年高考真題匯編——理科數(shù)學(xué)(解析版)10:圓錐曲線
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2012高考真題分類匯編:圓錐曲線 一、選擇題 1.【2012高考真題浙江理8】如圖,F(xiàn)1,F2分別是雙曲線C:(a,b>0)的左、右焦點,B是虛軸的端點,直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點,線段PQ的垂直平分線與x軸交與點M,若|MF2|=|F1F2|,則C的離心率是 A. B。 C. D. 【答案】B 【解析】由題意知直線的方程為:,聯(lián)立方程組得點Q,聯(lián)立方程組得點P,所以PQ的中點坐標(biāo)為,所以PQ的垂直平分線方程為:,令,得,所以,所以,即,所以。故選B 2.【2012高考真題新課標(biāo)理8】等軸雙曲線的中心在原點,焦點在軸上,與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點,;則的實軸長為( ) 【答案】C 【解析】設(shè)等軸雙曲線方程為,拋物線的準(zhǔn)線為,由,則,把坐標(biāo)代入雙曲線方程得,所以雙曲線方程為,即,所以,所以實軸長,選C. 3.【2012高考真題新課標(biāo)理4】設(shè)是橢圓的左、右焦點,為直線上一點,是底角為的等腰三角形,則的離心率為( ) 【答案】C 【解析】因為是底角為的等腰三角形,則有,,因為,所以,,所以,即,所以,即,所以橢圓的離心率為,選C. 4.【2012高考真題四川理8】已知拋物線關(guān)于軸對稱,它的頂點在坐標(biāo)原點,并且經(jīng)過點。若點到該拋物線焦點的距離為,則( ) A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】設(shè)拋物線方程為,則點焦點,點到該拋物線焦點的距離為, , 解得,所以. 5.【2012高考真題山東理10】已知橢圓的離心學(xué)率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個交點,以這四個焦點為頂點的四邊形的面積為16,則橢圓的方程為 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】因為橢圓的離心率為,所以,,,所以,即,雙曲線的漸近線為,代入橢圓得,即,所以,,,則第一象限的交點坐標(biāo)為,所以四邊形的面積為,所以,所以橢圓方程為,選D. 6.【2012高考真題湖南理5】已知雙曲線C :-=1的焦距為10 ,點P (2,1)在C 的漸近線上,則C的方程為 A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 【答案】A 【解析】設(shè)雙曲線C :-=1的半焦距為,則. 又C 的漸近線為,點P (2,1)在C 的漸近線上,,即. 又,,C的方程為-=1. 【點評】本題考查雙曲線的方程、雙曲線的漸近線方程等基礎(chǔ)知識,考查了數(shù)形結(jié)合的思想和基本運算能力,是近年來??碱}型. 7.【2012高考真題福建理8】已知雙曲線的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合,則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于 A. B. C.3 D.5 【答案】A. 【解析】由拋物線方程易知其焦點坐標(biāo)為,又根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知,所以,從而可得漸進線方程為,即,所以,故選A. 8.【2012高考真題安徽理9】過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點,點是原點,若,則的面積為( ) 【答案】C 【命題立意】本題考查等直線與拋物線相交問題的運算。 【解析】設(shè)及;則點到準(zhǔn)線的距離為, 得: 又, 的面積為。 9.【2012高考真題全國卷理3】 橢圓的中心在原點,焦距為4 一條準(zhǔn)線為x=-4 ,則該橢圓的方程為 A +=1 B +=1C +=1 D +=1 【答案】C 【解析】橢圓的焦距為4,所以因為準(zhǔn)線為,所以橢圓的焦點在軸上,且,所以,,所以橢圓的方程為,選C. 10.【2012高考真題全國卷理8】已知F1、F2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點,點P在C上,|PF1|=|2PF2|,則cos∠F1PF2= (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】雙曲線的方程為,所以,因為|PF1|=|2PF2|,所以點P在雙曲線的右支上,則有|PF1|-|PF2|=2a=,所以解得|PF2|=,|PF1|=,所以根據(jù)余弦定理得,選C. 11.【2012高考真題北京理12】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l過拋物線=4x的焦點F.且與該撇物線相交于A、B兩點.其中點A在x軸上方。若直線l的傾斜角為60o.則△OAF的面積為 【答案】 【解析】由可求得焦點坐標(biāo)F(1,0),因為傾斜角為,所以直線的斜率為,利用點斜式,直線方程為,將直線和曲線聯(lián)立,因此. 二、填空題 12.【2012高考真題湖北理14】如圖,雙曲線的兩頂點為,,虛軸兩端點為,,兩焦點為,. 若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形,切點分別為. 