利，所以得到普遍采用。變換方法的選用：脈沖響應(yīng)不變法：對(duì)于高通、帶阻等都不能直接采用，或只能在加了保護(hù)濾波器后才可使用。因此，使用直接頻率變換（第二種方法），對(duì)脈沖響應(yīng)不變法要有許多特殊的考慮，它一般應(yīng)用于第一種方法中。雙線性變換法：下面的討論均用此方法，實(shí)際使用中多數(shù)情況也是如此?；陔p線性變換法的高通濾波器設(shè)計(jì)：在模擬濾波器的高通設(shè)計(jì)中，低通至高通的變換就是S變量的倒置，這一關(guān)系同樣可應(yīng)用于雙線性變換，只要將變換式中的S代之以1/S，就可得到數(shù)字高通濾波器.即,,,由于倒數(shù)關(guān)系不改變模擬濾波器的穩(wěn)定性，因此，也不會(huì)影響雙線變換后的穩(wěn)定條件，而且軸仍映射在單位圓上，只是方向顛倒了。即,如圖,映射到即映射到即圖1高通變換頻率關(guān)系這一曲線的形狀與雙線性變換時(shí)的頻率非線性關(guān)系曲線相對(duì)應(yīng)，只是將坐標(biāo)倒置，因而通過這一變換后可直接將模擬低通變?yōu)閿?shù)字高通,如圖2。,,,,,,,1.0,1.0,0,,,,圖2高通原型變換,應(yīng)當(dāng)明確：所謂高通DF，并不是ω高到，由于數(shù)字頻域存在折疊頻率，對(duì)于實(shí)數(shù)響應(yīng)的數(shù)字濾波器，部分只是的鏡象部分，因此有效的數(shù)字域僅是，高通也僅指這一段的高端，即到為止的部分。高通變換的計(jì)算步驟和低通變換一樣。但在確定模擬原型預(yù)畸的臨界頻率時(shí)，應(yīng)采用,不必加負(fù)號(hào)，因臨界頻率只有大小的意義而無正負(fù)的意義。,例,：采樣設(shè)計(jì)一個(gè)三階切比雪夫高通DF，其通過頻率（但不必考慮以上的頻率分量），通帶內(nèi)損耗不大于1dB。解：首先確定數(shù)字域截止頻率,則切比雪夫低通原型的模函數(shù)為：為N階切比雪夫多項(xiàng)式,,,,,,,,,,,通帶損耗時(shí)，N=3時(shí),系統(tǒng)函數(shù)為（可由MATLAB計(jì)算獲得）：,為方便，將和S用T/2歸一化，則,于是,,,,圖3三階切比雪夫高通頻響,例5（書上）設(shè)計(jì)一數(shù)字高通濾波器，它的通帶為400～500Hz，通帶內(nèi)容許有0.5dB的波動(dòng)，阻帶內(nèi)衰減在小于317Hz的頻帶內(nèi)至少為19dB，采樣頻率為1,000Hz。確定最小階數(shù)N。模擬切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)中階數(shù)的確定公式為求得最小的N：,wc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000));wt=2*1000*tan(2*pi*317/(2*1000));[N,wn]=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,s);[B,A]=cheby1(N,0.5,wn,high,s);[num,den]=bilinear(B,A,1000);[h,w]=freqz(num,den);f=w/pi*500;plot(f,20*log10(abs(h)));axis([0,500,-80,10]);grid;xlabel()ylabel(幅度/dB),三．帶通變換如圖1,如果數(shù)字頻域上帶通的中心頻率為，則帶通變換的目的是將:（頻率映射關(guān)系具有周期性,幅頻響應(yīng)具有原點(diǎn)對(duì)稱性）。即將S的原點(diǎn)映射到，而將點(diǎn)映射到，滿足這一要求的雙線性變換為：,,,,模擬低通,圖1帶通原型變換,,當(dāng)時(shí)因此（帶通變換關(guān)系）,,,,圖中點(diǎn)正好映射在上，而映射在，兩端，因此滿足帶通變換的要求。,,,,,帶通變換的頻率關(guān)系,穩(wěn)定性證明：同時(shí)，這一變換也滿足穩(wěn)定性要求，設(shè)由于上式完全是實(shí)數(shù)，所以是映射在S平面軸上。其中分子永遠(yuǎn)非負(fù)的，因此的正負(fù)決定于分母由此證明了，S左半平面映射在單位圓內(nèi)，而右半平面映射在單位圓外，這種變換關(guān)系是穩(wěn)定的變換關(guān)系，可用它來完成帶通的變換，如圖1。,設(shè)計(jì)：設(shè)計(jì)帶通時(shí)，一般只給出上、下邊帶的截止頻率作為設(shè)計(jì)要求。為了應(yīng)用以上變換，首先要將上下邊帶參數(shù)換算成中心頻率及模擬低通截止頻率。為此將代入變換關(guān)系式：由于在模擬低通中是一對(duì)鏡象頻率，代入上面兩等式，求出,例,又同時(shí)也就是模擬低通的截止頻率，有了這兩個(gè)參數(shù)就可完成全部計(jì)算。：采樣fs=400kHz，設(shè)計(jì)一巴特沃茲帶通濾波器，其3dB邊界頻率分別為f2=90kHz,f1=110kHz,在阻帶f3=120kHz處最小衰減大于10dB。