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第六章,方差分析,1,主要內(nèi)容,6.1 方差分析簡介 6.2 單因素方差分析 6.3 多因素方差分析 6.4 協(xié)方差分析 6.5 多元方差分析,,2,6.1 方差分析簡介,(1) 方差分析的概念 事件的發(fā)生往往與多個因素有關(guān)，但各個因素對事件發(fā)生的中的用作用是不一樣的，而且同一因素的不同水平對事件發(fā)生的影響也是不同的。如農(nóng)業(yè)研究中土壤、肥料、日照時(shí)間等因素對某種農(nóng)作物產(chǎn)量的影響，不同飼料對牲畜體重增長的效果等，都可以使用該著分析方法來解決。 (2) 方差分析的基本原理 方差分析的基本原理是認(rèn)為不同處理組的均值間的差別基本來源有兩個： 隨機(jī)誤差，如測量誤差造成的差異或個體間的差異，稱為組內(nèi)差異 實(shí)驗(yàn)條件，即不同的處理造成的差異，稱為組間差異。,3,6.1 方差分析簡介,(3) 方差分析常用術(shù)語 觀測變量：也叫因變量，如上例中的作物產(chǎn)量； 控制變量：影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的自變量，也稱因子，如上例中的品種、施肥量等； 水平：控制變量的不同類別，如A品種，B品種；10公斤化肥、20公斤化肥、30公斤化肥等； 隨機(jī)因素：因素的水平與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的關(guān)系是隨機(jī)的，即不確定因素。 (4) 方差分析的兩個基本假設(shè) 觀測變量各總體應(yīng)服從正態(tài)分布 ； 觀測變量總體的方差應(yīng)相等，即方差具有齊性：,4,6.1 方差分析簡介,(5) 方差分析的一般步驟 第1步 方差分析條件檢測。 服從正態(tài)分布和方差齊性、控制變量的類別（即水平數(shù)量）有限 第2步 提出原假設(shè)。 第3步 構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量。 第4步 統(tǒng)計(jì)決策。,5,主要內(nèi)容,6.1 方差分析簡介 6.2 單因素方差分析 6.3 多因素方差分析 6.4 協(xié)方差分析 6.5 多元方差分析,,6,6.2 單因素方差分析,6.2.1 基本概念及統(tǒng)計(jì)原理 (1) 基本概念 單因互方差分析（One-way ANOVA）也稱一維方差分析，它檢驗(yàn)由單一因素影響的一個（或幾個相互獨(dú)立的）因變量，由因素各水平分組的均值之間的差異，是否具有統(tǒng)計(jì)意義，或者說它們是否來源來同一總體。 (2) 統(tǒng)計(jì)原理 單因素方差分析采用的統(tǒng)計(jì)推斷方法是計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量，進(jìn)行F檢驗(yàn)?？偟淖儺惼椒胶陀洖镾ST，分解為兩部分：一部分是由控制變量引起的離差，記為SSA（組間Between Groups離差平方和）；另一部分是由隨機(jī)變量引起的離差，記為SSE（組內(nèi)Within Groups離差平方和）。于是有： SST=SSA+SSE 其中：,SSA=,SSE=,7,6.2 單因素方差分析,F統(tǒng)計(jì)量是平均組間平方和與平均組內(nèi)平方和的比值，計(jì)算公式為： 從F值的計(jì)算公式可以看出，如果控制變量的不同水平對觀測變量有顯著影響，那么觀測變量的組間離差平方和就必然大，F(xiàn)值也就較大；反之，如果控制變量的不同水平?jīng)]有對觀測變量造成顯著影響，那么組內(nèi)離差平方和的影響就會比較小，F(xiàn)值就比較小。