則 (Ⅰ)雙曲線的離心率 ; (Ⅱ)菱形的面積與矩形的面積的比值 . 【答案】 【解析】(Ⅰ)由于以為直徑的圓內(nèi)切于菱形,因此點到直線的距離為,又由于虛軸兩端點為,,因此的長為,那么在中,由三角形的面積公式知,,又由雙曲線中存在關(guān)系聯(lián)立可得出,根據(jù)解出 (Ⅱ)設(shè),很顯然知道,因此.在中求得故; 菱形的面積,再根據(jù)第一問中求得的值可以解出. 13.【2012高考真題四川理15】橢圓的左焦點為,直線與橢圓相交于點、,當(dāng)?shù)闹荛L最大時,的面積是____________。 【答案】3 【命題立意】本題主要考查橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、,考查推理論證能力、基本運算能力,以及數(shù)形結(jié)合思想,難度適中. 【解析】當(dāng)直線過右焦點時的周長最大,; 將帶入解得;所以. 14.【2012高考真題陜西理13】右圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在時,拱頂離水面2米,水面寬4米,水位下降1米后,水面寬 米. 【答案】. 【解析】設(shè)水面與橋的一個交點為A,如圖建立直角坐標(biāo)系則,A的坐標(biāo)為(2,-2).設(shè)拋物線方程為,帶入點A得,設(shè)水位下降1米后水面與橋的交點坐標(biāo)為,則,所以水面寬度為. 15.【2012高考真題重慶理14】過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點,若則= . 【答案】 【解析】拋物線的焦點坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為,設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為的,則,設(shè),則,所以有,解得或,所以. 16.【2012高考真題遼寧理15】已知P,Q為拋物線上兩點,點P,Q的橫坐標(biāo)分別為4,2,過P、Q分別作拋物線的切線,兩切線交于A,則點A的縱坐標(biāo)為__________。 【答案】4 【解析】因為點P,Q的橫坐標(biāo)分別為4,2,代人拋物線方程得P,Q的縱坐標(biāo)分別為8,2. 由所以過點P,Q的拋物線的切線的斜率分別為4,2,所以過點P,Q的拋物線的切線方程分別為聯(lián)立方程組解得故點A的縱坐標(biāo)為4 【點評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的方法,直線的方程、兩條直線的交點的求法,屬于中檔題。 曲線在切點處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率,從而把點的坐標(biāo)與直線的斜率聯(lián)系到一起,這是寫出切線方程的關(guān)鍵。 17.【2012高考真題江西理13】橢圓 的左、右頂點分別是A,B,左、右焦點分別是F1,F(xiàn)2。若,,成等比數(shù)列,則此橢圓的離心率為_______________. 【答案】 【命題立意】本題考查橢圓的幾何性質(zhì),等比數(shù)列的性質(zhì)和運算以及橢圓的離心率。 【解析】橢圓的頂點,焦點坐標(biāo)為,所以,,又因為,,成等比數(shù)列,所以有,即,所以,離心率為. 18.【2012高考江蘇8】(5分)在平面直角坐標(biāo)系中,若雙曲線的離心率為,則的值為 ▲ . 【答案】2。 【考點】雙曲線的性質(zhì)。 【解析】由得。 ∴,即,解得。 三、解答題 19.【2012高考江蘇19】(16分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的左、右焦點分別為,.已知和都在橢圓上,其中為橢圓的離心率. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)是橢圓上位于軸上方的兩點,且直線與直線平行,與交于點P. (i)若,求直線的斜率; (ii)求證:是定值. 【答案】解:(1)由題設(shè)知,,由點在橢圓上,得 ,∴。 由點在橢圓上,得 ∴橢圓的方程為。 (2)由(1)得,,又∵∥, ∴設(shè)、的方程分別為,。 ∴。 ∴。① 同理,。② (i)由①②得,。解得=2。 ∵注意到,∴。 ∴直線的斜率為。 (ii)證明:∵∥,∴,即。 ∴。 由點在橢圓上知,,∴。 同理。。 ∴ 由①②得,,, ∴。 ∴是定值。 20.【2012高考真題浙江理21】(本小題滿分15分)如圖,橢圓C:(a>b>0)的離心率為,其左焦點到點P(2,1)的距離為.不過原點O的直線l與C相交于A,B兩點,且線段AB被直線OP平分. (Ⅰ)求橢圓C的方程; (Ⅱ) 求ABP的面積取最大時直線l的方程. 【命題立意】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力。 【答案】(Ⅰ)由題:; (1) 左焦點(﹣c,0)到點P(2,1)的距離為:. (2) 由(1) (2)可解得:. ∴所求橢圓C的方程為:. (Ⅱ)易得直線OP的方程:y=x,設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中y0=x0. ∵A,B在橢圓上, ∴. 設(shè)直線AB的方程為l:y=﹣(m≠0), 代入橢圓:. 顯然. ∴﹣<m<且m≠0. 由上又有:=m,=. ∴|AB|=||==. ∵點P(2,1)到直線l的距離表示為:. ∴SABP=d|AB|=|m+2|, 當(dāng)|m+2|=,即m=﹣3 或m=0(舍去)時,(SABP)max=. 