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第2章 隨機變量及其分布,問題一：為什么引入隨機變量? 問題二：隨機事件與隨機變量的區(qū)別是什么？ 問題三：隨機變量的一些例子？,1,概率論是從數(shù)量上來研究隨機現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的，為了更方便有力的研究隨機現(xiàn)象，就要用數(shù)學的方法來研究，因此為了便于數(shù)學上的推導和計算，就需將任意的隨機事件數(shù)量化．當把一些非數(shù)量表示的隨機事件用數(shù)字來表示時，就建立起了隨機變量的概念。 引入隨機變量后我們就由對事件及事件概率的研究轉化為隨機變量及其規(guī)律的研究。,問題一：為什么引入隨機變量？,2,問題二：隨機事件與隨機變量的聯(lián)系與區(qū)別是什么？,隨機試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情為隨機事件，比如，對1、2、3的數(shù)集抽取，A是抽中1，B是抽中2，C是抽中3，那么A、B、C就是隨機事件。隨機變量是定義在樣本空間上的變量，比如我們設抽中的是X，那么X可能是1，也可能是2，或是3。X完整的描述了該樣本空間，即X可能值的全部是樣本空間。 隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點。,3,問題三 隨機變量的一些例子,在隨機試驗中，試驗結果很多本身就由數(shù)量表示 （1）每天進入教室的人數(shù)X （2）某個時間段吃飯排隊的人數(shù)X （3）電燈泡使用的壽命T 而在另一些隨機試驗中，比如檢查一個產(chǎn)品是否合格，此時樣本空間S=｛合格品，不合格品｝，若用1對應合格品，-1對應不合格品，這樣就都有唯一確定的實數(shù)與之對應。,4,1.隨機變量的引入,從上面的例子可以看出隨機試驗的結果都可用一個實數(shù)來表示，這個數(shù)隨著試驗的結果不同而變化，它是樣本點的函數(shù)，這個函數(shù)就是我們要引入的隨機變量。,5,2 隨機變量的定義,隨機變量：設隨機試驗的樣本空間為S，稱定義在樣本空間S上的實值函數(shù)X=X( )為隨機變量。 隨機變量的表示： 常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母 等表示 隨機變量所取的值，一般采用小寫字母x,y,z,6,2 隨機變量的定義,注意： (1)隨機變量與普通的函數(shù)不同 隨機變量是一個函數(shù) , 但它與普通的函數(shù)有著本質的差別 ,普通函數(shù)是定義在實數(shù)軸上的,而隨機變量是定義在樣本空間上的 (樣本空間的元素不一定是實數(shù))。 (2)隨機變量的取值具有一定的概率規(guī)律 隨機變量隨著試驗的結果不同而取不同的值, 由于試驗的各個結果的出現(xiàn)具有一定的概率, 因此隨機變量的取值也有一定的概率規(guī)律.,7,2 隨機變量的定義,講課本例1，例2 練習題: (1)在有兩個孩子的家庭中,考慮其性別 , 共有 4 個樣本點: 若用X表示該家女孩的個數(shù)時，則應該怎么表示？,8,2 隨機變量的定義,(2)設盒中有5個球 (2白3黑), 從中任抽3個,用隨機變量 X(e) 的所有可能取值是什么？ （3）設某射手每次射擊打中目標的概率是0.8,現(xiàn)該射手不斷向目標射擊 , 直到擊中目標為止,用隨機變量 X(e) 的所有可能取值是什么？ （4）某公共汽車站每隔 5 分鐘有一輛汽車通過, 如果某人到達該車站的時刻是隨機的, 用隨機變量 X(e) 的所有可能取值是什么？,9,2.2 離散型隨機變量及其概率分布,1.離散型隨機變量：設X是一個隨機變量，如果它全部可能的取值只有有限個或可數(shù)無窮個，則稱X為一個離散隨機變量。 連續(xù)型隨機變量：假如一個隨機變量X的可能取值充滿數(shù)軸上的一個區(qū)間（a,b）,則稱X為一個連續(xù)型隨機變量。 例（1）投擲一顆骰子點數(shù)X的可能取值只有｛1，2，3，4，5，6｝，則X是什么型的隨機變量？ （2）電燈泡的使用壽命T，可能取值｛T≥0｝,所以T是一個什么型的隨機變量？,10,2.2 離散型隨機變量及其概率分布,2.概率分布 定義1 設離散型隨機變量X的可能取值為 ， 稱為X的概率分布或分布律，也稱概率函數(shù)。 X的概率分布常用表格的形式來表示。 講課本例1 練習題：設離散隨機變量X的分布列為 X -1 2 3 0.25 0.5 0.25 試求P(X≤0.5),P(-1≤X≤2.5),,,,,11,2.2 離散型隨機變量及其概率分布,分布律的說明： 當已知一個離散型隨機變量X的概率分布時， 而且X所成的任何事件的概率都能夠求出來，,12,2.2 離散型隨機變量及其概率分布,3 常用離散分布 兩點分布（0-1分布）：若一個隨機變量X只有兩個可能取值，且其分布為 則稱X服從 處參數(shù)為p的兩點分布。 對于一個隨機試驗E，它只有兩種可能的結果A和 ，即A 要么發(fā)生，要么不發(fā)生，則這種試驗E總可以用（0－1）分布來描述，這種試驗在實際中很普遍．例如，拋擲硬幣試驗, A = “出現(xiàn)正面”， “出現(xiàn)反面”；在射擊試驗中， A=“命中目標”, “未命中目標”;它們都可用（0－1）分布來描述．（0－1）分布是實際中經(jīng)常用到的一種分布．