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基本平面圖形
【知識(shí)點(diǎn)一:線(xiàn)段、射線(xiàn)、直線(xiàn)】
※1. 正確理解直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段的概念以及它們的區(qū)別:
名稱(chēng)
圖形
表示方法
端點(diǎn)
長(zhǎng)度
直線(xiàn)
直線(xiàn)AB(或BA)
直線(xiàn)l
無(wú)端點(diǎn)
不可度量長(zhǎng)度
射線(xiàn)
射線(xiàn)OM
1個(gè)
不可度量長(zhǎng)度
線(xiàn)段
線(xiàn)段AB(或BA)
線(xiàn)段l
2個(gè)
可度量長(zhǎng)度
直線(xiàn)的性質(zhì):
l 過(guò)一點(diǎn)的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條.
l 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn),其中“有”表示“存在性”,“只有”表示“惟一性”.
l 兩條不同的直線(xiàn)至多有一個(gè)公共點(diǎn).
【知識(shí)點(diǎn)二:比較線(xiàn)段的長(zhǎng)短】
1、線(xiàn)段公理:兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短;兩點(diǎn)之間線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫做這兩點(diǎn)之間的距離.
2、比較線(xiàn)段長(zhǎng)短的兩種方法:①圓規(guī)截取比較法;②刻度尺度量比較法.
3、用刻度尺可以畫(huà)出線(xiàn)段的中點(diǎn),線(xiàn)段的和、差、倍、分;用圓規(guī)可以畫(huà)出線(xiàn)段的和、差、倍.
線(xiàn)段的中點(diǎn):
把一條線(xiàn)段分成兩條相等的線(xiàn)段的點(diǎn),叫做線(xiàn)段的中點(diǎn).
利用線(xiàn)段的中點(diǎn)定義,可以得到下面的結(jié)論:
(1)因?yàn)锳M=BM=AB,所以M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn).
(2)因?yàn)镸是線(xiàn)段AB的中點(diǎn),所以AM=BM=AB或AB=2AM=2BM.
補(bǔ)充結(jié)論:
l 平面內(nèi)n條直線(xiàn),最多可有個(gè)交點(diǎn);
l 過(guò)平面上n個(gè)點(diǎn)中的任意兩個(gè)點(diǎn),最多可畫(huà)條直線(xiàn);
l 直線(xiàn)上有n個(gè)點(diǎn),則一共有條線(xiàn)段;
l n個(gè)班進(jìn)行單循環(huán)比賽,共比賽場(chǎng);
l n個(gè)人相互握手的總次數(shù)為次;
【典型例題】
1、用一個(gè)釘子把一根細(xì)木條釘在墻上,木條就可能繞著釘子_____________________,原因是__________________________;當(dāng)用兩個(gè)釘子把木條釘在墻上時(shí),木條就被固定住,其依據(jù)是
.
2、如圖,點(diǎn)A、B、C、D在直線(xiàn)l上
(1)AC=_______-CD;AB + _______ + CD=AD;
(2)圖中共有________條線(xiàn)段,共有_______條射線(xiàn),以點(diǎn)C為端點(diǎn)的射線(xiàn)是________.
3、下列說(shuō)法正確的是( )
A. 兩點(diǎn)之間的連線(xiàn)中,直線(xiàn)最短 B. 若P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn),則AP=BP
C. 若AP=BP,則P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn) D. 兩點(diǎn)之間的線(xiàn)段叫做者兩點(diǎn)之間的距離
4、把兩條線(xiàn)段AB和CD放在同一條直線(xiàn)上比較長(zhǎng)短時(shí),下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A. 如果線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)均落在線(xiàn)段CD的內(nèi)部,那么AB
CD
D. 如果B、D重合,A、C位于點(diǎn)B的同側(cè),且A落在線(xiàn)段CD的外部,則AB>CD
5、同一平面內(nèi)互不重合的三條直線(xiàn)的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )
A、可能是0個(gè),1個(gè),2個(gè) B、可能是0個(gè),2個(gè),3個(gè)
C、可能是0個(gè),1個(gè),2個(gè)或3個(gè) D、可能是1個(gè)可3個(gè)
6、如圖,C是AB的中點(diǎn),D是BC的中點(diǎn),下面等式不正確的是( )
A.CD=AC-DB B.CD=AD-BC C.CD=AB-BD D.CD=AB
7.如圖,從A地到B地有多條道路,一般地,人們會(huì)走中間的直路,而不會(huì)走其他的曲折的路,這是因?yàn)椋? )
A.兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短 B.兩直線(xiàn)相交只有一個(gè)交點(diǎn)
C.兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn) D.垂線(xiàn)段最短
8、平面上有任意三點(diǎn),經(jīng)過(guò)其中兩點(diǎn)畫(huà)一條直線(xiàn),可以畫(huà)( )直線(xiàn)
A、1條 B、2條 C、3條 D、1條或者3條
9.某市召集20名特級(jí)老師參加教研教改研討會(huì),與會(huì)的特級(jí)老師每?jī)扇酥g都握手一次,那么他們之間一共握手________次.