此時直線l的方程y=﹣. 21.【2012高考真題遼寧理20】(本小題滿分12分) 如圖,橢圓:,a,b為常數(shù)),動圓,。點分別為的左,右頂點,與相交于A,B,C,D四點。 (Ⅰ)求直線與直線交點M的軌跡方程; (Ⅱ)設(shè)動圓與相交于四點,其中, 。若矩形與矩形的面積相等,證明:為定值。 【答案】 【點評】本題主要考查圓的性質(zhì)、橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線方程求解、直線與橢圓的關(guān)系和交軌法在求解軌跡方程組的運用。本題考查綜合性較強,運算量較大。在求解點的軌跡方程時,要注意首先寫出直線和直線的方程,然后求解。屬于中檔題,難度適中。 22.【2012高考真題湖北理】(本小題滿分13分) 設(shè)是單位圓上的任意一點,是過點與軸垂直的直線,是直線與 軸的交點,點在直線上,且滿足. 當(dāng)點在圓上運動時,記點M的軌跡為曲線. (Ⅰ)求曲線的方程,判斷曲線為何種圓錐曲線,并求其焦點坐標(biāo); (Ⅱ)過原點且斜率為的直線交曲線于,兩點,其中在第一象限,它在軸上的射影為點,直線交曲線于另一點. 是否存在,使得對任意的,都有?若存在,求的值;若不存在,請說明理由. 【答案】(Ⅰ)如圖1,設(shè),,則由, 可得,,所以,. ① 因為點在單位圓上運動,所以. ② 將①式代入②式即得所求曲線的方程為. 因為,所以 當(dāng)時,曲線是焦點在軸上的橢圓, 兩焦點坐標(biāo)分別為,; 當(dāng)時,曲線是焦點在軸上的橢圓, 兩焦點坐標(biāo)分別為,. (Ⅱ)解法1:如圖2、3,,設(shè),,則,, 直線的方程為,將其代入橢圓的方程并整理可得 . 依題意可知此方程的兩根為,,于是由韋達定理可得 ,即. 因為點H在直線QN上,所以. 于是,. 而等價于, 即,又,得, 故存在,使得在其對應(yīng)的橢圓上,對任意的,都有. 圖2 圖3 圖1 O D x y A M 第21題解答圖 解法2:如圖2、3,,設(shè),,則,, 因為,兩點在橢圓上,所以 兩式相減可得 . ③ 依題意,由點在第一象限可知,點也在第一象限,且,不重合, 故. 于是由③式可得 . ④ 又,,三點共線,所以,即. 于是由④式可得. 而等價于,即,又,得, 故存在,使得在其對應(yīng)的橢圓上,對任意的,都有. 23.【2012高考真題北京理19】(本小題共14分) 【答案】解:(1)原曲線方程可化簡得: 由題意可得:,解得: (2)由已知直線代入橢圓方程化簡得:, ,解得: 由韋達定理得:①,,② 設(shè),, 方程為:,則, ,, 欲證三點共線,只需證,共線 即成立,化簡得: 將①②代入易知等式成立,則三點共線得證。 24.【2012高考真題廣東理20】(本小題滿分14分) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C1:的離心率e=,且橢圓C上的點到Q(0,2)的距離的最大值為3. (1)求橢圓C的方程; (2)在橢圓C上,是否存在點M(m,n)使得直線:mx+ny=1與圓O:x2+y2=1相交于不同的兩點A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點M的坐標(biāo)及相對應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請說明理由. 【答案】本題是一道綜合性的題目,考查直線、圓與圓錐曲線的問題,涉及到最值與探索性問題,意在考查學(xué)生的綜合分析問題與運算求解的能力。 25.【2012高考真題重慶理20】(本小題滿分12分(Ⅰ)小問5分(Ⅱ)小問7分) 如圖,設(shè)橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,上頂點為A,左右焦點分別為,線段 的中點分別為,且△ 是面積為4的直角三角形. (Ⅰ)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程; (Ⅱ)過 做直線交橢圓于P,Q兩點,使,求直線的方程 【答案】 【命題立意】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,平面向量數(shù)量積的基本運算,直線的一般式方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題. 26.【2012高考真題四川理21】(本小題滿分12分) 如圖,動點到兩定點、構(gòu)成,且,設(shè)動點的軌跡為。 (Ⅰ)求軌跡的方程; (Ⅱ)設(shè)直線與軸交于點,與軌跡相交于點,且,求的取值范圍。 【答案】本題主要考查軌跡方程的求法,圓錐曲線的定義等基礎(chǔ)知識,考查基本運算能力,邏輯推理能力,考查方程與函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想 27.【2012高考真題新課標(biāo)理20】(本小題滿分12分) 設(shè)拋物線的焦點為,準(zhǔn)線為,,已知以為圓心, 為半徑的圓交于兩點; (1)若,的面積為;求的值及圓的方程; (2)若三點在同一直線上,直線與平行,且與只有一個公共點, 求坐標(biāo)原點到距離的比值. 【答案】(1)由對稱性知:是等腰直角,斜邊 點到準(zhǔn)線的距離 圓的方程為 (2)由對稱性設(shè),則 點關(guān)于點對稱得: 得:,直線 切點 直線 坐標(biāo)原點到距離的比值為. 28.【2012高考真題福建理19】如圖,橢圓E:的左焦點為F1,右焦點為F2,離心率.過F1的直線交橢圓于A、B兩點,且△ABF2的周長為8. (Ⅰ)求橢圓E的方程. (Ⅱ)設(shè)動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P,且與直線x=4相較于點Q.