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7.3.2組合數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用,,一、組合的定義二、組合數(shù)公式,復(fù)習(xí),,,abcabdacdbcd,dcba,,從4個不同元素中每次取出3個的一個組合，和剩下的（4-3）個元素的組合是一一對應(yīng)的。,推廣:從n個不同元素中取出m個元素的每一個組合，與剩下的n-m個元素的每一個組合一一對應(yīng)，所以從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，等于從這n個元素中取出n-m個元素的組合數(shù)，即,組合數(shù)的兩個性質(zhì),,,3、性質(zhì)1的應(yīng)用(1)當(dāng)m>時，利用這個公式，可使的計算簡化,如：,（2）當(dāng)m=n時,有所以規(guī)定,1、一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和1個黑球．⑴從口袋內(nèi)取出3個球，共有多少種取法？⑵從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？⑶從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？,⑵,⑶,,解：（1）,性質(zhì)2,我們可以這樣解釋：從口袋內(nèi)的8個球中所取出的3個球，可以分為兩類：一類含有1個黑球，一類不含有黑球．因此根據(jù)分類計數(shù)原理，上述等式成立．,我們發(fā)現(xiàn)：,為什么呢,,推廣:從這n+1個不同的元素中，取出m個元素的組合數(shù)，這些組合可以分成兩類：一類含，一類不含。含的組合是從這n個不同元素中取出m-1個元素的組合數(shù)為；不含的組合是從這n個不同的元素中取出m個元素的組合數(shù)為，再由加法原理，得,性質(zhì)2,,注:1?公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與原組合數(shù)上標(biāo)較大的相同的一個組合數(shù)．2?此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡化運(yùn)算．在今后學(xué)習(xí)“二項(xiàng)式定理”時，我們會看到它的主要應(yīng)用．,例１計算：,,例2求證:,證明:,⑴計算：,⑵求證：,＝,+,+,⑶解方程：,⑷解方程：,⑸計算：,推廣：,練習(xí):,例3、12件產(chǎn)品中有3件次品，9件正品，從中抽取5件，(1)5件產(chǎn)品中沒有次品的取法有多少種?(2)5件產(chǎn)品中有2件次品的取法有多少種？,例4、從4臺純平彩電和5臺超平彩電中選購3臺，要求至少有純平彩電和超平彩電各1臺，問有多少種不同的選法？,例5、6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的分法：（1）分給甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分為三份，每份2本；（3）分為三份，一份1本，一份2本，一份3本：（4）分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本。,例6、某省的福利彩票中，不考慮次序的7個數(shù)碼組成一注，7個數(shù)碼中沒有重復(fù)，每一個數(shù)碼都選自數(shù)碼1,2，…，36，如果電視直播公開搖獎時只有一個大獎，計算：（1）公開搖獎時最多可以搖出多少不同的注；（2）購買一注時的中獎率。,,作業(yè)P263,4,5,8,例3平面內(nèi)有12個點(diǎn)，任何3點(diǎn)不在同一直線上,以每3點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個三角形,一共可畫多少個三角形?,答:一共可畫220個三角形.,思考交流,,1.從9名學(xué)生中選出3人做值日,有多少種不同的選法?,2.有5本不同的書,某人要從中借2本,有多少種不同的借法?,例4有13個隊(duì)參加籃球賽,比賽時先分成兩組,第一組7個隊(duì),第二組6個隊(duì).各組都進(jìn)行單循環(huán)賽(即每隊(duì)都要與本組其它各隊(duì)比賽一場),然后由各組的前兩名共4個隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽決出冠軍、亞軍,共需要比賽多少場?,例5在產(chǎn)品檢驗(yàn)時,常從產(chǎn)品中抽出一部分進(jìn)行檢查.現(xiàn)在從100件產(chǎn)品中任意抽出3件:(1)一共有多少種不同的抽法?(2)如果100件產(chǎn)品中有2件次品,抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?(3)如果100件產(chǎn)品中有2件次品,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?,