,8,6.2 單因素方差分析,(3) 分析步聚 第1步 提出零假設(shè)：H0為控制變量不同水平下觀測變量各總體均值無顯著差異，即： 第2步 選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：方差分析采用的是F統(tǒng)計(jì)量，服從（k-1，n-k）個自由度的F分布。 第3步 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測值和概率p值：如果控制變量對觀測變量造成了顯著影響，觀測變量總的變差中控制變量影響所造成的比例相對于隨機(jī)變量就會較大，F(xiàn)值顯著大于1；反之，F(xiàn)值接近于1。 第4步 給出顯著性水平α，作出決策：如果相伴概率p值小于顯著性水平 ，則拒絕零假設(shè)；反之，認(rèn)為控制變量不同水平下各總體均值沒有顯著差異。,9,6.2 單因素方差分析,6.2.2 SPSS實(shí)例分析 【例6.1】用四種飼料喂豬，共19頭分為四組，每一組用一種飼料。一段時(shí)間后稱重，豬體重增加數(shù)據(jù)如下表所示，比較四種飼料對豬體重增加的作用有無不同。,10,6.2 單因素方差分析,第1步 分析：由于考慮的是一個控制變量（飼料）對一個觀測變量（豬體重）的影響，而且是4種飼料，所以不適宜用獨(dú)立樣本T檢驗(yàn)（僅適用兩組數(shù)據(jù)），應(yīng)采用單因素方差分析。 第2步 數(shù)據(jù)的組織：數(shù)據(jù)分成兩列，一列是豬的體重，變量名為“weight”，另一變量是飼料品種（變量值分別為1,2,3,4），變量名為“fodder”，輸入數(shù)據(jù)并保存。 第3步 方差相等的齊性檢驗(yàn)：由于方差分析的前提是各個水平下（這里是不同的飼料folder影響下的體重weight）的總體服從方差相等的正態(tài)分布，且各組方差具有齊性。其中正態(tài)分布的要求并不是很嚴(yán)格，但對于方差相等的要求是比較嚴(yán)格的，因此必須對方差相等的前提進(jìn)行檢驗(yàn)。,11,6.2 單因素方差分析,不同飼料的方差齊性檢驗(yàn)結(jié)果,方差齊性檢驗(yàn)的H0假設(shè)是：方差相等。從上表可看出相伴根據(jù)Sig.=0.995 （0.05）說明應(yīng)該接受H0假設(shè)（即方差具有齊性）。故下面就用方差相等的檢驗(yàn)方法。,12,6.2 單因素方差分析,幾種飼料的方差檢驗(yàn)（ANOVA）結(jié)果,上表是幾種飼料方差分析的結(jié)果，組間（Between Groups）平方和（Sum of Squares）為20538.698，自由度（df）為3，均方為6846.233；組內(nèi)（Within Groups）平方和為652.159，自由度為15，均方為43.477；F統(tǒng)計(jì)量為157.467。由于組間比較的相伴概率Sig.（p值）=0.0000.05，故應(yīng)拒絕H0假設(shè)（四種飼料喂豬效果無顯著差異），說明四種飼料對養(yǎng)豬的效果有顯著性差異。,13,6.2 單因素方差分析,第4步 多重比較分析：通過上面的步驟，只能判斷4種飼料喂豬效果是否有顯著差異。如果想進(jìn)一步了解究竟是哪種飼料與其他組有顯著性的均值差別（即哪種飼料更好）等細(xì)節(jié)問題，就需要在多個樣本均值間進(jìn)行兩兩比較。由于第3步檢驗(yàn)出來方差具有齊性，故選擇一種方差相等的方法，這里選LSD方法；顯著性水平默認(rèn)取0.05；,14,6.2 單因素方差分析,第5步 運(yùn)行主要結(jié)果及分析：,從整個表反映出來四種飼料相互之間均存在顯著性差異，從效果來看是第4種最好，其次是第3種，第1種最差。,15,6.2 單因素方差分析,均值折線圖,上圖為幾種飼料均值的折線圖，可以看出均值分布比較陡峭，均值差異也較大。