10、如圖所示,B、C兩點(diǎn)把線(xiàn)段AD分成2:4:3三部份,M是AD的中點(diǎn),CD=9,求線(xiàn)段MC的長(zhǎng).
A B M C D
【分析】題中給出了線(xiàn)段的長(zhǎng)度比,那么設(shè)每一份為K是常見(jiàn)的解法.
【解】∵AB:BC:CD=2:4:3 ∴設(shè)AB=2K,BC=4K,CD=3K
∴AD=3K+2K+4K=9K ∵CD=9 ∴3K=9 ∴K=3
∴AB=6 BC=12 AD=27
∵M(jìn)為AD中點(diǎn), ∴MD=AD=×27=13.5 ∴MC=MD-CD=13.5-9=4.5
【變式練習(xí)】
1、點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上,不能判斷點(diǎn)C是線(xiàn)段AB中點(diǎn)的式子是( )
A、AB=2AC B、AC+BC=AB C、BC= D、AC=BC
2、如果線(xiàn)段AB=5cm,線(xiàn)段BC=4cm,那么A,C兩點(diǎn)之間的距離是( )
A. 9cm B.1cm C.1cm或9cm D. 以上答案都不對(duì)
3. 已知線(xiàn)段AB=6cm,C是AB的中點(diǎn),D是AC的中點(diǎn),則DB等于( )
A、1.5cm B、4.5 cm C、3 cm. D、3.5 cm
4. 如圖,BC=4 cm,BD=7 cm,D是AC的中點(diǎn),則AC= cm, AB= cm.
5、如右圖,點(diǎn)C分AB為2∶3,點(diǎn)D分AB為1∶4,若AB為5 cm,則AC=_____cm,BD=_____cm,CD=______cm.
6、若線(xiàn)段AB=a,C是線(xiàn)段AB上任一點(diǎn),M、N分別是AC、BC的中點(diǎn),則MN=_______+_______ =_______AC+_______BC=_______.
7、已知線(xiàn)段AB,在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)C,使BC=2AB,再在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)D,使DA=AC,則線(xiàn)段DC=______AB,BC=_____CD.
8、已知線(xiàn)段AB=10cm,點(diǎn)C是AB的中點(diǎn),點(diǎn)D是AC中點(diǎn),則線(xiàn)段CD=________ cm.
9、如果線(xiàn)段AB=5cm,BC=3cm,那么A、C兩點(diǎn)間的距離是( )
A.8 cm B、2 cm C.4 cm D.不能確定
10、面上有五條直線(xiàn),則這五條直線(xiàn)最多有_____個(gè)交點(diǎn),最少有_____個(gè)交點(diǎn).
11、如圖,M是線(xiàn)段AC的中點(diǎn),N是線(xiàn)段BC的中點(diǎn).
(1)如果AC=8cm,BC=6cm,求MN的長(zhǎng);
(2)如果AM=5cm,CN=2cm,求線(xiàn)段AB的長(zhǎng).