,13,2.2 離散型隨機變量及其概率分布,二項分布：若一個隨機變量X的概率分布由式 給出，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布。記為X~b(n,p)(或B(n,p)). 注：當n=1時， 隨機變量X即服從0-1分布 在實際中，把概率很小（一般要求在0.05以下）的事件稱 為小概率事件．由于小概率事件在一次試驗中發(fā)生的可能性 很小，因此，在一次試驗中，小概率事件實際上是不應該發(fā) 生的. 這條原則我們稱它為實際推斷原理．需要注意的是,實 際推斷原理是指在一次試驗中小概率事件幾乎是不可能發(fā)生 的，當試驗次數(shù)充分大時，小概率事件至少發(fā)生一次卻幾乎 是必然的。 如何證明以上這個結論是正確的呢？,14,2.2 離散型隨機變量及其概率分布,二項分布在經(jīng)濟管理方面的應用： 在實際問題中，很多商品的銷售量都是服從二項分布的。因為每件商品都只有售出和庫存兩種狀態(tài)，而每件商品售出的概率在一段時間內(nèi)是基本固定，因此商品的進貨量即為二項分布中的參數(shù)n，參數(shù)p的值可利用數(shù)理統(tǒng)計方法進行估計，估計公式為p≈ /n。 為所出售的商品的件數(shù)。 在不增加成本的前提下, 追求利潤的最大化是迫切需要解決的問題。其實在有些情況下, 產(chǎn)品可靠性數(shù)據(jù)可按二項分布加以分析, 我們只需作出小小的調整,就能收到良好的效果。,15,2.2 離散型隨機變量及其概率分布,二項分布的圖形特點： （1）當（n+1）p不為整數(shù)時，二項概率 P{X=k}在k=[(n+1)p]時達到最大值 （2）當（n+1）p為整數(shù)時，二項概率 P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1時達到最大值 講課本例3和例4 注意二項分布b(n,p)和兩點分布的關系,16,2.2 離散型隨機變量及其概率分布,在實際中，我們經(jīng)常要計算n次獨立重復的貝努利試驗中恰好k次成功的概率 ，至少有次成功的概率為 等，當n很大時，要計算出它們的確切數(shù)值很不容易,那我們應該怎么做呢?,17,2.2 離散型隨機變量及其概率分布,泊松分布：若一個隨機變量X的概率分布為 則稱X服從參數(shù)為 的泊松分布，記為X~P( ) 泊松流:若隨機事件流具有平穩(wěn)性、無后效性、普通性，則稱該事件流為泊松流。 對泊松流，在任意時間間隔（0，t）內(nèi)，事件發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)為 的泊松分布。 稱為泊松流的強度。,18,2.2 離散型隨機變量及其概率分布,在實際中，許多隨機現(xiàn)象都可用泊松分布來描述．例如,一批產(chǎn)品的廢品數(shù)；一本書中某一頁上印刷錯誤的個數(shù)；某汽車站單位時間內(nèi)前來候車的人數(shù)；某段時間內(nèi)，某種放射性物質中發(fā)射出的α粒子數(shù)等等，均可用泊松分布來描述.泊松分布是概率論中的又一個重要分布，在隨機過程中也有重要應用。,19,2.2 離散型隨機變量及其概率分布,在經(jīng)濟管理決策中，利用泊松分布可以合理安排工作崗位。 例如某車間有90臺相同的機器，每臺機器需要維修的概率均為0.01，在同一時間每人只能維修一臺機器，在崗位設置中，不同的設置的方法使得機器出現(xiàn)故障而等待維修的概率是不同的。如果三個人明確分工，每人負責30臺，此時λ=0.3，機器需要維修的概率為P｛X1｝=0.0369；若三個人共同負責90臺，此時λ=0.9，機器需要維修的概率為P｛X3｝=0.0135；通過概率的對比可知，共同協(xié)作比各自為政的維修效率有所提高。 講課本例5,20,2.2 離散型隨機變量及其概率分布,當試驗次數(shù)n很大時，對二項分布b(n,p)的概率計算起來不方便，此時須尋求某種近似計算方法，其中一種就是二項分布的泊松近似。 定理1（泊松定理）：在n重伯努利試驗中，事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為pn(注意這與試驗的次數(shù)n有關)，如果 時， （ 為常數(shù)），則對任意給定的k,有 b(k,n, pn)= 講課本例6，例7,21,2.3 隨機變量的分布函數(shù),1.隨機變量的分布函數(shù) 定義1 設X是一個隨機變量，稱F(x)=P{X≤x} 為X的分布函數(shù)。有時記作X~F（x） 這個概率具有什么特點呢? ①具有累積性 ②這個概率與x有關，不同的x此累積概率的值也不同。 注：①X是數(shù)軸上隨機點的坐標，則分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間 的概率。,22,2.3 隨機變量的分布函數(shù),②對 ，隨機點落在區(qū)間 的概率 ③隨機變量的分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性。 分布函數(shù)的性質： （1）單調非減。若 ，則 (2) （3）右聯(lián)系性，即 講課本例1,23,2.3 隨機變量的分布函數(shù),2 離散型隨機變量的分布函數(shù) 特點： ①F(x)是一個階梯函數(shù) ②跳躍度恰為隨機變量X在X= 點處的概率 一個隨機變量X的分布函數(shù)為階梯形函數(shù)，則X一定是一個離散型隨機變量，概率分布由F(X)唯一確定。 講課本例2，3,24,