,16,主要內(nèi)容,6.1 方差分析簡介 6.2 單因素方差分析 6.3 多因素方差分析 6.4 協(xié)方差分析 6.5 多元方差分析,,17,6.3 多因素方差分析,6.3.1 基本概念及統(tǒng)計(jì)原理 基本概念 多因素方差分析用來研究兩個及兩個以上的控制變量是否對觀測變量產(chǎn)生顯著影響。多因素方差分析不僅能夠分析多個控制因素對觀測變量的影響，也能夠分析多個控制因素的交互作用對觀測變量產(chǎn)生影響，進(jìn)而最終找到利于觀測變量的最優(yōu)組合。 多因素方差分析不僅需要分析多個控制變量獨(dú)立作用對觀測變量的影響，還要分析多個控制變量的交互作用對觀測變量的影響，及其他隨機(jī)變量對結(jié)果的影響。因此，需要將觀測變量總的離差平方各分解為3個部分： 多個控制變量單獨(dú)作用引起的離差平方和； 多個控制變量交互作用引起的離差平方和； 其他隨機(jī)因素引起的離差平方和。,18,6.3 多因素方差分析,(2) 統(tǒng)計(jì)原理 以兩個控制變量為例，多因素方差分析將觀測變量的總離差平方和分解為：SST=SSA+SSB+SSAB+SSE 設(shè)控制變量A有k個水平，變量B有r個水平 ，則SSA的定義為（SSB的定義類似）：,其中， 為因素A第i個水平和因素B第j個水平下的樣本觀測值個數(shù)， 為因素A第i個水平下觀測變量的均值。,其中， 是因素A、B在水平i、j下的觀測變量均值。,19,6.3 多因素方差分析,在固定效應(yīng)模型中，各F統(tǒng)計(jì)量為：,在隨機(jī)效應(yīng)模型中， 統(tǒng)計(jì)量不變，其他兩個F統(tǒng)計(jì)量分別為：,20,6.3 多因素方差分析,(3) 分析步驟 第1步 提出零假設(shè)：多因素方差分析的零假設(shè)H0是：各控制變量不同水平下觀測變量各總體均值無顯著差異，控制變量各效應(yīng)和交互作用效應(yīng)同時(shí)為0，即控制變量和它們的交互作用對觀測變量沒有產(chǎn)生顯著性影響。 第2步 構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：多因素方差分析采用的是F統(tǒng)計(jì)量，根據(jù)效應(yīng)模型選擇。 第3步 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測值和概率p值：SPSS會自動將相關(guān)數(shù)據(jù)代入各式，計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測值的概率p值（也稱相伴概率值Sig.）。 第4步 給出顯著性水平 ，作出決策。,21,6.3 多因素方差分析,6.3.2 SPSS實(shí)例分析 【例6.2】研究一個班三組不同性別的同學(xué)（分別接受了三種不同的教學(xué)方法）在數(shù)學(xué)成績上是否有顯著差異，數(shù)據(jù)如下表。,22,6.3 多因素方差分析,第1步 分析：需要研究不同教學(xué)方法和不同性別對數(shù)學(xué)成績的影響。這是一個多因素(雙因素)方差分析問題。 第2步 數(shù)據(jù)組織：如上表的變量名組織成4列數(shù)據(jù)。 第3步 變量設(shè)置：按“分析|一般線性模型| 單變量”的步驟打開單變量對話框。并將“數(shù)學(xué)”變量移入因變量框中，將“組別”和“性別”移入固定因子中，如下圖：,23,6.3 多因素方差分析,第4步 設(shè)置方差齊性檢驗(yàn)：由于方差分析要求不同組別數(shù)據(jù)方差相等，故應(yīng)進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)，單擊“選項(xiàng)”按鈕，選中“方差齊性檢驗(yàn)”，顯著性水平 設(shè)為默認(rèn)值0.05。 