【提高練習(xí)】
1、直線(xiàn)l上有兩點(diǎn)A、B,直線(xiàn)l外有兩點(diǎn)C、D,過(guò)其中兩點(diǎn)畫(huà)直線(xiàn),共可以畫(huà)( )
A、4條直線(xiàn) B、6條直線(xiàn) C、4條或6條直線(xiàn) D、無(wú)數(shù)條直線(xiàn)
2、在直線(xiàn)L上依次取三點(diǎn)M,N,P, 已知MN=5,NP=3, Q是線(xiàn)段MP的中點(diǎn),則線(xiàn)段QN的長(zhǎng)度是( )
A. 1 B. 1.5 C. 2.5 D. 4
3、已知點(diǎn)C是線(xiàn)段AB上的一點(diǎn),M,N分別是線(xiàn)段AC,BC的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是( )
A. MC=AB B. NC=AB C. MN=AB D. AM=AB
終邊
始邊
4、已知線(xiàn)段AB=20cm,C為 AB中點(diǎn),D為CB 上一點(diǎn),E為DB的中點(diǎn),且EB=3cm,則CD= ________cm.
【知識(shí)點(diǎn)三:角的度量與表示】
角:有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)組成的圖形叫做角;這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn);這兩條射線(xiàn)叫做角的邊. 角也可以看成是由一條射線(xiàn)繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的.如右上圖所示.
角的表示法:角的符號(hào)為“∠”
①用三個(gè)字母表示,如圖1所示∠AOB;②用一個(gè)字母表示,如圖2所示∠b;
圖1
A
O
B
圖2
b
圖3
1
圖4
β
③用一個(gè)數(shù)字表示,如圖3所示∠1;④用希臘字母表示,如圖4所示∠β
平角
圖5
周角
圖6
一條射線(xiàn)繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn),當(dāng)終邊和始邊成一條直線(xiàn)時(shí),所成的角叫做平角.如圖5所示:
終邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn),當(dāng)它又和始邊重合時(shí),所成的角叫做周角.如圖6所示:
0°<銳角< 90°,直角= 90°,90°<鈍角< 180°,平角=180°,周角=360°.
【知識(shí)點(diǎn)四:角的比較】
l 從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線(xiàn),把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角,這條射線(xiàn)叫做這個(gè)角的平分線(xiàn).
l 若BD是∠ABC的平分線(xiàn),則有:∠ABD=∠CBD=∠ABC;∠ABC=2∠ABD=2∠CBD.
角的度量有如下規(guī)定:把一個(gè)平角180等分,每一份就是1度的角,單位是度,用“°”表示,1度記作“1°”,n度記作“n°”.
把1°的角60等分,每一份叫做1分的角,1分記作“1′”.
把1′的角60等分,每一份叫做1秒的角,1秒記作“1″”.
1°=60′,1′=60″.
補(bǔ)充結(jié)論:
u 有公共端點(diǎn)的n條射線(xiàn)共可組成個(gè)角;
u 時(shí)鐘的時(shí)針與分針的夾角公式:設(shè)為a點(diǎn)b分,|30oa-5.5ob|.
注意:我們所求的角指不超過(guò)180°的角,當(dāng)所求的度數(shù)大于180度時(shí),就用360度減去這個(gè)度數(shù).
【典型例題】
1、如右圖,∠AOD=∠AOC+_______=∠DOB+_______.
2、45°=______直角=_______平角.
3、若∠1和∠2為銳角,則∠1+∠2滿(mǎn)足( )
A、0°<∠1+∠2<90° B、0°<∠1+∠2<180° C、∠1+∠2<90° D、90°<∠1+∠2<180°
4.甲同學(xué)看乙同學(xué)的方向?yàn)楸逼珫|60°,則乙同學(xué)看甲同學(xué)的方向?yàn)椋? )
A.南偏東30° B.南偏西60° C.東偏南60° D.南偏西30°
5、如右圖,∠AOB=90°,以O(shè)為頂點(diǎn)的銳角共有( )個(gè)
A、6 B、5 C、4 D、3
6、時(shí)鐘在3點(diǎn)半時(shí),它的時(shí)針和分針?biāo)傻匿J角是( )
A.70° B.75° C.85° D.90°
7、計(jì)算:(1)23°30′=________°; (2)78.36°= ______°____′________″.
