高考數(shù)學(xué)人教A版（理）一輪復(fù)習(xí)：第七篇 第3講 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題
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第3講 二元一次不等式（組）與簡單的線性 規(guī)劃問題 A級 基礎(chǔ)演練 (時間：30分鐘 滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．(2012·山東)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝3x－y的取值范圍是 ( )． A. B. C. D. 解析 作出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示，作直線3x－y＝0，并向上、下平移，由圖可得，當(dāng)直線過點A時，z＝3x－y取最大值；當(dāng)直線過點B時，z＝3x－y取最小值．由解得A(2,0)；由解得B. ∴zmax＝3×2－0＝6，zmin＝3×－3＝－. ∴z＝3x－y的取值范圍是. 答案 A 2．(2011·廣東)已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定．若M(x，y)為D上的動點，點A的坐標(biāo)為(，1)則z＝·的最大值為 ( )． A．4 B．3 C．4 D．3 解析 如圖作出區(qū)域D，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y過點B(，2)時取最大值，故z的最大值為×＋2＝4，故選C. 答案 C 3．(2013·淮安質(zhì)檢)若不等式組 表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是 ( )． A．(－∞，5) B．[7，＋∞) C．[5,7) D．(－∞，5)∪[7，＋∞) 解析 畫出可行域，知當(dāng)直線y＝a在x－y＋5＝0與y軸的交點(0,5)和x－y＋5＝0與x＝2的交點(2,7)之間移動時平面區(qū)域是三角形．故5≤a<7. 答案 C 4．(2013·洛陽一模)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸．銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤1萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元，該企業(yè)在某個生產(chǎn)周期內(nèi)甲產(chǎn)品至少要生產(chǎn)1噸，乙產(chǎn)品至少要生產(chǎn)2噸，消耗A原料不超過13噸，消耗B原料不超過18噸，那么該企業(yè)在這個生產(chǎn)周期內(nèi)獲得最大利潤時甲產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)是 ( )． A．1噸 B．2噸 C．3噸 D.噸 解析 設(shè)該企業(yè)在這個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)x噸甲產(chǎn)品，生產(chǎn)y噸乙產(chǎn)品，x、y滿足的條件為 所獲得的利潤z＝x＋3y，作出如圖所示的可行域． 作直線l0：x＋3y＝0，平移直線l0，顯然，當(dāng)直線經(jīng)過點A時所獲利潤最大，此時甲產(chǎn)品的產(chǎn)量為1噸． 答案 A 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2012·大綱全國)若x，y滿足約束條件則z＝3x－y的最小值為________． 解析 畫出可行域，如圖所示，將直線y＝3x－z移至點A(0,1)處直線在y軸上截距最大，zmin＝3×0－1＝－1. 答案?。? 6．(2012·安徽)若x，y滿足約束條件則x－y的取值范圍是________． 解析 記z＝x－y，則y＝x－z，所以z為直線y＝x－z在y軸上的截距的相反數(shù)，畫出不等式組表示的可行域如圖中△ABC區(qū)域所示．結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線經(jīng)過點B(1,1)時，x－y取得最大值0，當(dāng)直線經(jīng)過點C(0,3)時，x－y取得最小值－3. 答案 [－3,0] 三、解答題(共25分) 7．(12分)(2013·合肥模擬)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，并回答下列問題： (1)指出x、y的取值范圍； (2)平面區(qū)域內(nèi)有多少個整點？ 解 (1)不等式x－y＋5≥0表示直線x－y＋5＝0上及其右下方的點的集合，x＋y≥0表示直線x＋y＝0上及其右上方的點的集合，x≤3表示直線x＝3上及其左方的點的集合． 所以，不等式組 表示的平面區(qū)域如圖所示． 結(jié)合圖中可行域得x∈，y∈[－3,8]． (2)由圖形及不等式組知 當(dāng)x＝3時，－3≤y≤8，有12個整點； 當(dāng)x＝2時，－2≤y≤7，有10個整點； 當(dāng)x＝1時，－1≤y≤6，有8個整點； 當(dāng)x＝0時，0≤y≤5，有6個整點； 當(dāng)x＝－1時，1≤y≤4，有4個整點； 當(dāng)x＝－2時，2≤y≤3，有2個整點； ∴平面區(qū)域內(nèi)的整點共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(個)． 8．(13分)制訂投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損．某投資人打算投資甲、乙兩個項目，根據(jù)預(yù)測，甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%.若投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？ 解 設(shè)投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個項目， 由題意知目標(biāo)函數(shù)z＝x＋0.5y. 上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分(含邊界)即為可行域． 將z＝x＋0.5y變形為y＝－2x＋2z，這是斜率為－2、隨z變化的一組平行線，當(dāng)直線y＝－2x＋2z經(jīng)過可行域內(nèi)的點M時，直線y＝－2x＋2z在y軸上的截距2z最大，z也最大． 這里M點是直線x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交點． 解方程組得x＝4，y＝6， 此時z＝4＋0.5×6＝7(萬元)． ∴當(dāng)x＝4，y＝6時，z取得最大值， 所以投資人用4萬元投資甲項目、6萬元投資乙項目，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大． B級 能力突破(時間：30分鐘 滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．(2013·臨沂一模)實數(shù)x，y滿足若目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y取得最大值4，則實數(shù)a的值為 ( )． A．4 B．3 C．2 D. 解析 作出可行域，由題意可知可行域為△ABC內(nèi)部及邊界，y＝－x＋z，則z的幾何意義為直線在y軸上的截距，將目標(biāo)函數(shù)平移可知當(dāng)直線經(jīng)過點A時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值4，此時A點坐標(biāo)為(a，a)，代入得4＝a＋a＝2a，所以a＝2. 答案 C 2．(2012·四川)某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元．公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過12千克．通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是 ( )． A．1 800元 B．2 400元 C．2 800元 D．3 100元 解析 設(shè)某公司生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y桶，獲利為z元，則x，y滿足的線性約束條件為目標(biāo)函數(shù)z＝300x＋400y. 作出可行域，如圖中四邊形OABC的邊界及其內(nèi)部整點．作直線l0：3x＋4y＝0，平移直線l0經(jīng)可行域內(nèi)點B時，z取最大值，由得B(4,4)，滿足題意，所以zmax＝4×300＋4×400＝2 800. 答案 C 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．(2013·咸陽一模)設(shè)實數(shù)x、y滿足則的最大值是________． 解析 不等式組確定的平面區(qū)域如圖陰影部分． 設(shè)＝t，則y＝tx，求的最大值，即求y＝tx的斜率的最大值．顯然y＝tx過A點時，t最大． 由解得A. 代入y＝tx，得t＝.所以的最大值為. 答案 4．(2011·湖南)設(shè)m>1，在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my的最大值小于2，則m的取值范圍為________． 解析 目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my可變?yōu)閥＝－x＋， ∵m>1，∴－1<－<0，z與同時取到相應(yīng)的最大值，如圖，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點P時，取最大值，∴＋<2，又m>1，得1下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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