試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點M,使得以PQ為直徑的圓恒過點M?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,說明理由. 29.【2012高考真題上海理22】(4+6+6=16分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知雙曲線:. (1)過的左頂點引的一條漸進線的平行線,求該直線與另一條漸進線及軸圍成的三角形的面積; (2)設(shè)斜率為1的直線交于、兩點,若與圓相切,求證:; (3)設(shè)橢圓:,若、分別是、上的動點,且,求證:到直線的距離是定值. 【答案】 過點A與漸近線平行的直線方程為 ,,則到直線的距離為. 設(shè)到直線的距離為. 【點評】本題主要考查雙曲線的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及其直線與雙曲線的關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的有關(guān)性質(zhì).特別要注意直線與雙曲線的關(guān)系問題,在雙曲線當(dāng)中,最特殊的為等軸雙曲線,它的離心率為,它的漸近線為,并且相互垂直,這些性質(zhì)的運用可以大大節(jié)省解題時間,本題屬于中檔題 . 30.【2012高考真題陜西理19】本小題滿分12分) 已知橢圓,橢圓以的長軸為短軸,且與有相同的離心率。 (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點,點A,B分別在橢圓和上,,求直線的方程。 【答案】 31.【2012高考真題山東理21】(本小題滿分13分) 在平面直角坐標(biāo)系中,是拋物線的焦點,是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點,過三點的圓的圓心為,點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為. (Ⅰ)求拋物線的方程; (Ⅱ)是否存在點,使得直線與拋物線相切于點?若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,說明理由; (Ⅲ)若點的橫坐標(biāo)為,直線與拋物線有兩個不同的交點,與圓有兩個不同的交點,求當(dāng)時,的最小值. 【答案】解析:(Ⅰ)F拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點F,設(shè)M,,由題意可知,則點Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為,解得,于是拋物線C的方程為. (Ⅱ)假設(shè)存在點M,使得直線MQ與拋物線C相切于點M, 而,,, ,, 由可得,,則, 即,解得,點M的坐標(biāo)為 (Ⅲ)若點M的橫坐標(biāo)為,則點M,。 由可得,設(shè), 圓, , 于是,令 , 設(shè),, 當(dāng)時,, 即當(dāng)時. 故當(dāng)時,. 32.【2012高考真題江西理21】 (本題滿分13分) 已知三點O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲線C上任意一點M(x,y)滿足. (1) 求曲線C的方程; (2) 動點Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲線C上,曲線C在點Q處的切線為l向:是否存在定點P(0,t)(t<0),使得l與PA,PB都不相交,交點分別為D,E,且△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)?若存在,求t的值。若不存在,說明理由。 【答案】 【點評】本題以平面向量為載體,考查拋物線的方程,直線與拋物線的位置關(guān)系以及分類討論的數(shù)學(xué)思想. 高考中,解析幾何解答題一般有三大方向的考查.一、考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,離心率等基本性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系引申出的相關(guān)弦長問題,定點,定值,探討性問題等;二、考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,準(zhǔn)線等基本性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系引申出的相關(guān)弦長問題,中點坐標(biāo)公式,定點,定值,探討性問題等;三、橢圓,雙曲線,拋物線綜合起來考查.一般橢圓與拋物線結(jié)合考查的可能性較大,因為它們都是考綱要求理解的內(nèi)容. 33.【2012高考真題天津理19】(本小題滿分14分) 設(shè)橢圓的左、右頂點分別為A,B,點P在橢圓上且異于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點. (Ⅰ)若直線AP與BP的斜率之積為,求橢圓的離心率; (Ⅱ)若|AP|=|OA|,證明直線OP的斜率k滿足 【答案】- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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