8、計(jì)算:_____度_____分______秒 ______度______分______秒 =______度
9.如圖,OM是∠AOB的平分線(xiàn),射線(xiàn)OC在∠BOM內(nèi)部,ON是∠BOC的平分線(xiàn),已知∠AOC=90°,求∠MON的度數(shù).
【變式練習(xí)】
1、下列說(shuō)法中正確的是( )
A、角是由兩條射線(xiàn)組成的圖形 B、一條射線(xiàn)就是一個(gè)周角
C、兩條直線(xiàn)相交,只有一個(gè)交點(diǎn) D、如果線(xiàn)段AB=BC,那么B叫做線(xiàn)段AB的中點(diǎn)
2、下列說(shuō)法中正確的是( )
A、8時(shí)45分,時(shí)針與分針的夾角是30° B、6時(shí)30分,時(shí)針與分針重合
C、3時(shí)30分,時(shí)針與分針的夾角是75° D、3時(shí)整,時(shí)針與分針的夾角是30°
3.如圖,四條表示方向的射線(xiàn)中,表示北偏東60°的是( )
4、計(jì)算:(1)19°23′×4 (2)56°÷6
5、如圖,∠AOC和∠BOD都是直角,且∠AOB=150°,求∠COD的度數(shù).
6、如圖所示,OA丄OB,OC丄OD,OE為∠BOD的平分線(xiàn),∠BOE=17°18′,求∠AOC的度數(shù).
【提高練習(xí)】
1.已知α、β是兩個(gè)鈍角,計(jì)算(α+β)的值,甲、乙、丙、丁四種不同的答案分別是24°,48°,76°,86°,其中只有一個(gè)答案是正確的,則正確的答案是( )
A.86° B.76° C.48° D.24°
2、計(jì)算:48°39′+67°41′=_____________; 90°-78°19′40″=_______________
21°17′×5=___________; 176°52′÷3=_____________(精確到分)
3、8點(diǎn)30分時(shí),時(shí)鐘的時(shí)針與分針?biāo)鶌A的銳角是( )
A、70° B、75° C、80° D、60°
4、一個(gè)人從A點(diǎn)出發(fā)向北偏東60°的方向走到B點(diǎn),再?gòu)腂點(diǎn)出發(fā)向南偏西15°方向走到C點(diǎn),那么∠ABC的度數(shù)是( )
A、75° B、105° C、45° D、135°
5、如圖1-4-5所示,AC為一條直線(xiàn),O是AC上一點(diǎn),∠AOB=120° ,OE、OF分別平分∠AOB和∠BOC.
(1)求∠EOF的大小;
(2)當(dāng)OB繞O旋轉(zhuǎn)時(shí),OE、OF仍為∠AOB和∠BOC平分線(xiàn),問(wèn):OF、OF有怎樣的位置關(guān)系?為什么?
北
O
圖4-11
6、如圖4-11,一只螞蟻從O點(diǎn)出發(fā),沿北偏東45°的方向爬行2.5cm,碰到障礙物(記做B)后,折向北偏西60°的方向爬行3cm(此時(shí)的位置記作C).
(1)畫(huà)出螞蟻爬行路線(xiàn);
(2)求出∠OBC的度數(shù).
【知識(shí)點(diǎn)五:多邊形和圓的初步認(rèn)識(shí)】
探究一:多邊形的有關(guān)概念
如圖:在多邊形ABCDEF中,點(diǎn)A,B,C,D,E,F(xiàn)是多邊形的頂點(diǎn);線(xiàn)段AB,BC,CD,DE,EF,F(xiàn)A是多邊形的邊;ABC,BCD,CDE,DEF,EFA,F(xiàn)AB是多邊形的內(nèi)角(可簡(jiǎn)稱(chēng)為多邊形的角);AC,AD,AE都是連接不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的線(xiàn)段,像這樣的線(xiàn)段叫做多邊形的對(duì)角線(xiàn).
問(wèn)題1:過(guò)n邊形的每個(gè)頂點(diǎn)有幾條對(duì)角線(xiàn)? n邊形共有幾條對(duì)角線(xiàn)? 填寫(xiě)下面的表格.
像上圖各邊相等,各角相等的多邊形叫做__________________.