解：確定數(shù)字頻域的上下邊帶的角頻率求中心頻率：,,,,,求模擬低通的通帶截止頻率與阻帶邊界頻率：從頻率增加了約1.05倍，衰減增加了（10-3）dB，故選用二階巴特沃茲濾波器可滿足指標(biāo)（查表）歸一化的系統(tǒng)函數(shù)：代入，代入變換公式,,,,,,,,,,,,,例6帶通濾波器設(shè)計(jì),四．帶阻變換把帶通的頻率關(guān)系倒置就得到帶阻變換。,給定,例7w1=95/500;w2=105/500;[B,A]=butter(1,[w1,w2],stop);[h,w]=freqz(B,A);f=w/pi*500;plot(f,20*log10(abs(h)));axis([50,150,-30,10]);grid;xlabel(頻率/Hz)ylabel(幅度/dB),3.4從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波器的頻率變換（Z平面變換法）,上一節(jié)討論了由模擬網(wǎng)絡(luò)的低通原型來設(shè)計(jì)各種DF的方法，這種原型變換的設(shè)計(jì)方法同樣也可直接在數(shù)字域上進(jìn)行。DF低通原型函數(shù)這種變換是由所在的Z平面到H（z）所在的Z平面的一個(gè)映射變換。為便于區(qū)分變換前后兩個(gè)不同的Z平面，我們把變換前的Z平面定義為u平面，并將這一映射關(guān)系用一個(gè)函數(shù)g表示：①,各種DF的H（z）,于是，DF的原型變換可表為：,,函數(shù)的特性：1)是的有理函數(shù)。2）希望變換以后的傳遞函數(shù)保持穩(wěn)定性不變，因此要求u的單位圓內(nèi)部必須對(duì)應(yīng)于z的單位圓內(nèi)部。3）必須是全通函數(shù)。為使兩個(gè)函數(shù)的頻響滿足一定的變換要求，Z的單位圓應(yīng)映射到u的單位圓上，若以分別表示u平面和Z平面的單位圓，則①式為且必有，其中是的相位函數(shù)，即函數(shù)在單位圓上的幅度必須恒為1，稱為全通函數(shù)。,,,,全通函數(shù)的基本特性：,任何全通函數(shù)都可以表示為：其中為極點(diǎn)，可為實(shí)數(shù)，也可為共軛復(fù)數(shù)，但必須在單位圓以內(nèi)，即，以保證變換的穩(wěn)定性不變，*為取共軛。的所有零點(diǎn)都是其極點(diǎn)的共軛倒數(shù)N：全通函數(shù)的階數(shù)。變化時(shí)，相位函數(shù)的變化量為。不同的N和對(duì)應(yīng)各類不同的變換。,下面具體討論幾種原型變換：①低通——低通（LP）LP→LP的變換中，和都是低通函數(shù)，只是截止頻率互不相同（或低通濾波器的帶寬不同），因此當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的，如圖1(a)，根據(jù)全通函數(shù)相位變化量為的性質(zhì)，可確定全通函數(shù)的階數(shù)N=1，且必須滿足以下兩條件：g(1)=1,g(-1)=-1滿足以上要求的映射函數(shù)應(yīng)為：其中是實(shí)數(shù)，且,,圖1(a)LP-LP變換（有對(duì)稱性）,,代入（1）式，可得到上述變換所反映的頻率變換關(guān)系：由此得上式把，。頻率特性:呈線性關(guān)系，其余為非線性。當(dāng)時(shí)，，帶寬變窄，當(dāng)時(shí)，，帶寬變寬，適當(dāng)選擇，可使變換為，如上圖所示。:低通原型截止頻率，:變換后截止頻率,,,,,,,,,,,,LP-LP頻率變換,圖LP-LP頻率變換特性,,,,,確定：把變換關(guān)系帶入（2）式，有：得（2）式的頻率關(guān)系，如前圖,,,②LP-HPa.基本思想：上述LP變換中的Z代以–Z,則LP=>HP。,b.高通變換,或,LP-HP變換把,如圖2（a），,在上述LP-LP變換中，將Z代以–Z,得LP-HP變換關(guān)系：,原型低通的截止頻率對(duì)應(yīng)于高通的邊界頻率，欲將變換到，由（2）式，有：,LP-Hp變換,圖2(a)LPHp變換,,,,,③LP-BPLP-BP變換把帶通的中心頻率故N=2。由以上分析得變換關(guān)系：或,,如圖3(a),,全通函數(shù)取負(fù)號(hào)。,LP-BP變換,圖3(a)LP-BP變換,,,,,,,把變換關(guān)系代入（2）式得：消去r1，得：令,確定r1,r2：,可證明，其中r1,r2代入（2）式，則可確定頻率變換關(guān)系，如圖3（b）。,LP-BP頻率關(guān)系,LP——BS如圖4(a),LP——BS變換把帶阻的中心頻率的變化范圍為,故N=2又g(1)=1,所以，全通函數(shù)取正號(hào)。由以上分析得變換關(guān)系：（1）或（2）,,,,LP-BS變換,,圖4(a)LP-BS變換,,,,,,確定r1,r2：把變換關(guān)系代入（2）式得：其中，r1,r2代入（2）式，得圖4（b）,此頻率變換關(guān)系與前面的分析相吻合。,LP-BS頻率變換關(guān)系,LP-BS變換的又一種實(shí)現(xiàn)方法:由低通到帶阻的變換同樣可以通過旋轉(zhuǎn)變換來完成,但變換的次序與模擬低通到數(shù)字帶阻的次序不同,是先由低通到高通(低阻),再利用3.4.3的方式由低阻到帶阻,即其中的求取可利用低通到高通公式,可利用低通到帶通公式求,最后可求得,如書中表格內(nèi)表達(dá)式。,低通,