高中數學必修3同步練習與單元檢測第一章 算法初步 §1.3
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§1.3 算法案例 課時目標 通過三種算法案例:輾轉相除法與更相減損術,秦九韶算法,進位制,進一步體會算法的思想,提高算法設計水平,體會中國古代數學對世界的貢獻. 1.輾轉相除法 (1)輾轉相除法,又叫歐幾里得算法,是一種求兩個正整數的最大公約數的古老而有效的算法. (2)輾轉相除法的算法步驟 第一步,給定兩個正整數m,n. 第二步,計算m除以n所得的余數r. 第三步,m=n,n=r. 第四步,若r=0,則m、n的最大公約數等于m;否則,返回第二步. 2.更相減損術 第一步,任意給定兩個正整數,判斷它們是否都是偶數.若是,用2約簡;若不是,執(zhí)行第二步. 第二步,以較大的數減去較小的數,接著把所得的差與較小的數比較,并以大數減小數,繼續(xù)這個操作,直到所得的數相等為止,則這個數(等數)或這個數與約簡的數的乘積就是所求的最大公約數. 3.秦九韶算法 把一個n次多項式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改寫成如下形式: (…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0, 求多項式的值時,首先計算最內層括號內一次多項式的值,即v1=anx+an-1,然后由內向外逐層計算一次多項式的值,即 v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, … vn=vn-1x+a0 這樣,求n次多項式f(x)的值就轉化為求n個一次多項式的值. 4.進位制 進位制是人們?yōu)榱擞嫈岛瓦\算方便而約定的記數系統(tǒng),“滿k進一”就是k進制,k進制的基數是k. 把十進制轉化為k進制數時,通常用除k取余法. 一、選擇題 1.下列說法中正確的個數為( ) (1)輾轉相除法也叫歐幾里得算法; (2)輾轉相除法的基本步驟是用較大的數除以較小的數; (3)求最大公約數的方法,除輾轉相除法之外,沒有其他方法; (4)編寫輾轉相除法的程序時,要用到循環(huán)語句. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 (1)、(2)、(4)正確,(3)錯誤. 2.用更相減損術求294和84的最大公約數時,需做減法的次數是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 C 解析 由于294和84都是偶數, 所以用2約簡: 294÷2=147, 84÷2=42, 又由于147不是偶數, 所以147-42=105, 105-42=63, 63-42=21, 42-21=21, 故需做4次減法,故選C. 3.1 037和425的最大公約數是( ) A.51 B.17 C.9 D.3 答案 B 解析 ∵1 037=425×2+187, 425=187×2+51, 187=51×3+34, 51=34×1+17, 34=17×2, 即1 037和425的最大公約數是17. 4.用秦九韶算法計算多項式f(x)=6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x+7在x=0.4時的值時,需做加法和乘法的次數的和為( ) A.10 B.9 C.12 D.8 答案 C 解析 f(x)=(((((6x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x+7 ∴加法6次,乘法6次, ∴6+6=12(次),故選C. 5.已知f(x)=x5+2x3+3x2+x+1,應用秦九韶算法計算x=3時的值時,v3的值為( ) A.27 B.11 C.109 D.36 答案 D 解析 將函數式化成如下形式. f(x)=(((x+0)x+2)x+3)x+1)x+1 由內向外依次計算: v0=1, v1=1×3+0=3, v2=3×3+2=11, v3=11×3+3=36, v4=36×3+1=109, v5=109×3+1=328. 6.下列有可能是4進制數的是( ) A.5 123 B.6 542 C.3 103 D.4 312 答案 C 解析 4進制數每位上的數字一定小于4,故選C. 二、填空題 7.輾轉相除法程序中有一空請?zhí)钌希? 答案 a MOD b 解析 MOD用來表示a除以b的余數. 8.更相減損術程序中有兩空請?zhí)钌希? 答案 a=b b=r 9.已知三個數12(16),25(7),33(4),將它們按由小到大的順序排列為________. 答案 33(4)<12(16)<25(7) 解析 將三個數都化為十進制數. 12(16)=1×16+2=18, 25(7)=2×7+5=19, 33(4)=3×4+3=15, ∴33(4)<12(16)<25(7). 三、解答題 10.用兩種方法求210與98的最大公約數. 解 用輾轉相除法: 210=98×2+14, 98=14×7. ∴210與98的最大公約數為14. 用更相減損術: ∵210與98都是偶數,用2約簡得 105和49, 105-49=56,56-49=7, 49-7=42,42-7=35, 35-7=28,28-7=21, 21-7=14,14-7=7. ∴210與98的最大公約數為2×7=14. 11.用秦九韶算法計算多項式f(x)=x6-12x5+60x4-160x3+240x2-192x+64當x=2時的值. 解 將f(x)改寫為 f(x)=(((((x-12)x+60)x-160)x+240)x-192)x+64 由內向外依次計算一次多項式當x=2時的值 v0=1, v1=1×2-12=-10, v2=-10×2+60=40, v3=40×2-160=-80, v4=-80×2+240=80, v5=80×2-192=-32, v6=-32×2+64=0. ∴f(2)=0,即x=2時,原多項式的值為0. 能力提升 12.把111化為五進制數. 解 ∴111化為五進制數為421(5). 13.把10 231(5)化為四進制數. 解 先化成十進制數. 10 231(5)=1×54+0×53+2×52+3×51+1 =625+50+15+1 =691 再化為四進制數 ∴10 231(5)=22 303(4). 1.輾轉相除法與更相減損術的區(qū)別和聯系 (1)都是求最大公約數的方法. (2)二者的實質都是遞歸的過程. (3)二者都要用循環(huán)結構來實現. 2.秦九韶算法的特點 秦九韶算法的特點在于把求一個n次多項式的值轉化為求n個一次多項式的值,即把求f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值轉化為求遞推公式: 這樣可以最多計算n次乘法和n次加法即可得多項式的值,和直接代入多項式相比減少了乘法的運算次數,提高了運算效率. 3.十進制與其他進制的轉化 (1)將k進制轉化為十進制的方法:先把k進制數寫成各位上的數字與k的冪的乘積的形 式,再按十進制的運算規(guī)則計算. (2)將十進制化成k進制的方法:用除k取余法,用k連續(xù)去除十進制數所得的商,直到商為零為止,然后將各步所得的余數倒序寫出,即為相應的k進制數.- 配套講稿:
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