第5步 設(shè)置控制變量的多重比較分析：單擊“兩兩比較”按鈕，如下圖，在其中選出需要進(jìn)行比較分析的控制變量，這里選“組別”，再選擇一種方差相等時(shí)的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，如LSD。,24,6.3 多因素方差分析,第6步 選擇建立多因素方差分析的模型種類：打開“模型”對話框，本例用默認(rèn)的全因子模型。 第7步 以圖形方式展示交互效果：設(shè)置方式如下圖。,25,6.3 多因素方差分析,第8步 對控制變量各個水平上的觀察變量的差異進(jìn)行對比檢驗(yàn)：選擇“對比”對話框，對兩種因素均進(jìn)行對比分析，用“簡單”方法，并以最后一個水平的觀察變量均值為標(biāo)準(zhǔn)。 第9步 主要結(jié)果及分析,表示了各控制因素的個案數(shù)，即分組描述情況。,是對數(shù)學(xué)進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)的結(jié)果，可以看出方差無顯著差異，應(yīng)用前面的LSD方法的結(jié)果。,26,6.3 多因素方差分析,該表是進(jìn)行多因素方差分析的主要部分，由于指定建立全因子模型，因此總的離差平方和分為3個部分：多個控制變量對觀察量的獨(dú)立作用、交互作用及隨機(jī)變量的影響。,27,6.3 多因素方差分析,這是組別變量的均值比較結(jié)果，可以看第1，2組與第3組比較的均值差異均顯著。,28,6.3 多因素方差分析,性別比較圖，從上圖可看出，不同性別之間的成績也有顯著性差異。,29,6.3 多因素方差分析,不同教學(xué)方法的比較，由于在前面檢驗(yàn)方差具有齊性，從LSD結(jié)果看出其均值第0組第2組第1組。,30,6.3 多因素方差分析,交互作用的影響圖，從上圖可知兩因素的交互作用對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)成績具有顯著性影響。,31,主要內(nèi)容,6.1 方差分析簡介 6.2 單因素方差分析 6.3 多因素方差分析 6.4 協(xié)方差分析 6.5 多元方差分析,,32,6.4 協(xié)方差分析,6.4.1 基本概念及統(tǒng)計(jì)原理 基本概念 協(xié)方差分析是將那些很難控制的因素作為協(xié)變量，在排除協(xié)變量影響的條件下，分析控制變量對觀察變量的影響，從而更加準(zhǔn)確地對控制因素進(jìn)行評價(jià)。 例如，研究某種藥物對病癥的治療效果，如果僅僅分析藥物本身的作用，而不考慮不同患者自身不同的體質(zhì)，那么很可能得不到結(jié)論或得到的結(jié)論不正確。因此，在分析時(shí)應(yīng)盡量排除這些因素的影響。 協(xié)方差將那些很難控制的隨機(jī)變量作為協(xié)變量，在分析中將其排除，然后再分析控制變量對觀察量的影響，從而實(shí)現(xiàn)對控制變量效果的準(zhǔn)確評價(jià)。,33,6.4 協(xié)方差分析,統(tǒng)計(jì)原理 以單因素協(xié)方差分析為例，總的離差平方和表示為：,協(xié)方差仍采用F檢驗(yàn)，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式為：,34,6.4 協(xié)方差分析,分析步驟 第1步 提出零假設(shè)：協(xié)方差分析的零假設(shè)H0是：控制變量和協(xié)變量對觀測變量均無顯著性影響。 第2步 選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：協(xié)方差分析采用的是F統(tǒng)計(jì)量 ，其計(jì)算公式同前。 