探究二:圓的有關(guān)概念:
平面上,一條線(xiàn)段繞著它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周,另一個(gè)端點(diǎn)形成的圖形叫做 .
固定的端點(diǎn)O稱(chēng)為圓心,OA稱(chēng)為半徑,任意兩點(diǎn)A、B間的部分叫做圓弧,簡(jiǎn)稱(chēng)弧. 弧AB和半徑OA、OB所組成的圖形叫做 .
【基礎(chǔ)練習(xí)】
一、判斷
1. 各邊都相等的多邊形是正多邊形. ( )
2. 各角都相等的多邊形不一定是正多邊形. ( )
3. n邊形的邊數(shù)n的最小值是3. ( )
二、填空:
1. 若一個(gè)多邊形共有7條邊,則這個(gè)多邊形的對(duì)角線(xiàn)總條數(shù)為_(kāi)_____.
2. 一個(gè)多邊形自一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出所有對(duì)角線(xiàn),把它分成6個(gè)三角形,那么它是______邊形.
3. 一個(gè)多邊形有14條對(duì)角線(xiàn),則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是______.
三、將一個(gè)圓分割成三個(gè)扇形,它們的圓心角度數(shù)比為1:2:3,求這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù).
四、(1)將一個(gè)圓分成三個(gè)大小相同的扇形,你能算出它們的圓心角的度數(shù)嗎? 你知道每個(gè)扇形的面積和整個(gè)圓的面積的關(guān)系嗎?
(2)畫(huà)一個(gè)半徑是2cm的圓,并在其中畫(huà)一個(gè)圓心角為的扇形,你會(huì)計(jì)算這個(gè)扇形的面積嗎? 與同伴進(jìn)行交流.
(3)如右圖,在兩個(gè)同心圓中,兩圓半徑分別為2,1,∠AOB=120°,求陰影部分的面積.
【鞏固練習(xí)】
一、選擇題
1、用各種不同的方法把圖形分割成三角形,至少可以分割成5個(gè)三角形的多邊形是( )
A、五邊形 B、六邊形 C、七邊形 D、八邊形
2、如右圖,圖中共有正方形( )
A、12個(gè) B、13個(gè) C、15個(gè) D、18個(gè)
3、如右圖,圖中三角形的個(gè)數(shù)為( )
A.2 B.18 C.19 D. 20
4.如右圖,已知一個(gè)圓,任意畫(huà)出它的三條半徑,能得到( )個(gè)扇形.
A、4 B、5 C、6 D、8
二、判斷題
5.扇形是圓的一部分. ( ?。?
6.圓的一部分是扇形. ( ?。?
7.扇形的周長(zhǎng)等于它的弧長(zhǎng). ( )
三、填空題
8、如圖4,用簡(jiǎn)單的平面圖形畫(huà)出三位攜手同行的的小人物,請(qǐng)你仔細(xì)觀察,圖中共有三角形____個(gè),圓_____個(gè).
圖4 圖5
9. 如圖5,你能數(shù)出_______個(gè)三角形,_______個(gè)四邊形
10. 平面內(nèi)三條直線(xiàn)把平面分割成最少 ____ 塊最多 ____ 塊.
11.(1)從一個(gè)五邊形的同一頂點(diǎn)出發(fā),分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn),可以把這個(gè)五邊形分成_______個(gè)三角形. 若是一個(gè)六邊形,可以分割成_______個(gè)三角形. n邊形可以分割成______個(gè)三角形.
(2)若將n邊形內(nèi)部任意取一點(diǎn)P,將P與各頂點(diǎn)連接起來(lái),則可將多邊形分割成多少個(gè)三角形?
(3)若點(diǎn)P取載多邊形的一條邊上(不是頂點(diǎn)),在將P與n邊形各頂點(diǎn)連接起來(lái),則可將多邊形分割成多少個(gè)三角形?
12、如果從一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),分別連接這個(gè)定點(diǎn)與其余各頂點(diǎn),可將這個(gè)多邊形分割成2003個(gè)三角形,那么此多邊形的邊數(shù)為多少?
13、已知扇形AOB的圓心角為240o ,其面積為8cm2 .求 扇形AOB所在的圓的面積.
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