第3步 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測值和概率p值。 第4步 給出顯著性水平 ，作出決策。,35,6.4 協(xié)方差分析,6.4.2 SPSS實(shí)例分析 【例6-3】已知一個班三組同學(xué)的入學(xué)成績和分別接受了三種不同的教學(xué)方法后的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦卤硭?，試研究這三組同學(xué)在接受了不同的教學(xué)方法后在數(shù)學(xué)成績上是否有顯著性差異。,36,6.4 協(xié)方差分析,第1步 分析：入學(xué)成績肯定會對最后成績有所影響，這里著重分析不同教學(xué)方法的影響，應(yīng)將入學(xué)成績（數(shù)學(xué)基礎(chǔ)）的影響去除，考慮用協(xié)方差分析。 第2步 數(shù)據(jù)組織：將姓名、數(shù)學(xué)、入學(xué)成績和組別分別定義為：“name：”、“math”、“entrance”和“group”。 第3步 檢驗(yàn)協(xié)方差分析的前提條件：該前提條件是各組方差是否一致和協(xié)變量“entrance”與控制變量“group”是否具有交互作用。,左表是方差的齊性檢驗(yàn)結(jié)果，由于其相伴概率值Sig.=0.1310.05，因此認(rèn)為各組的方差具有齊性。,37,6.4 協(xié)方差分析,上表是檢驗(yàn)控制變量與協(xié)變量是否具有交互作用，從其中可看出group與entrance的交互作用項(xiàng)Sig.=0.7840.05，因此認(rèn)為它們之間沒有交互作用。,38,6.4 協(xié)方差分析,從以上分析可知，例6-3是滿足協(xié)方差分析中關(guān)于方差齊性和協(xié)變量與控制變量之間沒有交互作用這兩個基本條件的，因此可用協(xié)方差分析來處理。 第4步 執(zhí)行協(xié)方差分析：其設(shè)置與單變量分析相似。 第5步 主要結(jié)果及分析。,39,主要內(nèi)容,6.1 方差分析簡介 6.2 單因素方差分析 6.3 多因素方差分析 6.4 協(xié)方差分析 6.5 多元方差分析,,40,6.5 多元方差分析,6.5.1 基本概念及統(tǒng)計(jì)原理 基本概念 多元方差分析是研究多個控制因素（自變量）與多個因變量相互關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法，又稱為多變量分析。多元分析實(shí)質(zhì)上是單變量統(tǒng)計(jì)方法的發(fā)展和推廣，適用于研究控制因素同時(shí)對兩個或兩個以上的因變量產(chǎn)生影響的情況，用來分析控制因素取不同水平時(shí)這些因變量的均值是否存在顯著性差異。,41,6.5 多元方差分析,6.5.1 基本概念及統(tǒng)計(jì)原理 （2）統(tǒng)計(jì)原理 多元方差分析的基本原理同一元方差分析相似，是將總變異按照其來源（或?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)）分為多個部分，從而檢驗(yàn)各個因素對因變量的影響以及各因素間的交互作用。在這個過程中可以分析每個因素的作用，也可以分析因素之間的交互作用、協(xié)方差，以及各控制因素與協(xié)變量之間的交互作用。 多元方差分析的優(yōu)點(diǎn)是可以在一次研究中同時(shí)檢驗(yàn)具有多個水平的多個因素各自對因變量的影響以及各因素間的交互作用。 在方差分析中，要求樣本必須滿足獨(dú)立、正態(tài)、等方差的總體，而對于多元方差分析而言，由于涉及多個因變量，除要求每個因變量滿足以上條件外，還必須滿足以下條件。 ① 各因變量間具有相關(guān)性； ② 每一組都有相同的方差—協(xié)方差矩陣； ③ 各因變量為多元正態(tài)分布。,42,6.5 多元方差分析,6.5.2 多元方差分析SPSS實(shí)例分析 【例6-4】 某科研所研究某樹種在不同海拔、不同施肥量情況下的苗高增加量和地徑增加量的差別，將海拔設(shè)為3個水平，并將施肥量也設(shè)為3個水平，將兩個因素組合成9個組合，每個組合重復(fù)3次。試分析海拔和施肥量對苗高增加量和地徑增加量的影響，并分析海拔與施肥量是否存在交互作用。,43,6.5 多元方差分析,6.5.2 多元方差分析SPSS實(shí)例分析,44,6.5 多元方差分析,6.5.2 多元方差分析SPSS實(shí)例分析,第1步 分析。 這是一個兩個控制因素對兩個因變量影響的分析，是一個多元方差分析問題。 第2步 數(shù)據(jù)組織。 按表6.17的變量名組織成4列數(shù)據(jù)。 第3步 分析過程設(shè)置。 選擇菜單“分析→一般線性模型→多變量”。將“苗高增加量”和“地徑增加量”移入因變量框，將“海拔”和“施肥量”移入固定因子框。打開“事后比較（H）…”對話框，將“海拔”和“施肥量”移入到“下列各項(xiàng)的事后檢驗(yàn)”列表框，并勾選“假定等方差”選項(xiàng)組中的“LSD”復(fù)選框。打開“選項(xiàng)（O）…”對話框，在“顯示”選項(xiàng)組中，勾選“齊性檢驗(yàn)”復(fù)選框。完成設(shè)置并運(yùn)行。 第4步 主要結(jié)果及分析。,45,6.5 多元方差分析,6.5.2 多元方差分析SPSS實(shí)例分析,（1）因變量的方差齊性檢驗(yàn)結(jié)果 從表可看出，苗高增加量和地徑增加量的顯著性概率P值分別為0.344和0.166，均大于顯著性水平0.05，說明兩者在各組總體方差具有齊性，滿足方差分析的前提條件。,46,6.5 多元方差分析,6.5.2 多元方差分析SPSS實(shí)例分析,（2）多元方差分析結(jié)果,表是多元變量檢驗(yàn)結(jié)果，可看出海拔與施肥量兩個主效應(yīng)的4種檢驗(yàn)顯著性概率均小于0.05，說明海拔與施肥量對苗高增加量和地徑增加量有顯著性影響；而“海拔*施肥量”的4種檢驗(yàn)的顯著性概率均大于0.05，說明兩者對苗高增加量和地徑增加量的影響不存在交互作用,47,6.5 多元方差分析,6.5.2 多元方差分析SPSS實(shí)例分析 （3）主體間效應(yīng)的檢驗(yàn)結(jié)果 從主體間效應(yīng)的檢驗(yàn)結(jié)果可看出，苗高增加量在海拔和施肥量上的顯著性概率分別為0.002和0.000，說明苗高增加量在海拔和施肥量上均存在顯著性差異；地徑增加量在海拔和施肥量上的顯著性概率分別為0.018和0.000，說明地徑增加量在海拔和施肥量上均存在顯著性差異；而苗高增加量與地徑增加量在“海拔*施肥量”上的顯著性概率為0.237和0.058，均大于0.05，說明海拔與施肥量的交互作用在苗高增加量與地徑增加量上均無顯著性差異。這與表6.19的分析情況相吻合。,48,6.5 多元方差分析,6.5.2 多元方差分析SPSS實(shí)例分析 （4）多重比較結(jié)果分析 從海拔的多重比較結(jié)果，可看出苗高增加量在海拔1與2、1與3、2與3上的顯著性概率分別為0.927、0.002和0.002，說明苗高增加量在海拔1與3、2與3上存在顯著性差異，在1與2上沒有顯著性差異；同時(shí)，可看出地徑增加量在海拔1與3、2與3上存在顯著性差異，而在1與2上沒有顯著性差異。,49,6.5 多元方差分析,6.5.2 多元方差分析SPSS實(shí)例分析 （4）多重比較結(jié)果分析,從施肥量的多重比較結(jié)果，可看出苗高增加量在施肥量1與2、1與3和2與3上均存在顯著性差異；地徑增加量在施肥量1與2、1與3上存在顯著性差異，而在2與3上沒有顯著性差異。,50,,The End,51,